Formulario Geometria e Algebra Lineare

Formulario e riassunto geometria e algebra

Capitolo I – Elementi di teoria dei vettori ordinari

Equipollenza tra segmenti orientati

Un segmento orientato nello spazio possiede tre proprietà: lunghezza, direzione e verso. Due vettori aventi stessa lunghezza, direzione e verso si dicono equipollenti. La relazione di equipollenza soddisfa tre proprietà:

• Riflessiva: ogni segmento orientato è equipollente a sé stesso.
• Simmetrica: se AB è equipollente ad A'B', A'B' è equipollente ad AB.
• Transitiva: se AB è equipollente ad A'B' e A'B' è equipollente ad A''B'', AB è equipollente ad A''B''.

Vettori

Dicesi vettore l’ente geometrico costituito da una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti. Un vettore di lunghezza unitaria è detto versore. Il segmento orientato AB rappresentante del vettore v si dice vettore applicato in A.

Vettori paralleli e vettori complanari

Due o più vettori non nulli si dicono paralleli se hanno la stessa direzione. Due vettori con uguale lunghezza e direzione, ma di verso opposto, si dicono opposti. Tre o più vettori non nulli si dicono complanari se i loro rappresentanti sono paralleli ad uno stesso piano (due vettori sono sempre complanari).

Somma di vettori

Si definisce somma di due vettori il vettore risultante dalla combinazione dei due. La somma di vettori gode delle seguenti proprietà:

• Proprietà commutativa: per ogni coppia di vettori, si ha che v₁ + v₂ = v₂ + v₁.
• Proprietà associativa: per ogni terna di vettori v₁, v₂, v₃, si ha che (v₁ + v₂) + v₃ = v₁ + (v₂ + v₃).
• Il vettore nullo è elemento neutro rispetto alla somma di vettori: per ogni vettore v si ha che v + 0 = 0 + v = v.
• Per ogni vettore v esiste il vettore opposto –v tale che (–v) + v = 0.

Prodotto di un vettore per un numero reale

Dato un vettore v, si dice prodotto del vettore v per il numero reale k il vettore che ha:

• La direzione di v.
• Verso concorde o discorde a quello di v (a seconda che k sia positivo o negativo).
• Lunghezza uguale al prodotto tra la lunghezza di v per il modulo di k.

L’operazione di prodotto di un vettore per uno scalare gode delle seguenti proprietà:

• Proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori: k(v₁ + v₂) = kv₁ + kv₂.
• Proprietà distributiva rispetto alla somma di scalari: (k₁ + k₂)v = k₁v + k₂v.
• Proprietà associativa: (k₁k₂)v = k₁(k₂v).
• Il numero 1 è elemento neutro rispetto al prodotto per uno scalare: 1v = v.

Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Dati n vettori v₁, v₂, v₃, …, si dice combinazione lineare degli n vettori dati il vettore:

v = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n

I numeri a₁, a₂, …, a_n si dicono coefficienti della combinazione lineare.

Se esistono coefficienti a₁, a₂, …, a_n, non tutti nulli, tali che:

a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n = 0

I vettori v₁, v₂, v₃, …, v_n si dicono linearmente dipendenti. Se invece tale condizione è verificata solamente annullando tutti i coefficienti, i vettori si dicono linearmente indipendenti.

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché due o più vettori siano linearmente dipendenti è che almeno uno di essi si possa esprimere come combinazione lineare degli altri.

Teorema: condizione necessaria e sufficiente perché due vettori siano linearmente dipendenti è che essi siano paralleli (da cui segue che due vettori non paralleli sono sempre linearmente indipendenti).

Teorema: condizione necessaria e sufficiente perché tre vettori siano linearmente dipendenti è che siano complanari (da cui segue che tre vettori non complanari sono sempre linearmente indipendenti).

Teorema: dati tre vettori non complanari v₁, v₂, v₃, ogni altro vettore può esprimersi come loro combinazione lineare (da cui segue che vettori per n > 3 sono sempre linearmente dipendenti).

Capitolo II – Spazi vettoriali

Definizione di spazio vettoriale reale

Uno spazio vettoriale reale V è un insieme non vuoto, i cui elementi vengono chiamati vettori, nel quale sono definite due operazioni:

• L’operazione di somma, che associa a due vettori v₁ e v₂ di V un altro vettore, indicato con il simbolo v₁ + v₂ e detto somma di v₁ e v₂.
• L’operazione prodotto di un vettore per un numero reale (o scalare) che associa alla coppia (k, v) un vettore, indicato con kv.

Le due operazioni godono delle proprietà esposte nel Capitolo I.

Sottospazi vettoriali

Dicesi sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V, o semplicemente sottospazio di V, un sottoinsieme non vuoto S ⊆ V che sia uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto per un numero reale definite in V.

Teorema: condizione necessaria e sufficiente perché un sottoinsieme non vuoto S di uno spazio vettoriale V sia sottospazio vettoriale di V è che si abbia u₁ + u₂ ∈ S e ku ∈ S, ∀u₁, u₂ ∈ S, ∀k ∈ ℝ.

Teorema: dati n vettori v₁, v₂, v₃, …, di uno spazio vettoriale V, l’insieme W di tutti i vettori che sono loro combinazioni lineari è un sottospazio vettoriale di V.

Proposizione: Siano v₁, v₂, v₃, …, v_p vettori linearmente indipendenti e sia v un vettore che non appartiene a Span(v₁, v₂, …, v_p). Allora i p+1 vettori v₁, v₂, v₃, …, v_p, v sono linearmente indipendenti.

Basi e coordinate di un vettore di uno spazio vettoriale

Se V è uno spazio vettoriale finitamente generato, si chiama base di V ogni sistema ordinato di generatori di V linearmente indipendenti. Quindi,

Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché n vettori v₁, v₂, v₃, …, di uno spazio vettoriale V costituiscano una base, è che ogni vettore v ∈ V si esprima in modo unico nella forma:

v = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n

Le coordinate del vettore somma rispetto alla base si ottengono sommando ordinatamente le coordinate dei vettori v₁ e v₂.

Le coordinate del vettore prodotto (di un vettore per uno scalare) rispetto alla base si ottengono moltiplicando ordinatamente le coordinate di v per lo scalare.

Sottospazi intersezione e somma

Siano U e W due sottospazi vettoriali di V. L’insieme dei vettori che appartengono sia a U che a W è un sottospazio intersezione di V, indicato con U ∩ W.

Siano U e W due sottospazi vettoriali di V. L’insieme dei vettori del tipo u + w con u ∈ U e w ∈ W è un sottospazio somma vettoriale di V. Esso viene indicato con U + W. Il sottospazio U + W è somma diretta di due sottospazi U e W se U ∩ W = {0}. Esso viene indicato con U ⊕ W.

Capitolo III – Matrici e determinanti

Definizione di matrice

Dicesi matrice ad m righe e n colonne una tabella A costituita da numeri reali (o complessi) disposti su m linee orizzontali (righe) ed n linee verticali (colonne). Gli numeri si dicono elementi della matrice. Se m = n, la matrice A si dice quadrata di ordine n; se m ≠ n, la matrice A si dice rettangolare.

Due matrici di tipo m × n si dicono uguali se ogni elemento di A è uguale al corrispondente elemento di B. Si chiama trasposta di una matrice A (e si indica con A^T) la matrice che si ricava da A scambiando in essa ordinatamente le righe e le colonne.

Tipologie di matrici

Una matrice quadrata A di ordine n è una matrice del tipo:

[ a₁₁ a₁₂ ... a_1n ]
[ a₂₁ a₂₂ ... a_2n ]
[ ... ... ... ... ]
[ a_n1 a_n2 ... a_nn ]

In una matrice siffatta gli elementi a₁₁, a₂₂, ..., a_nn costituiscono la diagonale principale, mentre gli elementi a₁₂, a₂₃,..., a_n(n-1) costituiscono la diagonale secondaria.

Una matrice quadrata in cui siano nulli tutti gli elementi con i ≠ j si dice matrice diagonale. In particolare, [1 0 ... 0; 0 1 ... 0;...; 0 0 ... 1] è chiamata matrice unità di ordine n. Gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale si dicono anche coniugati. Una matrice quadrata A si dice simmetrica se A = A^T. Si dice antisimmetrica se A = -A^T. Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se a_ij = 0 per i > j, e triangolare inferiore se a_ij = 0 per i < j.

Somma di matrici

Date due matrici di tipo m × n, dicesi somma delle due matrici (e si indica con A + B) la matrice C ancora di tipo m × n il cui elemento generico c_ij è dato dalla somma degli elementi corrispondenti a_ij e b_ij. Ovvero, c_ij = a_ij + b_ij. La somma di matrici gode delle seguenti proprietà:

• Esistenza dell’elemento nullo O, ovvero la matrice nulla (in cui ogni elemento è zero).
• Esistenza dell’elemento opposto –A, tale che A + (–A) = 0.
• Proprietà commutativa: A + B = B + A.
• Proprietà associativa: (A + B) + C = A + (B + C).

Prodotto di una matrice per uno scalare

Se A è una matrice di tipo m × n e k è un numero reale, si definisce prodotto di A per k (e si indica con kA) la matrice di tipo m × n che si ottiene da A moltiplicando ogni suo elemento per k. Il prodotto di una matrice per uno scalare rispetta le proprietà elencate nel Capitolo I riguardanti il prodotto di un vettore per uno scalare.

Lo spazio vettoriale delle matrici

Considerate le proprietà delle operazioni di somma fra matrici e prodotto di una matrice per uno scalare descritte sopra, e confrontandole con la definizione di spazio vettoriale, si può concludere che ℳ(m, n) (denotato con l’insieme di tutte le matrici di tipo m × n con m ed n fissati) è uno spazio vettoriale reale. La base canonica di ℳ(m, n) è formata dal sistema ordinato delle matrici aventi tutti gli elementi nulli escluso l’elemento ij che è uguale a 1.

Prodotto di matrici

La definizione di prodotto di due matrici A e B viene data nel caso in cui il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B. Si chiama matrice prodotto righe per colonne della matrice A per la matrice B la matrice C il cui elemento generico c_rs è dato da:

c_rs = a_r1b_1s + a_r2b_2s + ... + a_rnb_ns = ∑_k=1ⁿ a_rkb_ks

Cioè dalla somma dei prodotti degli elementi della r-esima riga di A ordinatamente per gli elementi della colonna s-esima di B.

Rango di una matrice

Dicesi rango di una matrice A, e si indica con r(A), la dimensione dello spazio delle righe (o delle colonne) di A.

Proposizione: Dati m vettori v₁, v₂, ..., v_m, esistono tra essi al massimo p vettori linearmente indipendenti se e solo se la matrice delle coordinate degli m vettori ha rango uguale a p.

Metodo di riduzione di Gauss

Due matrici A e B di tipo m × n si dicono equivalenti per righe se B è ottenibile da A mediante un numero finito di trasformazioni sulle righe del tipo:

• Scambio di due righe.
• Moltiplicazione di una riga per un numero reale ≠ 0.
• Sostituzione di una riga con la somma di essa e di un’altra.

Le suddette trasformazioni si dicono anche operazioni elementari sulle righe. Si dimostra che la relazione di equivalenza per righe tra matrici soddisfa la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Matrice a scalini

Una matrice si dice matrice a scalini (per righe) se è la matrice nulla oppure se è nella forma:

[ 0 ... 0 a_1k ... ... ... ... ]
[ 0 ... 0 0 a_2j ... ... ... ]
[ ... ... ... ... ... ... ... ... ]
[ 0 ... 0 0 ... 0 a_mi ... ]

Per la matrice a scalini valgono le seguenti proprietà:

• Se gli elementi di una riga sono tutti nulli, allora sono nulli anche tutti gli elementi delle righe successive.
• Nella riga i-esima, il primo elemento non nullo si trova in una delle colonne successive alla colonna corrispondente al primo elemento non nullo della riga precedente.

Teorema: I vettori riga non nulli di una matrice a scalini A sono linearmente indipendenti e costituiscono una base dello spazio delle righe di A.

Teorema: Una matrice è equivalente per righe ad una matrice a scalini.

Teorema: Il rango di una matrice A è uguale al rango di una matrice a scalini A' equivalente per righe ad A, e quindi è il numero delle righe non nulle di A'.

Matrice aggiunta

Data A una matrice di ordine n, si chiama matrice aggiunta (e si indica con A^*) la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complemento algebrico.

[ A₁₁ A₁₂ ... A_1n ]
[ A₂₁ A₂₂ ... A_2n ]
[ ... ... ... ... ]
[ A_n1 A_n2 ... A_nn ]

Matrice inversa

Se A è una matrice di ordine n, si chiama inversa di A, e si indica con A^-1, la matrice di ordine n tale che:

A^-1A = AA^-1 = I

Essendo I la matrice unità di ordine n.

Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice A di ordine n ammetta la matrice inversa è che det(A) ≠ 0. Se questa condizione è verificata, A^-1 è data da: A^-1 = A^*/det(A).

Determinante di una matrice quadrata

Si consideri il campo dei numeri reali ℝ e l’insieme ℳ(n, n) delle matrici quadrate a coefficienti reali. Ad ogni matrice quadrata A ∈ ℳ(n, n), si associa un valore det(A), detto determinante di A, rappresentato dal simbolo:

| a₁₁ a₁₂ ... a_1n |
| a₂₁ a₂₂ ... a_2n |
| ... ... ... ... |
| a_n1 a_n2 ... a_nn |

Determinante di una matrice 2x2

Sia data una matrice 2x2 a coefficienti reali, del tipo:

[ a₁₁ a₁₂ ]
[ a₂₁ a₂₂ ]

Il suo determinante è dato da: det(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

Determinante di una matrice 3x3: metodo di Sarrus

Per calcolare il determinante di una matrice 3x3 a coefficienti reali, del tipo:

[ a₁₁ a₁₂ a₁₃ ]
[ a₂₁ a₂₂ a₂₃ ]
[ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ]

Si riscrive la matrice, senza parentesi, come segue:

Per poi sommare i prodotti degli elementi lungo le frecce blu e sottrarre a tale somma i prodotti degli elementi lungo le frecce rosse:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂).