Equazioni superfici 3d

R

{(x,

S = y, z) : z = f (x, y)} = G(f )

è una superficie regolare. Rappresentazione parametrica

 x = s,



 y = t,

 ∈

z = f (s, t), (s, t) A.



Prodotto vettore fondamentale:

i j k

   

i j k

∂σ ∂σ ∂y

∂x ∂z

∧ 1 0 ∂ f (s, t)

= det = det 1

   

∂s ∂s ∂s

∂s ∂φ ∂y

∂x ∂z 0 1 ∂ f (s, t)

2

∂φ ∂φ ∂φ −∂ −

= f i ∂ f j + k

1 2

Norma: ∂σ

∂σ p 2

∧ ||∇f ||

= 1 + .

∂θ ∂φ

Quindi Z ZZ p 2

||∇f

φ dS = φ(s, t, f (s, t)) 1 + (s, t)|| ds dt.

S A 2 2

R ≤

Esempio. Calcolare (z +1) dS dove S è la superficie descritta da z = xy , x +y 1 .

S

Soluzione. S è il grafico della funzione f (x, y) = xy definita sul disco di raggio 1 ,

2 2 2

∈ ≤

D = (x, y) : x + y 1 . Quindi

R

Z ZZ p 2 2

1 + x + y dx dy

(z + 1) dS = (xy + 1)

S D

2π 1

Z Z p

2 2

= (r cos θ sin θ + 1) 1 + r r dr dθ

0 0

1 2π 1

Z Z Z

p p

3 2 2

= r 1+ r cos θ sin θ dθ + 2π 1 + r r dr

0 0 0

1

Z p 2

= 2π 1 + r r dr

0

√

2π −

= ( 8 1)

3

Esercizio. Calcolare l’area della superficie

1 1

3 2 2 2 2 2 ≤

∈ ≥ − ) + y .

S = (x, y, z) : x + y + z = 1, z 0, (x

R 2 4

Soluzione. S è l’intersezione della sfera di centro l’origine e raggio 1 con il semispazio

≥

z 0 e il cilindro circolare di raggio 1/2 che ha come asse la retta x = 1/2, y = 0 .

Parametrizziamo S usando coordinate cilindriche. L’emisfero superiore è dato da

 x = r cos φ,



 y = r sin φ,

√

 2

− ≤ ≤ ∈

1 r , 0 r 1, φ [−π, π]

z =



1 1

2 2 2

− ≤ − ≤ ≤ ≥

La condizione (x ) + y da r r cos φ 0 , cioè r cos φ . Poiché r 0

2 4 ∈

questa condizione è soddisfatta solo se φ [−π/2, π, 2] . In conclusione la rappresentazione

parametrica di S è  x = r cos φ,



 y = r sin φ,

√

 2

− ∈

1 r , (r, φ) A,

z =



2

∈ ≤ ≤ ∈

dove A = (r, φ) : 0 r cos φ, φ [−π/2, π/2] .

R

Prodotto vettore fondamentale:

i j k

 

  i j k

∂σ ∂σ ∂y r

∂z

∂x −

cos φ sin φ

∧ √

= det = det

 

 

∂r ∂r ∂r 2

1−r

∂r ∂φ ∂y

∂x ∂z −r sin φ r cos φ 0

∂φ ∂φ ∂φ 2 2

r r

√ √

= cos φ i + sin φ j + r k

2 2

− −

1 r 1 r

Norma: ∂σ ∂σ r

√

∧ .

=

∂r ∂θ 2

−

1 r

π/2 cos φ π/2

Z Z Z

r

√ − | −

area(S) = dr dφ = (1 sin φ|) dφ = π 2.

2

−

1 r

−π/2 −π/2

0

Problema. Data una curva regolare γ nel semipiano x = 0, y > 0 , trovare una rappre-

sentazione parametrica della superficie di rotazione S ottenuta ruotando γ attorno all’asse

z . La rappresentazione è regolare? Determinare l’area di S .

∈

Soluzione. Sia x = x(t), y = y(t), t [a, b] una parametrizzazione di γ . Un pun-

to sulla curva γ ha coordinate (0, y(t), z(t)) . Ruotando attorno all’asse z descrive una

circonferenza di centro (0, 0, z(t)) e raggio y(t) di equazioni parametriche

 x = y(t) cos θ,



 (1)

y = y(t) sin θ,

 ∈

z = z(t), θ [0, 2π].



∈ ×

Al variare di (t, θ) [a, b] [0, 2π] le (1) forniscono una rappresentazione parametrica di

S .