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Geometria
Concetti di teoria degli insiemi
- A, B, C... = Come si chiamano gli insiemi
- a, c, A = appartenente ad A.
A ⊆ B ↔ ∀ x ∈ A → x ∈ B
B ⊂ A → B ⊆ A Λ A \ B ≠ ∅
- A = Def A con B ⊆ A
- B ⊆ A
- B = sottinsieme ⊆ proprio se B ⊂ A
Contrari
→ decliviamo essere uguali se B è un sottinsieme di A e viceversa
A = Def B = a, b, c
- B ⊂ A (B ⊆ A) A \ B ≠ ∅
- B contenuto e diverso da A
- (B ⊂ A)
- (B ⊂ A) → (B ≠ A)
- B = un sottinsieme proprio di A
- (B ⊂ A ❲ A \ B ≠ ∅❳)
- P ⊆ Q
- P ⊂ Q
- P ⊄ Q
- A ogni elemento di B è un elemento di A
- B ⊆ A
- B = un sottinsieme proprio di A
- A - B, B ⊂ A
- (B ⊆ A) ❲ A \ B ≠ ∅❳
Proprietà
A = a
B = b
C = c
Proprio
- B è un sottinsieme di A, quindi c'è almeno un elemento di A che non sta in B.
Operazioni sugli insiemi
Intersezione , A, B, C ⊆ S
Definiamo
A ∩ B
- Intersecazione
- A ∩ B = {x | x ∈ A Λ x ∈ B}
se diciamo che A e B sono disgiunti
- A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
- C - A = {x | x ∈ C Λ x ∉ A}
- A - B = {x | x ∈ A Λ x ∉ B}
- decimali con parte decimale periodica
- x = 3
- x ≠ 3
- x < 3
- x ≤ 3
- x ∈ ℝ
- |x| = x ⟺ x ≥ 0
- |x| = -x ⟺ x < 0
- Definizioni: x ∈ C: x ∈ R: x ∈ Z
- x ∈ C: x ∈ Z: 1 P(x) = 0
- Siano f(x), P(x), Q(x) ∈ C[x], f(x)- ≠ 0
- deg f(x) = deg P(x) allora esterno (x) ed R(x) ∈ C: C
- ∀ u, v ∈ V ⇒ u + v ∈ V
- ∀ v ∈ V ⇒ -v ∈ V
- ∀ u, v, w ∈ V ⇒ u+v = v+u
- a ⋅ (b +
Se B ⊂ A allora A - B = C - B
Sistemi numerici
0N numeri naturali = {0, 1, 2, 3,...}
ℤ numeri interi = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
ℚ numeri razionali = {p⁄q, p ∈ ℤ, q ∈ ℤ, q ≠ 0}
ℚ ≡ C ↔ ∃ d ∈ ℤ c = d⁄r
Usa frazione m⁄n con m e n interi e n ≠ 0
R numeri che si scrivono sull'asse
7U decimali con parte decimale fina
R \ ℚ numeri decimali con parte decimale infinita e non periodica
∈ ℚ
f = {n ∈ ℚ / n2 > 7}
{n ∈ ℚ / -1 < n ≤ 2}
P: {n ∈ ℤ / √7 {n ∈ ℚ / n < √7}
-3 / 2 ∉ [0, ∞ ]
P ⟺ (+2)
Unione A ∪ B, A ∩ B, C ⊆ A
-3
+3
Dim. c la legge che aott. n∈N avere: n+1 z Q e una funzione di N in Q.
Anche per N -> Q 1 -> 0 (n+1/2) 2 -> 1 3 -> 3/2
Domanda:
n+2 > 0 po: = 0> ∃ n∈N esiste n+1 z Q che è unico -> è una funzione di N in Q
2 legge: è una funzione di Z su Q?
No, la funzione ha: che annulla il denominatore perquanto a Z non fa alcuna corrispondenza in Q
bi j:N -> N X N la funzione con definito f(n): (n+2+n+1+n)∈N X N
f è invertiv? f è sustitiv? f è entiitiv?
0 -> (1,0) 1 -> (3,1) 2 -> (4,2)
Sano n1, n2 apartenenti N d.c. β(n) = β(n1).
2 (n+1)2 = n2 + 2n1 + n+1
(n sub
n1 = n2 perché è invertito.
(6 - c)(1)+3(c+1) = 11 ∙ 1
(t+1)3; (z - z)12; 1 / t; a1113
1. (6 - t) (3t) 2 z = Rez 3 z = Imz 4 z = |z| 22+2c 22+2c22+4b => Z-1
4 71+ (t1 + 1) / 3+2c = 4 + 1 / (3+2c ) - (3- z2) / 34+2 - 1 / 43 = 1
5. (1 / t)3 = 1 - t4 - 3 t+ 1 = 2t
6. (1 - z1)2 = 1 - t1-4c-3- 1
5. c= -1 / 41 = j1
6. t1113 = (1 / j )\
8 61 / 273
i2 = -1, i2i2j2 i4 = 1
8 n ℕ -> ƒ Ñ{ℕ0} -> ʇɔ ƒ(n) = n-1
ƒ x anelitta? frankinate ? ɟ ɐ s ʇᴉʇuǝlᴉʇ : ƒ ᴉ
1 > 02 > 1 3 > 2
άᴉuo u₁ = u₁² {ℕ - 1}ɔ ƒ(n₁) = ƒ(n₂)
=> n₁ + n₂ => ƒ ᴉ = inverse
(16)
α, m, z
β, α, m, z, n, n, n, {α,n,α,β}=n, sin, cos, z
z, z
in, cos, n
m, m
1, cos(n,β), sin(mβ)=λ, λz²
\[=ρn(cos(nβ)+i sin(mβ))\]
zm=[α=(cos(θ), B+sin(δ), cos((θ), + sin θ, sin δ)]
Coniugato :
Definizione : se (cos α e (z in sin b sia detto coniugato di z è razionale), reale z̅ = a - ib.
1) \[\overline{z} = z\]
2) z̅ = 1, 2, i
n |z| = |1|
(1-c|)
a, c
a + ib, a + ib, a + i
(Norma)
3.\[x̅=z,~\overline{x}=x\]n=m
n,{a²-bn}
ac=4+
zc
\[=x+a\]|
4
α
[i]i
a, b, a, b
az=z
̅z̅
zi=i
_[i+
\overline{x}+z
α+b
Esempio:
P(x) = 1 + 4x + 2x3 - 3x5 ∈ C[x]
P(a) = 1 + 4x + 2·3
P(a) = 4 + 32 - 1 + 2
Radice di un polinomio:
a0 P(x) ∈ C[x]
Teorema fondamentale dell'algebra
Sia P(x) ∈ C[x], deg P(x) ≥ 1 allora P(x) ha almeno una radice in T
Teorema di Ruffini
Sia P(x) ∈ C[x] deg P(x) ≥ 1 x ∈ C: C[x]
Teorema di identità
Calcoliamo P(z) = 0
P(x) = (x - z)·Q(x)
P(x) = (x - z)2·(x - z) = 0
(2)
(b) Supponiamo che x ˂ y. Sono punti di K
x+1 = 1 + x
(c) Dico K < c se sono quattro di K
x̅ - K = x + K = ŷ + Ÿ + Q - K = Ū + Q̅ + Ř - K̅
spazio vettoriale
si similizza nello spazio
spazio vettoriale
Definizione. Un generico V è detto spazio vettoriale su un campo K
il simbolo del prodotto
vettoriale nel passaggio
spazio vettoriale
Esempio:
definiamo a(b, c) = [a ⋅ b, a ⋅ c] ∈ ℝ²
definiamo λ(a, b)∈ℝ²
per cui v
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