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BASI E RICHIAMI
BASI RICHIAMI
1 E CONTINUITÀ
CONCETTI FONDAMENTALI E
I SCALARE PARZIALI
DERIVATE
PRODOTTO
ORTOGONALITA VETTORE GRADIENTE
NORMA PROPRIETA DERIVABILITÀ
CENTRATA
PALLA DIREZIONALI
DERIVATE
FRONTIERA
ESTERNO
INTERNO CHIUSURA
APERTURA IMINIMI MASSIMI
E LOCALI
P DI ACCOMULAZIONE PUNTO CRITICO
ISOLATI
PUNTI DIFFERENZIABILITÀ
LIMITATEZZA
E CONVERGENZA
COMPATTEZZA
GRAFICO
LIMITI
1
ANALISI 2 GFD
CONCETTI FONDAMENT
ALI
CONCETTI FONDAMENTALI
04.10.21 Il lo
del
II IR
è dove
spazioambiente
corso
protagonista
IB velt sul E di dim
lavoreremo è spazio
uno campo
X
X eri
vole
colle
Lavoreremo
n ta
sue an
m
TIER
RICHIAMI Il
due
tra risultato
opla è
M
Operazione un
RODOTTO
scalare del
elemento campo È
Y
X R
E
Ziyi
Y
Y
X X
PS 1 COMMUTATIVA
Y
E
X
P.S A
MY Z
DX E
I µ
PS X Y Zeri
X X 0
3 RM
X Y E SONO se
ORTOGONALI
RTOGONALITA Y
X 0 la
vale
Osservazione Prodotto
NON legge ANNULLAM
di
NB note
è
Obiettivo definizioni
questaprimaparte già
generalizzare
lo
IR IR
vettoriale
in per spazio 4
ANALISI 2 GFD
CONCETTI FONDAMENT
ALI
CONCETTI FONDAMENTALI
04.10.21 Helm
di vettore
NORMA Modulo
Lunghezza un
fax la
I XII farlo
X sicuramente P.S 3
posso per
ma
il
Y lei
che
I X di vedremo
concetto distanza in
è primo
No HAI O
1
No HAI X
O
1 0PM
XII
117
No 11 181
3 IlXtYIIEHXIIAHYII.TK
No X Y
4 di
No disuguaglianza
5 CAUCHYSCHWARTZ
KX.Y I I
XH.MY
NO 6 disuguaglianza TRIANGOLARE
DX YI IYI
HAI
E IRI
NO IX
XII
I
MI
7 se
NO P S
VERIFICHE 3 Si
I EX XEIRM
Hai X
No si
e 0pm
o
O
tizi
NO 3 Y AY
NY
NY
YI X
XY
No DX
4 Y Y
X XY
X Y
X si
LIMITE
NYERI AYN HAI
LEIR X
IIX Y O
NO 5 di
è AL
II d 0
in
un POLINOMIO GRADO
Y IXIMIYYEONT
X le
KAY NIIMI si
HYMIE XIII IYI HEX
X Il
Y
No XI Y E
411 E
6 11
ELIXIR NYITTEIXHIYI 5
ANALISI 2 GFD
CONCETTI FONDAMENT
ALI
CONCETTI FONDAMENTALI
04.10.21 ZERI
ERM Eller
E BCE
7 M
T X
0
PLIERATA di
E
detta Br
è E
E
PALLA CENTRATA IN RAGGIO ANALOGO
KERI
IRI IX E
IlXII BCE
RI E
L
M A
ESEMPI E eri
me BLA E Il
g e
51 y
r x
y
x
IR centro tridimens
vettore
SFERA con z
x
in y
EERM Ir
E te
EE dice o
INTERNO
si
INTERNO se
È Cioè I
E interamente
BCE E E
se
2 PALLA
una in
CENTRATA
È E
E E
di
internodi
contenuta è
detto sottoinsieme
in É
EEE E I ad E
Xè
TE INTERNO
ERI
E IERI te
Ir
dice
si esterno o
ESTERNO se
GE I
Cioè
E interamente
BCE E
se
2 PALLA
una in
CENTRATA
il In
E E
di E
GE
contenuta in complementare
ERI
E IERI di Trio
dice
si FRONTIERA se
FRONTIERA NE da
DE Blair GE
BLED A
DE E
di
ZERI è
Z PA
FRONTIERA
di E
LE
N.B di
intorno
detto
è FRONTIERA BORDO un
O ogni E
che
E
di contenuto
è Parte
in in
sia
frontiera in
punto
Una di
l'insieme studiarla
tutti gli
è Aperti
NOTA vogliamo
TOPOLOGIA di
concetti
i CHIUSURA
APERTURA
INTRODUCIAMO e
ergo 6
ANALISI 2 GFD
CONCETTI FONDAMENT
ALI
CONCETTI FONDAMENTALI
04.10.11 HEA Ir EA
AER t.C.BIZ
è
APERTURA O r
se
APERTO
tre
Cioè A
A
esiste interamente
che
intorno è in
un
ESEMPI APERTO
RI APERTO
AUB AB aperti
APERTO con
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APERTO con È
E
EERM E
Osservazione APERTO
GB
BERM B
IBM
è è
CHIUSURA se
CHIUSO APERTO
ESEMPI CHIUSO che
insiemi Aperti
sia chiusi
Unici
RM chiuso
AnB chiusi
A B
CHIUSO con
AxD chiusi
A B
CHIUSO con È DE
E Et
di
NOTAZIONE D
CHIUSURA di
ZERI
EERM è
di
to ACC X q.to ACCUMULAZIONE
Ha
E Blair NE palla
a
se Ogni
o
per opti di
di
centrata E
contiene
x
Il alla
N.B di
di d'ora
concetto sarà in
palla Base
CENTRATA poi
definizioni
numerose
È È che
il E
chiuso contiene
piccolo insieme
più di
UN è UN'UNIONE
FINITA FINITA
APERTA
INTERSEZIONE APERTI E
lo
dire
Non
di stesso
è infiniti
si insiemi
chiusi può
chiusa per 7
ANALISI 2 GFD
CONCETTI FONDAMENT
ALI
CONCETTI FONDAMENTALI
10.11
5 EEE
E di E
ERM è
E
o.to ISOLATO
p.to
ISOLATO se
t.c.BIZ
Ir E E
MA
O il
vuole di farlo
Adesso introdurre concetto compattezza
si per
delle di
avvaliamo definizioni
ci convergenza e Limitatezza
Sia RM IER
valori
An successione a in
ONVERGENZA OK è CONVERGENTE se Il
I
He HK E
KEN f dell
an
so E
c Il
à O
Notazione 11
ok da
a
fingo Gogo I
SIR
E è O
2
t.c.EE
IMITATEZZA LIMITATO se
E
cioè è
BLOM contenuto intorno
2 in un dell'origine
SIR
E è se
OMPATTEZZA successione
per
COMPATTO ogni
E
valori è possibile successione
in ESTRARRE una SOTTO
a
CONVERGENTE EE
è è
take E I
E se compatto aka 2kg
La data
N.B esatta
è quella
definizione precisamente
non
appena
della
tratta O'PER Successione
SEQUENZIALE
si COMPATTEZZA
spazitrattati def
in Equivalenti
Negli questocorso sono 8
ANALISI 2 GFD
CONCETTI FONDAMENT
ALI
CONCETTI FONDAMENTALI
05.10.11 di HEINEBOREL
ELINCIATO ERI E
E è limitato
chiuso
compatto e
HT
CHIUSO
ESEMPI O COMPATTO
LIMITATO
PI limitato
CHIUSO NON
NON COMPATTO
BIO 1 NON
NON CHIUSO COMPATTO
BIO
BIO di
Chiusura 1 COMPATTO
1
Adesso trattare
elementi
si abbastanza cominciare a
per
possiedono
dello f
delle
delle
studio mi
caratteristiche
qualitativo
FUNZIONI CONTINUE
FUNZIONI CONTINUE PAG 27
a
esempi
il
Si di
vuole introdurre farlo
continuità
concetto sara'fondamentale
per
di
le il
B veda
Prima si
limite
definizioni in grafico
INTRODURRE CHI E
M GR f xD
EEXIRMT.ci E
X
GRAFICO Y y
in IR
IBM
E
SIRM
dove GRIL ETRMM
GRIL E
IRE
ERI
E GRIL E PIANO 3
M
EIRE
E IR
GRIL E spazio
le Il
N.B Si loro
delle f
caratteristiche mi
vedranno non
ma i grafici
ha
di f IBM dimensioni
Mtl
in
ne
una
grafico 9
ANALISI 2 GFD
FUNZIONI CONTINUE
FUNZIONI CONTINUE
05.10.11 di
Si che
introducono definiz Limite
3 fondamentali
saranno
il
tutto corso
per LER
f
LIMITE IERI
EERM E
R di
E ACC
P per
E
fa
1 Ema
FINITO A
FINITO LA
Ir
TESO ZEB
T.C NE
E E
CIOÉ BELL
E X
O
h
fa E
E la r
se
OVVERO fa
2 too
Ema
A
FINITO
INFINITO HM In M
T.C XEBRLENE FCE
O E
CIOÉ O E
E
MELLE la 2
Se
OVVERO
Iff fca
3 00
A
FINITO
INFINITO Imao Ir f NE fa
ZEBRE E
CIOÉ M
O Z
C E
FCE la r
se
MA
OVVERO E
B E
Osservazione E sicuramente e
in 1 te a
di E B di
di
o.to
è E
è E contiene
poiché oop.fi
Acc D
limite limiti
della dei
A somma somma
del
limite limiti
dei
prodotto
B PRODOTTO 10
ANALISI 2 GFD
FUNZIONI CONTINUE
FUNZIONI CONTINUE
06.10.11 FEHR di E
E
ERM Accordi
è p.to
COITI A il
f E p.to
è limite
quel esiste FINITO
in
in
CONTINUA se Ics La
Enz
HE LA
t.CI
IT EBrCEJnE BELLE
E
SO
CIOÉ O E
FCE E la
FCE r
Se
OVVERO In la
è
Osservazione è
condizione
questocaso non a
necessaria
Il
If E f E nella
01 di
E consiste possibilità
vantaggio
che
anche pii di
è
applicata accumulazione
essere sono
a non
di pti
la anche
è
def
Perciò continuità isolati
applicabile a
Ii NE
t.c.BE
E
Se di
è E
p.to E
è isolato O
t.C.la f
è è è è
E O in
0 r Me CONTINUA
FISSATO di di
ti f
E
di
i punti
ISOLATI CONTINUITÀ
sono
TUTTI g
di di
foto tutti
è continuità
isolato
successione sono
una
Ogni f E
ERM f
IR
E detta
è continua
ONTINUITÀ se
del
P.TO DOMINIO
e suo
in OGNI
CONTINUA di
È
HEED
N.B Funzione pito CONTINUITÀ
continua se
Hee
fa fa Dominio
Ema
Le f
N.B mi Continue
successioni sono 11
ANALISI 2 GFD
FUNZIONI CONTINUE
FUNZIONI CONTINUE
06.10.11 8 E
R ERI
R
E E
G CONTINUE
1
F
C fig CONTINUA
I
F
C G CONTINUA
g
F fly
C 3 CONTINUA
4
F fig
C CONTINUA utile
che
Introduciamo avanti
più
sarà
teorema
un di Weierstrass
solo
ENUNCIATO f
E
ERM IE
E E CONTINUA
COMPATTO
ha
f
Allora Minimo
Massimo e
I t.c.am fiale EE
cioè a E ami
am
am
Si delle f
08.10.91 vede correlata agli
Aperti
mi
ora continue
proprietà
una la di
definizione
ricorda
si controimmagine
però
prima EA
FCA if
AEIRMT.C.LA A Dom
E
CONTROINM limiti
N.B IL 4 dimostrabili attraverso
F
C proprietà
facilmente 12
ANALISI 2 GFD
FUNZIONI CONTINUE
FUNZIONI CONTINUE
08.10.11 PROPOSIZIONE
PROPOSIZIONE
f HA
IRMIR IBM
L di
A
CONTINUA APERTO APERTO
IR
f A
IBM ELEM
ipotesi CONTINUA IR
tesi HA L di
A APERTO
APERTO fà
AER A
LE
FISSO cioè
A
TE E
APERTO
ROCEDIMENTO f
interno
Se vista
Irso Br
è A
E
p.to e
fosse
l'arbitrarietà di L
E A VERIFICATO APERTO
SAREBBE te
A
Dal che EA
f IE
A momento peripot questo o
APERTO Belle EA EA
fate
cioè FCE E
f Ir Hae
che t.ci Br
I E
Visto cioè ze
e continua o
continua A
fa LE FA
HAE
f B
di E
E
JEF E
D
MA
ALLORA
che Hae ZELIA
Bale
ciò significa di
è
Bale contenuto
un'intorno
Quindi è completamente
FCA
in ELIA FCA è
BRIE OK
APERTO
del
A il
N.B FIA
è sottoinsieme è
un condominio
corrispondente
del fa EA
etc
sottoinsieme dominio 13
ANALISI 2 GFD
FUNZIONI CONTINUE
FUNZIONI CONTINUE
08.10.11 IR
HA L di
A
ipotesi APERTO
APERTO
IR
f
tesi AER
IBM CONTINUA
di
I continuità
è
roled p.to
suo
se
CONTINUA
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HER In
HE IIa LAKE
IERI ZEBRE
O O che
fa allora
Cioè fce
E Be Verifichiamo e siaq.to
ogni di f
A di LE
Be
continuità l'intervallo
D'ora aperto
BELLE poi
in il AER che
fà sarà nostro ciò
FCE implica
E
E If
f LIKE
TEIRM
A cioè
f BELLEI
E
di x
A
see la
che di continuità
è e
in
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f è OK
CONTINUA al
un'ultima di
Si introduce proprietà prima passare
sulla
basata precedente
dimostrazione
argomento
prossimo IR C
CE A R APERTO
CHIUSO
CHE
RICORDANDO FI
HC IR
di di RM
è un chiuso
chiuso
Se
N.B CE
IR
AGIR GA
E
APERTO FA
L IRM
FAR
A C 14
ANALISI 2 GFD
DERIVATE PARZIALI
DERIVATE PARZIALI ATTENZIONE
08.10.91 PAG
A
ESEMPI di
Si di derivate
vuole parziali dire
e vuol
cosa
parlare variabili
di più
derivare funzioni
alla
di
Prima sviluppa
si
definizione
arrivare un ragionamento
IR A
f A ERM EEA
APERTO
Come è
si descrivere qualsiasi
può passante
un segmento per
DOMANDA Un descrivere
si
qualsiasi segmento può
la
conoscendone 1 Punto direzione
e t
ad
Prendiamo un PARAMETRO
esempio il
Ed
te SI EIR
1 E
e VERSORE
Ned del tes
I
p.to sarà Xo
Ogni segmento
che A è aperto
SAPENDO A
t.c.BR
In E
tell ESCE
TI
E HI
Hillel ETTENHEIM
o la ffà
R t
8,81 tes
f.me
Definiamo ora g
t del
ad
che Parametro p.to
associa e
un segmento
ogni proviamo
GER
la te
farne 0
in
a DERIVATA Ital
del
E sett
9l0l
qq.li
gGlht G
g
AYÈIENTALE h
Si
N.B A di IBM l'introduzione
semplificare
APERTO per
suppone
della definizione
nuova
Il limite
N.B la
risulta
scritto definizione
essere
proprio
appena
nella di
della direzione
derivata es 15
ANALISI 2 GFD
DERIVATE PARZIALI
DERIVATE PARZIALI
08.10.91 limite
il
Se Esiste FINITO
DELL'IAEA si
Hateg
Imo
chiamato derivata parziale
viene Glie Desse
CE
Da
GHE
IR nella
versati Base canonica
ci
IN n
sono ergo
direzioni derivate
n parziali
e
privilegiate m
Elle EH
Elle
f EEA
A IR di
A IBM
ERNABILITÀ APERTO le
f derivate
E esistono
è Parziali
tutte
derivabile se
in
Se il
f costruire
E
VETTORE DERIVABILE in possiamo
GRADIENTE le
di dee
le
dimensione
vettore n componenti
cui sono
nelle variabili Vettore
21 Gradiente
2m
PARZIALI EH
EHE EHH
ILLE svolti
N.B come LE DER PARZIALI
CALCOLANO
si esempi
ATTENZIONE
in AULA PAG
a 16
ANALISI 2 GFD
DERIVATE PARZIALI & DIREZIONALI
DERIVATE PARZIALI E DIREZIONALI
91
08.10 In IR f derivabile è
Osservazione à non
in
una ne
MPORTANTE anche
necessariamente quel
in
continua punto
In di oltre
Rmesiste
più Base quella canonica
una a
Posso derivare V
qualsiasi
parzialmente rispetto versone
a
di Rm LEI Lei
gig 1
HERM AHI il
Se limite allora
esiste Finito
precedente
JERNATA
Irezio
NAVE chiama derivata
si DIREZIONALE
D
fà fà
Notazione 9
IN IR
f
ESEMPIO fà IX 0,0
E
se 9
x 9 0,01
ix
se 9 VERI
al di
A flo IVI
V
CALCOLARE 1
variare
10,0
411,01
110.9 1 0
11,01 fimo Emo 0
e tifi
ha
11h Cim
Hiv fino 401 9
I h
io
vivi È 9110
È uteri I
Hy
ERM
Idulfo CO
D MA
IN NON E
DERIVABILE CONTINUA 17
ANALISI 2 GFD
DERIVATE DIREZIONALI
DERIVATE DIREZIONALI
11.10.11 Ci di
di
più
forte quello
concetto
serve DERNABILITÀ
un la
che visto continuità
è più
non
come si garantisce dulce fce
de
Osservazione 1,0 0
Il
se alle
e derivate
via
così direzionali come
pensare
possiamo
ad delle
una PARZIALI
GENERALIZZAZIONE
DIFFERENZIABILITÀ
DIFFERENZIABILITÀ
Si il di
introdurre farlo
vuole differenziabilitàper
concetto
le
date si
definizioni necessarie RICORDERÀ
e
verranno
prima del
l'enunciato Fermat
di
teorema
B A IBM
f A E APERTO
MASSIMO
RELATIVO Un f
EEA dice Massimo locale
punto si se
per
Ir LA HEE BRIANA
ESCE
0 A
B IRM
f A E APERTO
ieri Un f
IEA dice Minimo
punto locale
si se
per
Ir fa AXE BRERA
FCE
0
RICHIAMO Fermat
di sui PUNTI STAZIONARI
IR
Sia D di
f d f
MIN
A A
E
Xo RELATIVO
O
MASSIMO
Se f allora
è 0
f'Cao
to
in
derivabile
Di IR
il concetto
si
seguito generalizzarne in
procederà a 18
ANALISI 2 GFD
DIFFERENZIABILITÀ
DIFFERENZIABILITÀ
11.10.11 f A AGIR
IR E MINIMO
APERTO MASSIMO LOCALE
O
VERI
di f IVI L versare
i che alle
I duffel Allora O
Supponiamo IT Hae f Efe
na
E Br E
O
MAX LOCALE É
I
EA EA
E BRIE
aperto 7
21
min Te
SCELGO la di derivata
der in
Parziale
definizione o
Seguendo come
tafletti
Ed SI Ai
di fce
funzione
una g go
GRALE di RIEMANN de
Leth
IO I
ER E o
Gmg g
IPOTESI h
Ed
Se Brie
SI troverà
è E
sufficientemente piccolo si
ebree
letto
dunque effetti fce
tetto tto gli
to
Fissato E ga
di
Quindi è I
q.to locale
o O
Massimo per PERROT
G
g
DICE
di
T FERMAT o O
o
G
La di
valida
N IR
è
B appenadimostrata versare
proposizione
la nella
di
diretta trattata
è
ciò osservi
prossima
conseguenza 19
ANALISI 2 GFD
DIFFERENZIABILITÀ
DIFFERENZIABILITÀ
11.10.11 EEA di f la f
di
è
Osservazione Max
p.to min è
se e ne
o
Avieri
allora Il
Vill
derivabile 1
E
in versare
Hi
AFIE MI
1
O e
che
implica
ciò ILLE Q
0
0,0
IR EA
A
f ILLE
E Q
PUNTO
CRITICO di
l'insieme
E punto è questi
critico
si dice
ZEA TILE detto
è
Q dei critici
INSIEME P.tl
A EEA I
A
f R ERI E
IN
DERIVABILE
APERTO
FERENZIABILITA f E
in
dice se
DIFFERENZIABILE
si
he
Rm Il ER km
viola di
n Islesha
Heth Ice
fino
A o
11h11
teeth
e Ita Ici The E
X
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