Massimi e minimi

Massimi e Minimi

X ⊂ ℝ, f : X → ℝ, x₀ ∈ X.

x₀ si dice punto di MASSIMO (minimo) assoluto o globale per f se

f(x₀) ≥ ( ≤ ) f(x)   ∀ x ∈ X

[ f(x₀) = max f(x)   valore max ]

  x ∈ X

           = max f(X) → immagine di f

ES

f(x) = -x², X = ℝ

          x₀ = 0   punto di max

           f(0) = 0 valore max

no punti di min

f(ℝ) = (−∞, 0]

       valore max non limitato

Massimi e Minimi

X ⊂ ℝ, f : X → ℝ, x₀ ∈ X.

x₀ si dice punto di massimo (minimo) assoluto o globale per f se

f(x₀) ≥ (≤) f(x)     ∀x ∈ X

• [f(x₀) = max f(x) con x ∈ X     Valore Max]
• = max f(X)     → Immagine di f

Es

• f(x) = -x², X = ℝ
• x₀ = 0     Punto di max
• f(0) = 0     Valore max
• No punti di min
• f(ℝ) = (-∞, 0]   →     Valore Max

Non limitato

ES

f(x) = ²⁄_x su X = (0, 1)

LIMITATO NON CHIUSO

x = 1 PUNTO DI MINIMO

f(1) = 2 VALORE MINIMO

NO PUNTI DI MINIMO

↗ continua nel suo dominio

ES

f: [-1, 1) → R X = [-1, 1]

f(0) = 0 ∃ (x) ∀ x ∈ {-1, 1}

NON È CONTINUA

NON HA NE P. DI MAX NÉ P. DI MIN

ES

f: [-1, 1] → R

↗ è CONTINUA

x = 0 PUNTO DI MAX

x = 1, x = -1 PUNTI DI MINIMO

f(1) = f(-1) = 0 VAL. MIN

f(0) = 1 VAL. MAX

TEOREMA DI WEIERSTRASS

Sia f una funzione continua su un intervallo limitato chiuso [a, b] allora f ammette (almeno) un punto di MAX e (almeno) un punto di MIN (in [a, b])

• NON È CONTINUA
• È DEFINITA SU [-1, 1]
• HA MAX E MIN
• Può d^occedere che se non è verificata una delle ipotesi del teorema, la funzione ammetta comunque MAX e MIN

Teorema di esistenza degli zeri

Sia f: [a, b] → R continua

Se f(a) · f(b) < 0 allora esiste (almeno) un punto c ∈ (a, b): f(c) = 0

Dim

Supponiamo f(a) < 0, f(b) > 0.

Considero f(_(a+b)/2)

• Se f(_(a+b)/2) = 0 prendo c = _(a+b)/2 → stop
• Se f(_(a+b)/2) > 0 def a₁ = a, b₁ = _(a+b)/2
• Se f(_(a+b)/2) < 0 def a₁ = _(a+b)/2, b₁ = b

Ripeto con [a₁, b₁] sostituito da [a₁, b₁] e così via.

Se l'algoritmo non termina dopo un n° finito di passi allora si costruisce una successione di intervalli:

• [a_n, b_n] ⊃ [a₁, b₁] ⊃ [a₂, b₂] ⊃ ...

b_m - a_m = _(b-a)/2^m

• a_n è crescente e limitata superiormente da b
• b_m è decrescente e limitata inferiormente da a

Perciò esistono finiti

lim_m→+∞ a_n = l₁ (≤ b)

lim_m→+∞ b_m = l₂ (≥ a)

l₂ - l₁ = lim_m→+∞ (b_m - a_m) = lim_{m→+∞ (b-a)/2^m} = 0

Def c = l_n = l_m ∈ [a, b]. Verifico che f(c) = 0

f(a_n) < 0 ∀n ⇒ f(c) = lim f(a_n) ≤ 0 f è CONTINUA in c

f(b_m) > 0 ∀n ⇒ f(c) = lim f(b_m) ≥ 0

Perciò f(c) = 0 e c ≠ a, c ≠ b ossia c ∈ (a, b) (perchè f(a) ≠ 0, f(b) ≠ 0)

ES f: [0, 1] → R

CONTINUA

b_m - a_n = ^1-0/_2^m < ¹/₁₀₀₀

¹/_2^m < ¹/₁₀₀₀

2^m > 1000

m > log₂ 1000

M = 10 OK!

2¹⁰ = 1024 > 1000

f(0) < 0

f(1) > 0

CASI TEOR. WEIERSTRASS

HA 3 ZERI

NON HA ZERI

NON CONTINUA HA HA DEGLI ZERI

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

Sia f una funzione continua su un intervallo I che assume due valori y₁ ≠ y₂.Allora assume ogni valore y ∈ (y₁, y₂).

∃c ∈ I . f(c) = y

f(x) - y = 0

^f(x)-y/_g(x) = 0

y = f(c)

y₂ = f(x)

y₁

I