Formulario e Teoremi di Analisi matematica 1

FUNZIONI

• Iniettiva

f (x ) = f (x ) ⇒ x = x

Se 1 2 1 2

• Suriettiva

f : E → ℝ, f (E ) = ℝ

Sia si la funzione si dice suriettiva se

• Biiettiva

Se f è sia suriettiva che iniettiva

• Crescente

f (x ) ≤ f (x ) ∀x , x ∈ ℝ x ≤ x

1 2 1 2 1 2

• Strettamente crescente

f (x ) < f (x ) ∀x , x ∈ ℝ x < x

1 2 1 2 1 2

• Decrescente

f (x ) ≥ f (x ) ∀x , x ∈ ℝ x ≤ x

1 2 1 2 1 2

• Strettamente decrescente

f (x ) > f (x ) ∀x , x ∈ ℝ x < x

1 2 1 2 1 2

• Valore assoluto

{ x ≥ 0

se x

| |

x = −x < 0

se x

È una funzione pari, inferiormente limitata (min = 0), strettamente decrescente su

(−∞,0] [0, + ∞)

e strettamente crescente su

• Coseno-Arccos [0,π]

Il coseno è una funzione strettamente decrescente su e strettamente crescente

[π,2π]

su arccos[−1,1] → [0,π]

La funzione cos è invertibile: la relativa funzione inversa risulta

strettamente decrescente

• Seno-Arcsin

fi 2023/2024 Tea Peyron

π 3π

π π [ , ]

[− , ]

Il seno è strettamente crescente su e strettamente decrescente su

2 2 2 2

π π

[− , ]

arcsin[−1,1] →

La funzione sin è invertibile: la relativa funzione inversa 2 2

risulta strettamente crescente

• Tangente-Arctan π π

(− , )

La funzione tangente è strettamente crescente su 2 2

π π

arctan : ℝ → (− , )

La relativa funzione inversa risulta strettamente crescente

2 2

• Esistenza degli zeri

f f (a)f (b) < 0

continua in un I = [a,b] chiuso e limitato,

⇒ ∃ x̄ ∈ f (x̄) = 0

(a,b) tale che

Corollario

f continua, ammetta limiti non nulli e discordi agli estremi di un I

⇒ f ha almeno uno zero in I

Corollario

f (x) g(x) f (a) < g(a), f (b) > g(b)

e continue su [a,b],

⇒ ∃ x̄ ∈ f (x̄) = g(x̄)

(a,b) tale che

• Valori intermedi

f (x) continua in [a,b]

⇒ f (x) ∈ [ f (a), f (b)]

assume ogni ordinata

Corollario

f continua su un intervallo I

⇒ f (I ) è un intervallo di estremi (inf f, sup f)

• Weierstrass

f (x) continua su [a,b]

⇒ f (x) ammette max e min su [a,b]

⇒ f (x) f ( ) = [ f (x ), f (x )

è limitata su [a,b] e [a,b] ]

m M

• Teorema

f è continua su I e iniettiva

⇒ f è strettamente monotona su I

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• Teorema

f è continua e invertibile su I

⇒ J = f (I )

l'inversa è continua nell'intervallo

CONFRONTO LOCALE TRA FUNZIONI x → x

1) f e g hanno lo stesso ordine di grandezza per se

0

f (x)

lim = l ∈ ℝ\{0}

g(x)

x→x 0

l = 1 f ∼ g x → x

per

se, in particolare, allora si dice che f e g sono [ ]

equivalenti 0

x → x

2) si dice che f è un o-piccolo di g per se

0

f (x)

lim =0

g(x)

x→x 0

3) f è rispetto a g se f = o(g)

in nitesimo di ordine superiore

f è rispetto g se g = o(f)

in nitesimo di ordine inferiore

4) f è rispetto a g se g = o(f)

in nito di ordine superiore

f è rispetto a g se f = o(g)

in nito di ordine inferiore

DERIVATE

• Continuità

f x

è derivabile in 0

⇒ f x

è continua in 0

• Derivata della funzione composta

h(x) = ( f ∘ g)(x) = f (g(x)) x ∈ I

è derivabile in

⇒ h′

(x) = g′

(x)f′

(x) ∀x ∈ I

• Derivata della funzione inversa

f x f′

(x ) ≠ 0

continua e iniettiva, se f è derivabile in e

0 o

1 1

−1

⇒ ( f )(y ) = =

0 f′

(x ) f′

( f (y ))

−1

0 0

• Tappabuchi

f x x ∃ lim f′

(x)

continua in e derivabile in un intorno I di , nito

0 0 x→x 0

⇒ f x

è derivabile in 0

⇒ f′

(x) = lim f′

(x)

x→x 0

 

       fi

fi

fi

fi

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• Teorema di Fermat

f (x) x x

de nita in un intorno di I di e derivabile in

0 0

x f (x)

è un punto di massimo o un punto di minimo per

0

⇒ f′

(x ) = 0

0

• Teorema di Rolle

f (x) ( )

de nita in [a,b] e derivabile in a,b

f (a) = f (b)

⇒ ∃x ∈ (a, b) : f′

(x ) = 0

0 0

• Teorema di Cauchy

a, b ∈ ℝ a < b f, g : [a, b] → ℝ (a, b) .

Siano con e siano due funzioni continue e derivabili su

x ∈ (a, b)

Esiste allora tale che

0 ( f (b) − f (a))g′

(x ) = (g(b) − g(a))f′

(x )

0 0

• Teorema di Lagrange

f (x) ( )

de nita in [a,b] e derivabile in a,b

f (b) − f (a)

⇒ ∃x ∈ ( ) : f′

(x ) =

a,b

0 0 b − a

• Teorema di De l’Hôpital

f (x), g(x) x , f (x) g(x) g′

(x) ≠ 0

de nite in un intorno I di e derivabili e

0

f (x) 0 ∞

lim = ∨

g(x) 0 ∞

x→x 0 f′

(x) f (x)

⇒ ∃ lim = lim

g′

(x) g(x)

x→x x→x

0 0

• Rapporto incrementale

f (x + h) − f (x )

0 0

= h

• Retta tangente

t (x) = f (x ) + f′

(x )(x − x )

x 0 0 0

0

• Funzioni con punti di non derivabilità

n

f (x) = x non è derivabile in x = 0

| |

f (x) = x non è derivabile in x = 0

 

 fi

fi

fi fi     



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| |

f (x) = log x non è derivabile in x = 0 ±

f (x) = arccos(x) 1

non è derivabile in x = ±

f (x) = arcsin(x) 1

non è derivabile in x =

INTEGRALI

f ⇒ f

è monotona è integrabile

• f ⇒ f

è continua è integrabile

• a, b ∈ ℝ a < b

Siano con

• f : [a, b] → ℝ g : ℝ → ℝ

Sia una funzione integrabile e sia una funzione continua

g ∘ f

Allora è integrabile

b b

∫ ∫

| | | |

f (x)d x ≤ f (x) d x

• a a

• Integrazione per parti

∫ ∫

f (x)g′

(x)d x = f (x)g(x) − f′

(x)g(x)d x

• Primitive per sostituzione

∫ ∫

f (φ(x))φ′

(x)d x = f (y)d y [y = φ(x)]

• Media integrale

a, b ∈ ℝ a < b f : [a, b] → ℝ

Siano con e sia una funzione continua

x ∈ [a, b]

Allora esiste tale che

0 b

1 ∫

f (x ) = f (x)d x

0 b − a a

• Teorema fondamentale del calcolo integrale

a, b ∈ ℝ a < b f : [a, b] → ℝ

Siano con e sia una funzione integrabile

c ∈ [a, b] F : [a, b] → ℝ

Sia e sia data da x

∫

F(x) = f (t)dt

c

f x ∈ [a, b] x

Se è continua in allora F è derivabile in e si ha

0 0

F′

(x ) = f (x )

0 0

  

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INTEGRALI IMPROPRI

• Criterio del confronto asintotico

f, g : [a, + ∞) → ℝ

Siano due funzioni continue e positive

1) f ∼ g x → + ∞

Se per allora

+∞ +∞

∫ ∫

f (x)d x ⇔ g(x)d x

converge/diverge converge/diverge

a a

f, g : (a, b] → ℝ lim f (x) = lim g(x) = + ∞

2) Siano due funzioni continue e positive, con + +

x→a x→a

+

f ∼ g x → a

Se per allora

b b

∫ ∫

f (x)d x ⇔ g(x)d x

converge/diverge converge/diverge

a a

• Criterio di convergenza assoluta

+∞ +∞

∫ ∫

| |

f (x) d x ⇒ f (x)d x

converge converge

0 0

NUMERI COMPLESSI

z = x + iy

• Forma algebrica: z̄ = x − iy

• Complesso coniugato:

• Teorema fondamentale dell’algebra

n ∈ ℕ n ≥ 1, a , a , . . . , a ∈ ℂ a ≠ 0

Siano con siano con

0 1 n n

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P : ℂ → ℂ

Sia la funzione data da

n n−1 1

P(z) = a z + a z + . . . + a z + a

n n−1 1 0

z , . . . , z ∈ ℂ

Allora esistono a due a due distinti

1 p

m , . . . , m ∈ {1,...,n} m + . . . + m = n

e tali che e

1 p 1 p m

m

P(z) = a (z − z ) . . . (z − z ) p

1

n 1 p

• Teorema

P : ℂ → ℂ

Sia la funzione data da

n n−1 1

P(z) = a z + a z + . . . + a z + a

n n−1 1 0

z ∈ ℂ P(z ) = 0. P( z

¯ ) = 0

Sia tale che Allora

0 0 0

2 2

| |

z = x + y

Modulo:

• 2

| |

z = z z̄

z̄

−1

z = 2

| |

z

• Forma trigonometrica 2 2

r = x + y

z = r (cos θ + i sin θ ) → x = r cos θ

→ y = r sin θ

→

z z = r r [cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )]

Prodotto: 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1

= [cos θ − i sin θ ]

Inverso: z r

z r

1 1

= [cos(θ − θ ) + i sin(θ − θ )]

Rapporto: 1 2 1 2

z r

2 2

• Esponenziale complesso

z x

e = e (cos y + i sin y)

• Formula di Eulero

ix

e = cos x + i sin x iθ

| |

z = z e

• Forma esponenziale: i(θ +θ )

z z = r r e

Prodotto: 1 2

1 2 1 2

1 1 i(−θ)

= e

Inverso: z r

z r

1 1 i(θ −θ )

= e

Rapporto: 1 2

z r

2 2

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• Formula di De Moivre (potenze)

z ∈ ℂ n ∈ ℕ

Per ogni e per ogni si ha n

n inθ

| |

z = z e

• Teorema (radici n-esime)

w ∈ ℂ w ≠ 0 n ∈ ℕ n > 0

Sia con e sia con

Allora i numeri complessi θ + 2kπ

i

n | |

z = w e , k = 0,1,...,n − 1

n

k n

z = w

Sono le sole soluzioni dell'equazione

Geometricamente

- n = 2 le radici quadrate complesse di w sono due e si trovano su una

→ n | |

w

circonferenza di centro (0,0) e raggio nel piano di Gauss, una opposta

all’altra

- n>2 le radici complesse di w sono n e si trovano su una circonferenza di

→ n | |

w

raggio e centro (0,0) sul piano di Gauss, ai vertici di