Esame Analisi matematica 2, consigliato Successioni di funzioni, Oussama Ryhani

Introduzione

La teoria delle successioni di funzioni è fondamentale nell’analisi matematica, in quanto consente di formalizzare il concetto di limite e di convergenza in contesti più complessi rispetto a quelli delle successioni numeriche. In questa sezione, esploreremo diverse nozioni di convergenza per successioni o serie di funzioni, soffermandoci in particolare sulla convergenza uniforme, che costituisce un modello importante per introdurre le nozioni di spazio normato e spazio metrico.

Definizioni fondamentali

Supponiamo di avere una successione di funzioni {f_n}, ognuna definita su un sottoinsieme A di ℝ o ℂ. La successione è composta da funzioni a valori reali o complessi, e vogliamo studiare il comportamento della sequenza al variare dell’indice n.

Definizione 1.1

La successione {f_n} converge puntualmente alla funzione f su A se, per ogni punto x ∈ A, la successione numerica {f_n(x)} converge al valore f(x). Formalmente, ciò significa che: ∀x ∈ A, lim_n→∞ f_n(x) = f(x). Questa definizione indica che per ogni punto x, i valori della successione f_n(x) si avvicinano sempre più al valore f(x) al crescere di n.

Definizione 1.2

La successione {f_n} converge uniformemente alla funzione f su A se la distanza massima tra f_n(x) e f(x), su tutto l’insieme A, tende a zero al crescere di n. Formalmente: lim_n→∞ sup_x∈A |f_n(x) - f(x)| = 0. In simboli: ∀ε > 0, ∃ν ∈ ℕ : ∀n ≥ ν, ∀x ∈ A, |f_n(x) - f(x)| < ε.

Differenze tra convergenza puntuale e uniforme

La distinzione tra convergenza puntuale e uniforme è essenziale. Nel caso della convergenza puntuale, la soglia oltre la quale |f_n(x) - f(x)| < ε può dipendere sia da n che da x. Invece, nella convergenza uniforme, la soglia ν dipende solo da ε, e vale per tutti i punti x ∈ A. Questo rende la convergenza uniforme una condizione più restrittiva rispetto alla convergenza puntuale. Un’importante conseguenza di questa distinzione è che la convergenza uniforme preserva proprietà importanti delle funzioni, come la continuità e l’integrabilità, mentre la convergenza puntuale no.

Esempi esplicativi

Esempio 1

Sia A = [0, 1] e consideriamo la successione di funzioni f_n(x) = xⁿ. Per ogni x ∈ [0, 1[, abbiamo: lim_n→∞ f_n(x) = 0. Per x = 1, invece: lim_n→∞ f_n(1) = 1. Quindi, {f_n} converge puntualmente alla funzione:

• 0 se x ∈ [0, 1[
• 1 se x = 1.

Tuttavia, la convergenza non è uniforme, poiché vicino a x = 1, la distanza tra f_n(x) e f(x) non può essere resa arbitrariamente piccola per tutti gli x contemporaneamente.

Esempio 2

Sia A = [0, ∞[ e f_n(x) = e^-nx. Per ogni x ∈ [0, ∞[, abbiamo: lim_n→∞ f_n(x) = 0 per x > 0, e f_n(0) = 1 per ogni n. La convergenza è puntuale, ma non uniforme su tutto A. Tuttavia, è uniforme su ogni intervallo [a, ∞[ con a > 0.

Serie di funzioni

Le nozioni di convergenza si estendono anche alle serie di funzioni. Consideriamo una serie di funzioni della forma: ∑_n=0^∞ f_n(x). Analogamente alle successioni, possiamo definire la convergenza puntuale e uniforme delle serie.

Convergenza puntuale della serie

La serie ∑ f_n(x) converge puntualmente in A se, per ogni x ∈ A, la serie numerica ∑ f_n(x) converge.

Convergenza uniforme della serie

La serie converge uniformemente in A se la successione delle somme parziali converge uniformemente. Formalmente: lim_n→∞ sup_x∈A |∑_k=n^∞ f_k(x)| = 0.

Tipi di convergenza per serie

Oltre alle nozioni di convergenza puntuale e uniforme, esistono altre due tipologie rilevanti:

Convergenza Assoluta

La serie ∑ f_n(x) converge assolutamente in A se la serie ∑ |f_n(x)| converge puntualmente per ogni x ∈ A.

Convergenza Totale

La serie ∑ f_n(x) converge totalmente se ∑ sup_x∈A |f_n(x)| converge. La convergenza totale implica sia la convergenza uniforme che la puntuale.