Formulario Analisi matematica 1

Come verificare le simmetrie passo dopo passo

Quando vuoi verificare la simmetria di una funzione f(x), segui questi passi:

1. Sostituisci −x nella funzione e calcola f(-x).

2. Confronta f(-x) con f(x):

Se f(-x) = f(x) → la funzione è pari.

o Se f(-x) = -f(x) → la funzione è dispari.

o Se nessuna delle due condizioni è soddisfatta → la funzione non ha simmetrie

o particolari.

3. Intersezione con gli Assi

Studio delle intersezioni con gli assi in Analisi Matematica

Nell'analisi di funzioni, determinare le intersezioni con gli assi è un passaggio fondamentale perché

permette di capire in quali punti la funzione taglia l’asse x (radici della funzione) e l’asse y (valore della

funzione in x=0).

Intersezioni con l’asse x (o zeri della funzione)

Definizione:

L’intersezione con l’asse x avviene nei punti in cui la funzione si annulla, ovvero quando

f(x) = 0.

Come si trova?

Per trovare questi punti si risolve l’equazione: f(x) = 0, cioè si cercano i valori di x tali che la funzione

assume valore zero.

⚠ Attenzione:

• Se l’equazione f(x) = 0 non ha soluzioni, la funzione non interseca mai l’asse x.

• Se la funzione è sempre positiva o sempre negativa, significa che non ha radici reali.

Intersezione con l’asse y

Definizione:

L’intersezione con l’asse y è il punto in cui la funzione assume valore in x = 0, ovvero: f(0)

Come si trova?

Per trovarla, basta sostituire x = 0 nella funzione.

⚠ Attenzione:

• Se la funzione non è definita in x = 0 (come f(x)=ln x), non ha intersezione con l’asse y.

Strategia generale per trovare le intersezioni

Quando vuoi trovare le intersezioni di una funzione con gli assi, segui questi passi:

1. Per l’asse x (zeri della funzione)

Risolvi l’equazione f(x) = 0f

• Se ottieni delle soluzioni reali x1,x2,…, le intersezioni saranno (x1,0),(x2,0),…

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2. Per l’asse y

Sostituisci x = 0 nella funzione e calcola f(0).

• Se f(0) esiste, l’intersezione è (0, f(0)).

• Se f(0) non è definito, non c’è intersezione con l’asse y.

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Riassunto delle Regole

Conclusione

• Le intersezioni con l’asse x si trovano risolvendo f(x) = 0.

• L’intersezione con l’asse y si trova calcolando f(0), se esiste.

• Se una funzione non è definita in x=0, non ha intersezione con l’asse y.

Questi passaggi sono fondamentali nello studio di una funzione, poiché aiutano a capire in quali

punti il grafico incontra gli assi cartesiani.

4. Studio del Segno

Come approcciare lo studio del segno di una funzione in Analisi Matematica

Lo studio del segno di una funzione f(x) consiste nel determinare per quali valori di x la funzione è positiva

(f(x) > 0), negativa (f(x) < 0) o nulla (f(x) = 0). Questo passaggio è fondamentale nello studio delle funzioni

perché permette di capire in quali intervalli la funzione è sopra o sotto l'asse x.

Passaggi Generali per lo Studio del Segno

1. Trovare gli zeri della funzione: Risolvere f(x) = 0 per trovare i punti in cui la funzione cambia

segno.

2. Individuare il dominio: Capire per quali x la funzione è definita, per evitare di studiare il segno

in intervalli in cui non ha senso.

3. Costruire una tabella dei segni: Utilizzare gli zeri e i punti di discontinuità per suddividere il

dominio in intervalli.

4. Scegliere un valore di test in ogni intervallo: Sostituire un numero rappresentativo in ogni

intervallo e determinare il segno di f(x) in quell'intervallo.

5. Riportare i risultati in un grafico o in una tabella dei segni.

Tipologie di funzioni e metodi di risoluzione dello studio del segno

1. Funzioni polinomiali

Esempio: f(x) = x^3 - 4x

Passaggi: ⇒ ⇒

Troviamo gli zeri: x^3−4x=0 x(x^2−4)=0 x(x−2)(x+2)=0

• Quindi gli zeri sono x = −2, 0, 2

Tabella dei segni: Prendiamo intervalli determinati dagli zeri: (−∞,−2), (−2,0), (0,2), (2,+∞).

• Testiamo un valore per ogni intervallo, ad esempio

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