Massimi e minimi

Massimi e minimi assoluti

Se una funzione f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile all'interno dello stesso, per determinare il suo massimo e il suo minimo assoluti:

• Si calcolano f(a) ed f(b) ottenendo un primo insieme numerico.
• Si determinano i valori della f(x) nei punti interni all'intervallo in cui si annulla la derivata prima f'(x). Tali valori costituiscono un secondo insieme numerico.
• Gli elementi massimo e minimo m sono il max e il min.

Determinare max e minimi assoluti della funzione nell'intervallo [-1,5]

f(x) = 2x³ - 15x² + 24x

f(1) = 11

f'(x) = 6x² - 30x + 24

f(5) = 253 - 15 · 5² + 29 · 5 = 250 - 375 + 120 = -5

f'(x) = 0 → 6x² - 30x + 24 = 0

x² - 5x + 4 = 0 → x_1,2 = ^{5 ± √(25 - 16)}/₂ = ^{5 ± 3}/₂

x = 1      x = 4      9 / 2 = 4

Tra x = 1 e x = 4 solo x = 4 è interno all'intervallo (1,5]

Si calcola quindi g(9)

g(9) = 2 · 9³ - 15 · x² + 29 · 9 = 128 - 290 + 96 = -16

Facciamo l'unione dei due insiemi

• -16
• -5
• 11

Valore massimo assoluto di f(x)

Valore minimo assoluto di g(x)