Esame Analisi matematica 2, consigliato Successioni di funzioni, Oussama Ryhani

Contents 2

1 Definizioni Fondamentali 3

1.1 Definizione 1.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definizione 1.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Differenze tra Convergenza Puntuale e Uniforme 3

3 Esempi Esplicativi 4

3.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Serie di Funzioni 5

4.1 Convergenza puntuale della serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 Convergenza uniforme della serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Tipi di Convergenza per Serie 5

5.1 Convergenza Assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2 Convergenza Totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Teoremi Fondamentali 6

6.1 Proposizione 1.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.2 Teorema di Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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Introduzione

La teoria delle successioni di funzioni è fondamentale nell’analisi matematica,

in quanto consente di formalizzare il concetto di limite e di convergenza in

contesti più complessi rispetto a quelli delle successioni numeriche. In questa

sezione, esploreremo diverse nozioni di convergenza per successioni o serie di

funzioni, soffermandoci in particolare sulla convergenza uniforme, che costituisce

un modello importante per introdurre le nozioni di spazio normato e spazio

metrico.

1 Definizioni Fondamentali {f }

Supponiamo di avere una successione di funzioni , ognuna definita su

n n∈N

m m

un sottoinsieme A di o . La successione è composta da funzioni a

R, R C

valori reali o complessi, e vogliamo studiare il comportamento della sequenza al

variare dell’indice n.

1.1 Definizione 1.1.1

{f }

La successione converge puntualmente alla funzione f su A se, per ogni

n

∈ {f

punto x A, la successione numerica (x)} converge al valore f (x). Formal-

n

mente, ciò significa che: ∀x ∈

lim f (x) = f (x), A.

n

n→∞

Questa definizione indica che per ogni punto x, i valori della successione

f (x) si avvicinano sempre più al valore f (x) al crescere di n.

n

1.2 Definizione 1.1.2

{f }

La successione converge uniformemente alla funzione f su A se la distanza

n

massima tra f (x) e f (x), su tutto l’insieme A, tende a zero al crescere di n.

n

Formalmente: |f −

lim sup (x) f (x)| = 0.

n

n→∞ x∈A

In simboli:

∀ϵ ∃ν ∈ |f − ∀n ≥ ∀x ∈

> 0, : (x) f (x)| < ϵ, ν, A.

N n

2 Differenze tra Convergenza Puntuale e Uni-

forme

La distinzione tra convergenza puntuale e uniforme è essenziale. Nel caso della

|f −

convergenza puntuale, la soglia oltre la quale (x) f (x)| < ϵ può dipendere

n

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sia da n che da x. Invece, nella convergenza uniforme, la soglia ν dipende solo

∈

da ϵ, e vale per tutti i punti x A. Questo rende la convergenza uniforme una

condizione più restrittiva rispetto alla convergenza puntuale.

Un’importante conseguenza di questa distinzione è che la convergenza uni-

forme preserva proprietà importanti delle funzioni, come la continuità e l’integrabilità,

mentre la convergenza puntuale no.

3 Esempi Esplicativi

3.1 Esempio 1 n

Sia A = [0, 1] e consideriamo la successione di funzioni f (x) = x .

n

∈

Per ogni x [0, 1[, abbiamo: lim f (x) = 0.

n

n→∞

Per x = 1, invece: lim f (1) = 1.

n

n→∞

{f }

Quindi, converge puntualmente alla funzione:

n ( ∈

0 se x [0, 1[,

f (x) = 1 se x = 1.

Tuttavia, la convergenza non è uniforme, poiché vicino a x = 1, la distanza

tra f (x) e f (x) non può essere resa arbitrariamente piccola per tutti gli x

n

contemporaneamente.

3.2 Esempio 2 −nx

∞[

Sia A = [0, e f (x) = e .

n

∈ ∞[,

Per ogni x [0, abbiamo:

lim f (x) = 0 per x > 0,

n

n→∞

e f (0) = 1 per ogni n.

n

La convergenza è puntuale, ma non uniforme su tutto A. Tuttavia, è uni-

∞[

forme su ogni intervallo [a, con a > 0.

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4 Serie di Funzioni

Le nozioni di convergenza si estendono anche alle serie di funzioni. Consideriamo

una serie di funzioni della forma: ∞

X f (x).

n

n=0

Analogamente alle successioni, possiamo definire la convergenza puntuale e

uniforme delle serie.

4.1 Convergenza puntuale della serie

P ∈

La serie f (x) converge puntualmente in A se, per ogni x A, la serie

n

P

numerica f (x) converge.

n

4.2 Convergenza uniforme della serie

La serie converge uniformemente in A se la successione delle somme parziali

converge uniformemente. Formalmente:

∞

X → → ∞.

0 per n

f (x)

sup k

x∈A k=n

5 Tipi di Convergenza per Serie

Oltre alle nozioni di convergenza puntuale e uniforme, esistono altre due tipolo-

gie rilevanti:

5.1 Convergenza Assoluta

P P |f

La serie f (x) converge assolutamente in A se la serie (x)| converge

n n

∈

puntualmente per ogni x A.

5.2 Convergenza Totale

P

La serie f (x) converge totalmente se:

n X |f

sup (x)| converge.

n

x∈A

La convergenza totale implica sia la convergenza uniforme che la puntuale.

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