Formulario Algebra lineare e Geometria

Tips & Tricks

GEOMETRIA QUIZ

• Vettori

• Prodotto scalare:

• Modulo (norma)

|_w| = √(_wx² + _wy² + _wz²)

• Angolo tra vettori: se _wv = 0 acute

• Prodotto vettoriale: _v x _w = |v| |w| sin ψ

• Confronto tra vettori: ≠ 0 _n

• Area/Volume: parallelepipedo triangolo

• Geometria 3D:

• Rette:

Equazione parametriche

• Piano:

Equazioni

d x + b y + c z + t (a x₀ + b y₀ + c z₀ + t_z) = 0

Tips & Tricks

GEOMETRIA QUIZ

Vettori

• Prodotto scalare
  • m₁ ⋅ m₂ = λ*v ⋅ (λ*w)
  • |v| = √(m₁² + ... + m_n²)
• Modulo / Norma
  • |v| |w| cos φ
• Angolo tra vettori
  • Se v ⋅ w > 0 allora acuto
  • Se v ⋅ w < 0 allora ottuso
  • v ⋅ w = 0 allora perpendicolari
• Prodotto vettoriale
  • v ⋅ w = |v| |w| sin ψ
• Area/Triangolo
  • Triangolo: Δ = 1/2 |v × w|
  • Parallelogramma: γ = det(u,v,w)
  • Tetraedro: γ = 1/6 det(u,v,w)

Geometria 2D

• Retta
  • Equazione intrinseca e parametrica
  • Punto: P₀ + [A] λ
• Piani
  • Equazioni: P₀ + [Λ,I,J] λ

- Posizioni tra rette - piani:

• paralleli ↔ rk(A) = 2 ∠∠ rk(A|b) # 2
• coincidenti ↔ rk(A) = rk(A|b) = 2
• incidenti ↔ rk(A) = 3

Metodo piano per 3 punti

PROIEZIONE ORTOGONALE:

\(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\omega} = \overrightarrow{u} - \hat{d} \cdot \hat{d} \cdot \overrightarrow{u}\)

xf - ω (metodo numerare tf)

DISTANZE:

• Punto-punto \(|\overline{AB}|\)
• Punto-retta \(d(P, s) = | \frac{\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{w} }{| \overrightarrow{w} |} \times \overrightarrow{w} | \) prova numerare due q qualsiasi
• Reatta-retta \(d(s, t) = \frac{|det(A)|}{| \overrightarrow{w}|}\)

Se 3 piani se 2 coincidenti due s x due;

Se ^{s ↔ t} congruenti si sposano formula

SPECIE:

• Equazione cartesiana
• Centro \( (\overline{C}, \overline{1}) \)
• Piano mediano

Piano ≡ due specie: SE DED - Equimostis variabile

Posizioni:

• costate se
• tangenti se
• distinti se

- Piano:

• Sim e ben o congruente se t ∠∠ oosta
• tangenti se q simmolare

CONICHE

Matrice associata:

| det(A|B) | →

| sint / pieghi ←

det(A) = 0 → degeneri

det(A|B) # 0 → - procedimento

Algebra

Matrici

• Prodotto Matrici => A·B = R_i(A) · C_j(B)
• Matrici Inversa Matrice
  • Quando |I| ̸ = 0, ̸ A⁻¹ esiste A·A⁻¹ = I, A⁻¹·A = I
  • A triangolare => det ≠ 0
    • (A^-1)^t = (A^t)^-1
    • det(A⁻¹) = 1/det(A)
    • det(A·B) = det(A)·det(B)
• Matrice Simmetrica A^t = A
• Matrice Antisimmetrica A^t = −A
  • Diagonale = 0
• Matrice Ortogonale A^t = A⁻¹, det(A) = ±1

Sistemi

• Rango = N^o righe indipendenti (non nulle e distinte) = dim(A) ̸ min (m, n)
• Se det(A) = 0 => rk(A) < n
• Se det(A) ̸= 0 => rk(A) = n Massimo
• rk(A·B) ̸ min (rk(A), rk(B))
• Sistema omogeneo A·x = 0
  • det = 0 => soluzioni
  • det ̸= 0 nessuna soluzione
• Nucleo ker (A) = {"A·x = 0"}
  • dim ker (A·B) ̸ ker A + ker B

Sistema Lineare

- det(A) = 0: _∞ soluzioni ↔ indeterminato ↔ non invertibile, singolare

- det(A) ≠ 0: unica soluzione per teorema ↔ invertibile ↔ non singolare

• Autovettori: v _λ associati → Autovalori λ ∈ spectrum(A)

Autoconsistenza:

Ax = b compatibile (almeno soluzioni) ↔ rk(A) = rk(A|b)

con ∞ soluzioni: dim > n − rk(A)

Sottospazi

• V' = sottospazio ↔ ∀ u, v ∈ V (λu₁ + λ₂v) ∈ V
• Unione due sottospazi è sottospazio (a volte) o sotto V
• Se dim V' sottospazio = 1 → (λ) _€ t.c v = λ v₁ +…+ λ_nv_n
• Colonna destra componente →
  • costruzioni dim (U+V) = dim U + dim V - dim U∩V
  • dim Im (A) = rk

Applicazioni Lineari

• ∃ g: (V/ U) ^t → (W) ^t ↔ g( v̅ ) = f(v)

Sottosp/g = f ^{- 1}(W')

• iniettiva → ker(f) = {0}
• dim V = dim ker + dim Im
• dim V - dim U = mk / mk’

Base ker — equivalente

Autovalori e Autovettori

• f(v̅) = λv̅ → Av̅ = λv̅
• Autovalores, Autovettore
• A, B simili ↔ P^-1AP = B
• dim ker (A-λI)
• Se A rappresenta un autovettore v: Av = (λ)2A²v

Polinomio Caratteristico:

• P_A(t) = det (A - tI) * Se e unico, esiste Vo, Vp, etc. (non singolare)
• Diagonalizzazione:
  • A diagonale ↔ mat magn > 1 ↔
  • Im q dim ker (A - λI) = n - rk (A - λI)
  • 1 ≤ m ≤ m_A
  • se m_A = m → distinta / diagonalizzabile

Quadriche

• Mattiezza Associata (conj, conj’...) ↔ det. ≠ → Mescol condizioni
• (P_n, no uniformemente nonsing > _{col, col, etc}) nel inizio diagonalizzazione polinominare

Tips & Tricks - Calcolo Numerico

Aritmetica ed Errori

• Rappresentazione floating point
• x=(-1s).pe(*be)8
• Errore relativo: d=a(A
• Progressione Geometrica: em=eps

Approssimazione

• Interpolazione - Condizioni Pn
• Lagrange: yi=

Punto Nodi

• Paragrafo Aggiuntivo: yj=

Convergenza

S_i:

• e^o: Convergenza lenta Unica
• e² più veloce (Q-Luadra)
• Non dipende da disturbo e quassi radicamento.

S₃:

• e^o: Conv. Unicoin Isata
• e^3o più veloce (Q-quadra)
• Mata knot vincolata o(h^n-p) ≠ o(K=a)

Sistemi Lineari

K Condizionamento = ||A|| ||A^-1||

Metodi di soluzioni:

• Diagonale
• Triangolare => sostituzione Avanti/Indietro
• Gauss => Transizioni commutative sostituzioni

Fatt. PA=LU => A=LU^P + (Ca'aut)Sis:tma: LU₂=P(Q)U x swapJ_et(A) = (A)^t n%_loc maxA^*U^-1L^P

Cholesky = solo se A sim Definita positivaA = R^TA (Q Triang. Soc.)

QR => A=QR (n-m ricorrenze r destinazioni mon)

Costi computazionali:

• Gauss h/3 3/5 h/5LU h/6 (n = so, p, epic)Chol h/6QR h/3

Autovalori

Proprietà: a_K(K²) A^-1 A (A^-1 x_A)

- Λ ➞ c_ℓ A_⨴x e per i autovectori ℝ

Proprietà di Rayleigh: Λ(a^x) = x^tA_xx^tA_x x = x_nℓ

Raggio spettrale: ρ(a) = max |Λ_x| dove 2 A_nℓ ρ(Λ(A^TA)) proporzionale ρ(a)

Cerchi Gershgorin = luogo dove si trovano autovalori in C

• PC cmp centro dei I raggi ([sussenti non zero classi])
• C_ℓ cs=s=> [somma controllo assicura classi]
• D^δ (causa) = s(Ds)_Araggi = [verde regolami raggio di assi]

Condizionamento Autovectori: k(5) = ||S|| ||S_-1|| a marroni asimmetrici ≠ k(a)