Massimi e minimi a due variabili

Massimi e minimi

Definizione di massimo globale e locale

DEFA ⊆ ℝ^m, x^* ∈ A, g: A → ℝ: x^* è punto di max globale (o assoluto) per g se g(x) = g(x^*), ∀ x ∈ A [≥].

g(x^*) è il valore del max glob (min).

x^* è punto di max locale (o relativo) per g se ∃ B_δ(x^*), g(x) ≤ g(x^*), ∀ x ∈ A ∩ B_δ(x^*).

e g(x^*) è il valore del max loc.

max {min} = max {min}*

Un MAX o MIN è detto estremo di g.

Teorema di Weierstrass

Se k ⊆ ℝ^m, k compatto (chiuso e limitato)

g: k → ℝ funzione continua

allora ∃ MAX e MIN (GLOB) di g

Punto critico

DEFA aperto ⊆ ℝ^m, x^* ∈ A, g: A → ℝ, x^* è punto critico (o stazionario) per g se ∇g(x^*) = 0

Massimi e Minimi

Definizione di massimi e minimi

DEFA ⊆ ℝ^m, x* ∈ A, f: A → ℝ:

x* è punto di max globale (o assoluto) per f se f(x) ≤ f(x*) ∀x ∈ A (≥).

f(x*) è il valore del max glob (MIN).

x* è punto di max locale (o relativo) per f se ∃ B_δ(x*), f(x) ≤ f(x*) ∀x ∈ A ∩ B_δ(x*).

e f(x*) è il valore del max loc.

max(f) = max (Im f) (min)

Un MAX o MIN è detto estremo di f.

Teorema di Weierstrass

Se k ⊆ ℝ^m, k compatto (chiuso e limitato)

f: k → ℝ funzione continua

allora ∃ MAX e MIN (GLOB) di f

Punto critico

DEFA aperto ⊆ ℝ^m, x* ∈ A, f: A → ℝ, x* è punto critico (o stazionario) per f se ∇ f(x*) = 0

Teorema: condizione necessaria di primo ordine

A _ap ⊆ ℝ^m, x* ∈ A, g: A → ℝ

f _C¹(A), x* è punto di estremo locale per f

f allora ∇ f(x*) = 0

Un punto critico che non è max o min è detto punto di sella.

Teorema: condizione necessaria di secondo ordine

A _ap ⊆ ℝⁿ, (x*, y*) ∈ A, g: A → ℝ

f ∈ C²(A)

∇ f(x*, y*) = ⁽⁰⁾₍₀₎

1. Se det(H_f(x*, y*)) > 0
   • f_xx(x*, y*) > 0 ⇒ (x*, y*) punto di min. loc. per f
2. Se det(H_f(x*, y*)) > 0 f_xx(x*, y*)
3. Se det(H_f(x*, y*)) Se det(H_f(x*, y*)) = 0 potrei avere max, min, o sella.

Esempio

f(x, y) = x³ + x² + 2x²y + 2xy - 3xy² - 3y²

∇f(x, y) = ^{(8x2 + 2x + 4xy + 2y - 3y2)}_{(2x² + 2x - 6xy - 6y)}

8x² + 4xy - 3y² + 2x + 2y = 0

2x (x+1) 6y (x+1) = 0

Caso x ≠ -1

x = -13 - 4y = 3y² - 2 + 2y = 0 ⇒ 3y² + 2y - 1 = 0 ⇒ y₂ = 1/2

A₀ = ℝ²