Formulario Analisi matematica II per la scuola secondaria di secondo grado, concorso scuola secondaria

R

circonferenza sotteso dalla corda , allora la lunghezza di è

AB AB



AB = 2 R sin ( )

Triangolo qualsiasi

 Area del triangolo

     

1 1 1

  

A = ab sin = bc sin = ac sin

2 2 2

           

     

1 sin sin 1 sin sin 1 sin sin

  

2 2 2

oppure A a b c

     

  

2 sin 2 sin 2 sin

a b c

Teorema dei seni = =

     

  

sin sin sin

Teorema del coseno (o di Carnot)

     

 



     

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a = b c 2

bc cos b = a c 2

ac cos c = a b 2

ab cos

           

     

  

Teorema delle proiezioni a = b cos c cos b = a cos c cos c = a cos b cos

Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo di area e semiperimetro

A p

  

     

     

A   

     

r = = p a tan = p b tan = p c tan

     

p 2 2 2 a b c abc

Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo R = = = =

     

  

2 sin 2 sin 2 sin 4 A

a c

Raggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura , , :

b

A A A

r = r = r =

  

a b c

p a p b p c

a c

Lunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura , , :

b

1 1 1

     

2 2 2 2 2 2 2 2 2

m = 2

b 2

c a m = 2 a 2

c b m = 2 a 2

b c

a b c

2 2 2  



Lunghezza della bisettrice relativa, rispettivamente, agli angoli di ampiezza , , :

  

     

     

2

bc cos 2 ac cos 2 ab cos

     

2 2 2

b = b = b =

  

  

b c a c a b

  



   

   

tan cot

    

a b 2 2

 

Teorema delle tangenti o di Nepero    

 

    

a b    

tan tan

   

2 2

Significato trigonometrico della pendenza di una retta

 



dell’angolo

m m tan

coefficiente angolare della retta e misura tra retta e asse delle ascisse:

Angolo tra due rette 

m m

'

  

misura dell’angolo tan

coefficienti angolari delle rette, tra le rette. Si ha

m

, m

' 

1 mm

'

11

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Coordinate polari  



 x cos

   

   

, x , y :  



 y sin

   

2 2

x y



   

y  

  

arctan se x 0 e y 0

  

x

 

   

y 

  

   

arctan 2 se x 0 e y 0

 

x

 



   

 

  

x , y , :  

y

 

  



  

arctan se x 0

 

x



 

   



 se x 0 e y 0

2



 



 3  

se x 0 e y 0



 2

 

 12

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4. ANALISI

Limiti

Proprietà dei limiti

 

Se e , allora

lim f ( x ) = l R lim g ( x ) = l R

1 2

 

x x x x

0 0

  

       

f ( x ) = l , R f ( x ) g ( x ) = l l f ( x ) g ( x ) = l l

lim lim lim

1 1 2 1 2

  

x x x x x x

0 0 0

1 1 f ( x ) l 

 1

= , l 0

= , l 0

lim lim

1 2

f ( x ) l g ( x ) l





x x x x

0 0

1 2

 

Se e , allora

lim f ( x ) = l R lim g ( x ) =

 

x x x x

0 0

   



f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) =

lim lim

 

x x x x

0 0



Se , allora

lim f ( x ) = lim g ( x ) =

 

x x x x

0 0

   

f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) =

lim lim

 

x x x x

0 0

 

 

Se e , allora

lim f ( x ) = l R / 0 lim g ( x ) =

 

x x x x

0 0

 

 se l > 0 f ( x )

 

f ( x ) g ( x ) = = 0

lim lim





 se l < 0 g ( x )



x x x x

0 0

Se non esiste, ma è una funzione limitata, e se , allora

lim f ( x ) lim g ( x ) = 0

f (x )

x x x x

0 0



f ( x ) g ( x ) = 0

lim



x x

0  

Se non esiste, ma è una funzione limitata, e se , allora

lim f ( x ) lim g ( x )

f (x ) 

x x x x

0 0

f ( x )

  = 0

f ( x ) g ( x ) = lim

lim g ( x )

 x x

x x 0

0 13

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Tavola dei limiti notevoli

 Razionali 

  

n n 1

a x a x a



n n 1 0 =

lim 

  

m m 1

b x b x b



x 

m m 1 0

a a a

        

n n n

se n m e 0; se n m e 0; se n m

; 0 se n m

b b b

m m m

 Esponenziali e logaritmici

x x bx

     

1 a a

     

     

a ab

lim 1 e lim 1 e lim 1 e

     

     

x x x

x x x  



x

    ln 1 x

x 1 1

  



  a

lim 1 ax e lim 1

lim x



   

  x

x 1 e x 0 x 0

x    

  

a

log 1 x   1 x 1

1  

   

a lim a

lim log e a R / 1

a 

 x

x ln a x 0

x 0  

x x

 

a 1 e 1



   

lim ln a , a R / 1 lim 1

 

x x

x 0 x 0  

        

lim log x a (1, ) lim log x a 0

,

1

a a

 

 x 0

x 0  

 

   

  

lim log x lim log x a 0

,

1

a (1, )

a a

   

x x

    

x x

lim a 1 lim a 0 a (1, )

  

x 0 x

 

        

x x

lim a a 0

,

1 lim a a (1, )

   

x x

   

       

x b

lim a 0 a 0

,

1 lim x 0 b ,

0

   

x x

   

 

         

b r

lim x b 0

, lim x log x 0 a R / 1 , r R

a



  

x x 0

log x log x

   

            

a a

lim a 0

,

1 , r R lim a (1, )

, r R

r r

 

 

x x

x 0 x 0

 

  

     

b x x b x x

x a = a , b R , a R / 1 | x | a = a , b R

lim lim lim lim

       

x x x x

x b

   

a x

   

       

x x

= a , b R , a R / 1 = a , b R , a R / 1

lim lim lim lim

b x

x a

       

x x x x



 

x b

e x = 0, b R

lim

 

x

 Goniometrici e iperbolici  

sin x sin mx m 1 cos x 1 cos x 1

   

lim 1 lim lim 0 lim 2

   

x nx n x 2

x

x 0 x 0 x 0 x 0

tan x tan mx m arcsin x arcsin mx m

   

lim 1 lim lim 1 lim

   

x nx n x nx n

x 0 x 0 x 0 x 0

arctan x arctan mx m sinh x tanh x

   

lim 1 lim lim 1 lim 1

   

x nx n x x

x 0 x 0 x 0 x 0



x sin x 1 tanh x settsinh

( x ) setttanh

( x )

 

lim lim 1 = 1 = 1

lim lim

3

 

6 x x x

x

x 0 x 0 x 0 x 0

 

      

lim tan x lim tan x lim arctan x lim arctan x

     



 2 2

x x



  x

x 2

2 

  

  

lim cot x lim arccot x

lim cot x lim arccot x 0



    





 x x

x

x 0

Punti di discontinuità

 Discontinuità di prima specie

   

 X R x X l R

, l R

Sia con e di accumulazione per (a sinistra e a destra) e siano .

f : X R X

0 1

14

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Si dice che f presenta un punto di discontinuità di prima specie in se

x 0

   

  

lim f x l l lim f x

1

 

 

x x x x

0 0

 Discontinuità di seconda specie

 



Sia con e di accumulazione per , se almeno uno dei limiti destro o sinistro è

X R x X

f : X R X

0

infinito o non esiste allora si dice che presenta un punto di discontinuità di seconda specie in x 0

 Discontinuità di terza specie    

 

  



Sia con e di accumulazione per e siano , se o

X R x X l R

, lim f x l f x l

f : X R X

0 

x x

0

  non esiste, allora si dice che f presenta un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile in .

f x x

0 0

Derivate  

f ( x h ) f ( x )



 0 0

si dice derivabile in se e solo se esiste finito.

x ( a

, b

)

f : ( a

, b

) R lim

0 h



h 0

Il limite si dice derivata prima di in e si indica con uno dei seguenti simboli

x

f 0 df

f '( x ) o ( x ) o D

[ f ]( x ) o f ( x )

0 0 0 0

dx

Proprietà della derivata e regole di derivazione

  

Linearità Additività (