Formulario Geometria e Algebra Lineare

Sviluppo di Laplace per colonne:

Proprietà del determinante di una matrice

 Il determinante di una matrice quadrata è uguale a zero se e solo se:

o La matrice ha una riga (o una colonna) composta esclusivamente da elementi nulli

o Due righe (o due colonne) sono proporzionali (cioè linearmente dipendenti)

o Una riga (o una colonna) è combinazione lineare di due o più righe (o colonne)

 Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale

 det = det ∙ det

Il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti: (teorema di Binet)

1

−1

 det =

Il determinante della matrice inversa è il reciproco del determinante della matrice di partenza: det

 det = det

Una matrice quadrata e la sua matrice trasposta hanno lo stesso determinante:

 ,

Se gli elementi di una riga (o di una colonna) di A si moltiplicano per uno stesso numero si ottiene la matrice

det = det

B per la quale:

 det = det

Il determinante del prodotto di una matrice per uno scalare è uguale a:

 Due matrici simili hanno lo stesso determinante

 Se in una matrice quadrata si scambiano fra loro due righe (o due colonne), detta B la nuova matrice si ha:

det = − det

 Se agli elementi di una riga (o colonna) si aggiungono gli elementi corrispondenti di un’altra riga (o colonna)

moltiplicati per uno stesso numero, il determinante non cambia

 Aggiungendo ad una riga (o colonna) una combinazione lineare di altre righe (o colonne) il determinante non

cambia

Significato geometrico di determinante di una matrice

′1 ′ ′

( , , … , ) ′( , , … , ),

Dati i vettori e il loro prodotto vettoriale ha

1 2 2

modulo uguale al determinante della matrice avente come coefficienti le

coordinate dei due vettori.

Esempio: Il determinante di una matrice 3x3 è uguale al volume orientato del

, , )

parallelepipedo i cui tre lati ( hanno modulo, direzione e verso dei tre

1 2 3

, ,

vettori (vedi figura).

1 2 3

Sottomatrici e minori di una matrice

( × ), ( × ),

Una sottomatrice di una matrice con n e m interi non negativi, è una matrice con r e s interi tali

0 ≤ ≤ 0 ≤ ≤ , − −

che e ottenuta da A rimuovendo righe e colonne.

= .

Un minore è il determinante di una sottomatrice quadrata, cioè con

Complemento algebrico – definizione − 1

Dicesi complemento algebrico dell’elemento di una matrice A di ordine n il determinante di ordine (che si

+

′ (−1)

indica con ) ottenuto da A sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna e moltiplicato per .

Matrice del cambiamento di base di uno spazio vettoriale

ℬ( , , … , ) ℬ′(′ , ′ , … , ′ )

Sia uno spazio vettoriale, e siano e due basi di V. Supponiamo di avere un

1 2 1 2

∈ ℬ: = ( , , … , ) ∈ ℝ.

vettore espresso in coordinate riferite alla base con

1 1 2 2 6

ℬ′ ℬ,

Esprimendo i vettori che compongono la base come combinazione lineare dei vettori che compongono ottengo:

= ′ + ′ + ⋯ + ′

1 11 1 12 2 1

= ′ + ′ + ⋯ + ′

2 21 1 22 2 2

…………………………………………

= ′ + ′ + ⋯ + ′

1 1 1 2 2

La matrice del cambiamento di base risulta essere la matrice inversa della matrice dei coefficienti del sistema appena

ottenuto.

Capitolo IV – Sistemi di equazioni lineari , , … ,

Un sistema di m equazioni lineari (o di primo grado) nelle n incognite è un’espressione del tipo:

1 2

+ + ⋯ + =

11 1 12 2 1 1

+ + ⋯ + =

21 1 22 2 2 2

{ …………………………………………

+ + ⋯ + =

1 1 2 2

, , … , , … ,

Dove si dicono coefficienti e si dicono termini noti.

11 12 1 2

Un sistema si dice omogeneo se tutti i termini noti sono nulli.

̅ , ̅ , … , ̅ = ̅ , = ̅ , … = ̅

Dicesi soluzione del sistema una n-upla di numeri reali tali che, ponendo le

1 2 1 1 2 2

equazioni che compongono il sistema risultino soddisfatte.

Il sistema si dice compatibile se ammette almeno una soluzione, incompatibile in caso contrario.

⋯ ⋯

11 12 1 11 12 1 1

⋯ ⋯

21 22 2 21 22 2 2

= ′ =

[ ] [ | ],

Date e si dice matrice dei coefficienti (o matrice

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

1 2 1 2

′

incompleta) e si dice matrice dei coefficienti e termini noti (o matrice completa) del sistema.

Il sistema si dice normale se il rango del sistema è uguale al numero m delle equazioni; si dice non normale se il rango

del sistema è minore del numero delle equazioni.

Compatibilità di un sistema di equazioni lineari

Lemma: Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema ammetta qualche soluzione è che il vettore

( ), ( ), ( ),

( , , … , ) , , … , , , … , … , , , … ,

dipenda linearmente dai vettori

1 2 1 11 21 1 2 12 22 2 1 2

cioè che appartenga allo spazio delle colonne di A.

Teorema di Rouchè-Capelli: Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di m equazioni lineari in n incognite

ammetta soluzioni è che la matrice incompleta e la matrice completa del sistema abbiano lo stesso rango.

Teorema di Cramer

Un sistema di n equazioni lineari in n incognite con il determinante della matrice dei coefficienti diverso da zero,

ammette una e una sola soluzione, data da: det det det

1 2

= , = , … , =

1 2

det det det

⁡( = 1,2, … , )

Dove è la matrice dei coefficienti ed è la matrice di ordine n che si ottiene da sostituendo alla

colonna i-esima dei coefficienti dell’incognita la colonna dei termini noti.

Soluzioni di un sistema non normale compatibile

Proposizione: Un sistema di m equazioni lineari in n incognite supposto compatibile ed avente rango p<m è

equivalente ad un altro formato da sole p equazioni date, purché la matrice dei coefficienti di quest’altro abbia ancora

rango p.

Sia p il rango della matrice incompleta di un sistema di m equazioni lineari in n incognite, e p’ quello della matrice

completa. Allora:

 ≠ ′

Se il sistema è incompatibile = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ⁡⁡

 = ′ {

Se il sistema è compatibile e se −

< ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ⁡∞ 7

Sistemi omogenei

Teorema: Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile. = = ⋯ =

Infatti, un sistema omogeneo ammette sempre una soluzione, detta soluzione banale (o nulla), per cui 1 2

= 0. Una soluzione non banale è anche detta autosoluzione.

Teorema: Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema lineare omogeneo ammetta autosoluzioni è che il

rango del sistema sia minore del numero delle incognite (e quindi, corollario, che sia nullo il determinante della

matrice dei coefficienti).

Metodo di eliminazione di Gauss per sistemi lineari

Il metodo di eliminazione di Gauss si basa su due principi:

 Un sistema lineare di m equazioni in n incognite si dice ridotto a scalini se la matrice completa ad esso

associata è una matrice a scalini

 Un sistema lineare è sempre equivalente ad un sistema ridotto a scalini

Infatti, riducendo a scalini la matrice associata ad un sistema lineare risulta molto più semplice risolverlo per

sostituzione.

Capitolo V – Applicazioni lineari ∈ () ∈

Dicesi applicazione tra due insiemi S e T una legge f che associa ad ogni elemento un solo elemento

→ : → .

detto immagine di s mediante f. In simboli, si scrive oppure Gli insiemi S e T si chiamano

rispettivamente dominio e codominio dell’applicazione f.

L’insieme degli elementi di T che sono immagini di almeno un elemento di S dicesi immagine dell’applicazione e si

denota con f(S) o Im f.

Se t è un arbitrario elemento di T, si definisce controimmagine di t il sottoinsieme di S i cui elementi hanno come

−1

().

immagine t mediante f e si indica con

Definizione di omomorfismo

Un omomorfismo è un’applicazione lineare tra due spazi vettoriali.

∈ , , … ,

Proposizione: Se un vettore è una combinazione lineare di p vettori di V con coefficienti

1 2

), ),

, , … , ( ( … , ( )

, allora il vettore immagine f(v) è combinazione lineare dei vettori secondo gli

1 2 1 2

, , … ,

stessi coefficienti , cioè:

1 2 ) )

() = ( + + ⋯ + = ( + ( + ⋯ + (

) )

1 1 2 2 1 1 2 2

Verifica della linearità di un’applicazione

: →

Un’applicazione del tipo è lineare se e solo se soddisfa due condizioni:

 , ∈ ,

Dati due vettori l’immagine della somma è uguale alla somma delle immagini. Ovvero:

1 2 ) )

( + ( = ( + )

1 2 1 2

 ∈ ∈ ℝ,

Dati e l’immagine del prodotto di per lo scalare è ug