Geometria - Appunti

n ° , righ e

det A B A det B , det kA det A

( )=det ( ) =k

Dipendenza lineare.

Sia V uno spazio lineare e v, vi vettori di V .

• w è combinazione lineare di v1, … , vn se l’equazione:

x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn = w ammette soluzione.

⊆ m

R

Nel caso particolare in cui V , alla precedente equazione possiamo associare la matrice A|b, dove le

colonne di A sono date dai vettori v1, . . . , vn e b è data dal vettore w. In tale caso:

w è combinazione lineare di v1, . . . , vn se rg(A) = rg(A|b)

• v1, … , vn sono linearmente indipendenti se l’equazione:

x1v1 + x2v2 + … + xnvn = 0 ammette la sola soluzione nulla x1 = x2 = . . . , xn = 0.

⊆ m

R

Nel caso particolare in cui V , alla precedente equazione possiamo associare la matrice A|0, dove le

colonne di A sono date dai vettori v1, … , vn. In tale caso: v1, … , vn sono linearmente indipendenti se rg(A) = n

(nell’E.G. posso cambiare righe, se cambio le colonne bisogna ricordarsi del cambio se voglio una base)

−1 −1 −1

A A A

Una matrice (quadrata) A è invertibile se esiste una matrice, indicata con , tale che A = A = I.

Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata A sia invertibile è che sia det(A) ≠ 0, ovvero che

rg(A) sia massimo. Una matrice n × n è invertibile se e solo se ha rango n.

Per calcolare l’inversa di una matrice utilizzeremo due metodi:

• Si affianca alla matrice A la matrice identica e si riduce A a gradini in forma normale (cioè con tutti 1 sulla diagonale e

−1

A

0 altrove). La matrice in cui è stata trasformata la matrice identica è l’inversa .

t

1

( )

−1

A γ

=

• Si utilizzano le formule: ij

detA i j

γ +

(−1 )

ij

Dove = complemento algebrico = det(matrice ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j)

Per calcolare il rango di una matrice possiamo utilizzare i sottodeterminanti oppure i pivot. Infatti valgono le seguenti

proprietà:

1) Il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sua sottomatrice (quadrata) con determinante non

nullo.

2) Il rango di una matrice A corrisponde al numero dei suoi pivot, una volta che A è stata ridotta a gradini.

3) Il rango di una matrice A è uguale al numero di righe/colonne linearmente indipendenti.

Osservazioni;

• Come conseguenza delle proprietà 3) si ha che se A è una matrice n × m, allora rg(A) ≤ min{m, n}

• Per utilizzare la proprietà 1) si può anche ridurre (parzialmente) a gradini la matrice.

Rouchè-Capelli.

Un sistema di equazioni Ax = b ammette soluzioni (è compatibile) se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è

uguale al rango della matrice completa A|b: rg(A) = rg(A|b)

Inoltre:

• Ammette un’unica soluzione se rg(A) = rg(A|b) = numero delle incognite. Se A è quadrata, il sistema ammette

un’unica sol se det A ≠0

• Ammette infinite soluzioni se rg(A) = rg(A|b) < numero delle incognite.

• Non ha soluzioni se rg(A) ≠ rg(A|b)

Basi e dimensione.

Sia S = {v1, v2, . . . , vn} un sottoinsieme di V . Diciamo che S è una base di V se:

1. S è un insieme generatore di V : V = {S}, cioè ogni elemento di V si può scrivere come combinazione lineare degli

elementi di S.

2. Gli elementi di S sono linearmente indipendenti.

La dimensione di uno spazio vettoriale corrisponde al numero di elementi di una sua base.

n

R

Nel caso particolare in cui V = sappiamo che S per essere una base deve essere formato da n elementi, ed è

sufficiente verificare che gli n elementi di S siano linearmente indipendenti.