Massimi e minimi relativi

Autovalori

A matrice quadrata di ordine m

DEF. λ ∈ ℝ si dice autovalore di A se esiste un vettore v ≠ 0, v ∈ ℝⁿ, tale che

Av = λv

v è detto autovettore di A relativo a λ

PROPOSIZIONE

λ è un autovalore di A se e solo se λ è radice del polinomio caratteristico P(λ) = det (A - λI).

dim. Av - λv = 0 ⇒ (A - λI)v = 0 . Questo è un sistema lineare omogeneo. Cerchiamo sol. non nulle ⇒ det (A - λI) = 0.

(% max e min)

dim. cond. sufficiente

Formula di Taylor del II ordine con il resto di Peano

f(x₀+h)-f(x₀) + (D²f(x₀)h, h) + o(|h|²)

f(x₀+h)-f(x₀) = 1/2 (D²f(x₀)h, h) + o(|h|²) = ....

f(x₀+t) - f(x₀) = m/2 |h|² (D²f(x₀), h) ≥ m |h|²

m > 0

Ora:

lim o(|h|²) = 0

Quindi, dalla (1),

f(x₀+t) - f(x₀) (x₀ fa di min relativo.

dim cond necessaria di II ordine (nuà la insisco nel programma)

Supponiamo x₀ fa di min nel. Sia u un vettore fissato in e F(t) = F(x₀+th)

Dep. in t=0

def: f ha un min absoluto locale

F’’(0) ≥ 0 sempre quanto sia 0

3

f(x,y) = senx + seny

(x,y) 0,2π x 0,2π

P(F)

f_x = cosx = 0

f_y = cosy = 0

• ( , ) ( , ) ( , ) P.th . critici.

Hf(x,y) =

cosx = -senx 0

cosy = 0 seny

(Hf( , ) < 0 ) ⇒ ( , ) p.to max rel.

senx = -1 < 0

seny = 1

(Hf( , ) > 0 ) ⇒ ( , ) p.to min. rel.

senx = 1 > 0

seny = -1 > 0

p.to sella.

(Hf ( , )) < 0 <> .

Metodo alternativo:

0 -senx

det (Hf - I) = 0 -seny

f_xy = 0

-sen(x + y)=0 ⇒ ( ) diag. magg.

sen x = seny = > 0 -sen(senx 0 cioê p.to max rel.

senx = 0 -1 = -1 > 0 (0, ) diag. magg.

seny = -1 + > 1 >1

p.to di sella.

4.

f(x,y) = x⁴ + y⁴

(y)

P(F)

f_x = 4x³ = 0

f_y = 4x³ = 0

(O, O ) pto di min. o . assoluto.

Osserviamo che √x 0 f(0,0) pto di min o assoluto.