Geometria 1

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Appunti di Geometria 1 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Mattera dell’università degli Studi di Genova - Unige,Facoltà di Ingegneria, …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Serpico Maria Ezia

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2015-2016

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Estratto del documento

Geometria

Concetti di logica degli insiemi

A, B, C... = Come si chiamano gli insiemi.

a ∈ A = appartiene ad A.

B ⊆ A se ogni elemento di B è un elemento di A.

A ⊇ B se e solo se B ⊆ A.

A = B se A ⊆ B e B ⊆ A.

Contenuto

Quindi due insiemi sono uguali se B è un sottoinsieme di A e viceversa.

B ⊆ A ogni elemento di B è un elemento di A.

B contenuto e diverso da A. B ⊆ A e B ≠ A (B è contenuto in A e B ≠ A).

Posta ∀ x ∈ G B = {x ∈ A | x ∈ A} a ≠ B.

Poiché, bisogna negare che, A ⊆ B ∀ a ∈ A a ∉ B B ⊈ A.

B^c è un sottoinsieme di A, quindi c'è almeno un elemento di A che non sta in B.

∅ insieme vuoto → insieme privo di elementi.

Per definizione ∅ ⊆ A ∀ A.

Operazioni sugli insiemi

Intersezione A, B, C ∈ S.

Definiamo A ∩ B Intersezione A ∩ B = {x ∈ S | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

∅ = almeno che A ∩ B sono disgiunti.

A ∪ B = {x ∈ S | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

C - A = {x ∈ S | x ∉ A}.

A - B = {x ∈ A | x ∉ B}.

∅ ⊆ B ∪ C ∧ A è solo A - B = C ∩ B.

Geometria

Concetti di teoria degli insiemi

A, B, C, … = Come si usano con gli insiemi.

a, b, c, … Appartiene ad A.

B ⊂ A B è un sottoinsieme di A.

B ⊆ A B ⊆ A ≜ ∀ b ∈ B b ∈ A.

A ⊆ B ⟹ A ⊇ B A ⊂ B ⟹ A ⊃ B.

A ⊆ B due insiemi sono uguali se B è un sottoinsieme di A e viceversa.

B ⊆ A ogni elemento di B è un elemento di A.

B contiene A e viceversa A ⊇ B.

B è un sottoinsieme proprio di A.

Posta: ∀ a ∈ B ⟹ B ⊆ A.

∀ a ∈ A ∃ b ∈ B B ≠ A.

B ⊂ A A contiene B tutti i suoi elementi.

Per definizione ∅ ⊂ A ⊆ A.

Operazioni sugli insiemi

Intersezione A, B, C ⊆ S.

Definiamo A ∩ B Intersezione.

A ∪ B = { x ∈ S | x ∈ A ⋁ x ∈ B }.

C - A = { x ∈ S | x ∉ A }.

A - B = { x ∈ A | x ∉ B }.

Insiemi numerici

ℕ numeri naturali: {0, 1, 2, 3, ...}

ℤ numeri interi: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

ℚ numeri razionali: {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

ℝ numeri che si scrivono sotto forma di frazione.

ℝ\ℚ decimali con parte decimale finita ∪ decimali con parte decimale infinita periodica.

ℝ\ℚ numeri decimali con parte decimale infinita e non periodica.

Q = { | q = a/b }

p(q + z)

X = 3

X = -3

|X|=3

X∈ℝ-X > X; X > 0

-X - pianon ∈ ℤ / n > 3 { n ∈ ℤ / n < -2 }

-8 { n ∈ ℤ / n ≠ 0 }

- -3; n ∈ ℤ / n ≠ 0; √17, √7

Disegniere A∪B, A∭B, Ø ⊃ A

{n - 2∈Z} ∪ {n - 2 < 0{n - 2 ∈ Z} ∪ {n < 2{n ∈ Z{n ∈ Z

22, 41027{2, 3}B = {n ∈ Z/n < 4} ∪ {1} = {1, 2, 3}

A ∩ B = {n ∈ Z/n ∈ A e n ∈ B} = {3}

A ∪ B = {n ∈ Z/n - 3} ∪ {n ∈ Z/n - 2}

A_Z ^Z {n ∈ Z/n < 2}

Se prodotto di due funzioni

Siano A e B due insiemi, definiamo prodotto cartesiano di A e B

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

coppie l A X ÃN x (1, 3) ≠ (3, 1)

Siano A, B insiemi qualsiasi Una funzione tra A e B è una legge che ad ogni elemento x di A fa corrispondere uno ed un solo y di B, quindi memoria immagine di x ∈ A (sottoinsieme di f)

A o Praticablenumisce di A → B Tricato codonima di A di una funzione f in A & B con automatico B

Non È Una Funzione

f: R → R ∀ a ∈ R associamo la relazione dell'eq. x² = a

∀ a ∈ R devo associare le soluzioni di quest'eq.

f è una funzione di R → R o in R?

x² + 2R > 0 → R f non è una funzione di R > 0 in R poiché ∃  R > 0 che ha due corrispondenti in R e ℝ

Lo stesso logo è una funzione da ℝ

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