Massimi e minimi

Massimi e minimi assoluti

Se una f(x) oltre che continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile all'interno dello stesso

Per determinare il suo massimo e il suo minimo assoluti:

• si calcolano f(a) ed f(b) ottenendo un primo insieme numerico
• si determinano i valori della f(x) nei punti interni all'intervallo in cui si annulla la derivata prima f'(x). Tali valori costituiscono un secondo insieme numerico
• gli elementi massimo e minimo m sono il max e il min

Determinare max e minimi assoluti della funzione nel intervallo[-1,5]

f(x) = 2x^3 - 15 x^2 + 24x

f(1) = 11

f'(x) = 6x^2 - 30x + 24

f(5) = 253 - 15 · 5^2 + 29 · 5 = 250 - 375 + 120 = -5

f'(x) = 0 → 6x^2 - 30x + 24 = 0

x^2 - 5x + 4 = 0 → x_1,2 = ^{5 ± √25 - 16}/₂ = ^{5 ± 3}/₂

x = 1      x = 4      9 / 2 = 4

Tra x = 1 e x = 4 solo x = 4 è interno all'intervallo](1,5]

Si calcola quindi g(9)

g(9) = 2 · 9^3 - 15 · x^2 + 29 · 9 = 128 - 290 + 96 = -16

Facciamo l'unione dei due insiemi

• -16, -5, 11

Valore massimo assoluto di f(x)

Valore minimo assoluto di g(x)