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Considerando la condizione di sufficienza :

f ' f ' 2 0

( ) ( )

= = − ⇒ = = −

xx xy 2

H x , y f ' f ' f ' H x , y 4

xx yy xy

f ' f ' 0 2

yx yy

   

1 1

   

abbiamo in P 0 , , P 0 , due punti di sella .

1 2

   

2 2  

( ) ( ) 1 11

= = ± = −

 

Calcolando il valore della funzione in tali punti si ha : 0 ,

z P z P f

1 2  

2 4

Esaminiamo ora i punti vincolati sulla frontiera :

( ) ( )

= − = − + − − ⇒ = − + +

2 2 2 2 2

x 9 y si ha : f y 9 y y y 3 f y 2 y y 6

Per

( ) = − ±

f ' y 4 y 1 ( ) 1

> ⇒ − + > ⇒ <

Per f ' y 0 4 y 1 0 y

y 0 4

+ -

1

0 3

4

( ) 1

> ⇒ − − > ⇒ < −

<

Per f ' y 0 4 y 1 0 y

y 0 4

+ -

1

− −

3 0

4

Calcolando il valore della funzione in tali punti si ha :

  ( )

143 1 143 1 1 49

 

± ± = + − − = ± = −

f , 3 , f 0 , 3 9

 

 

4 4 16 4 16 8

E quindi riassumendo :

La funzione assume il massimo assoluto in :

       

143 1 143 1 143 1 143 1

       

+ − − + − −

, , , , , ,

P P P e P

       

3 4 5 6

4 4 4 4 4 4 4 4

       

La funzione assume il minimo assoluto in :

( ) ( )

P 0 , 3 , P 0 , 3

7 2  + = + + x

2

y ' ' 2 y ' 2 x 3 e

 ( ) = −

Risolvere il seguente problema di Cauchy y 0 1

 ( ) =

y ' 0 1

Svolgimento :

Risolvendo l’equazione caratteristica associata :

λ = 0

λ λ

+ = ⇒ 1

2 2 0 λ = − 2

2 ( ) ( )

ϕ

−2

= + +

x

da cui l’integrale generale del tipo : y x c c e x

1 2

( )

( )

ϕ ϕ = + + + x

2 2

Per la determinazione di x si ha : x ax bx c a e

1

( )

ϕ = + + x

2

' x 2 ax b 2 a e

1

( )

ϕ = + x

2

' ' x 2 a 4 a e

1

sostituendo nell’equazione di partenza :

+ + + + = + +

x x x

2 2 2

2 a 4 a e 4 ax 2

b 4 a e 2 x 3 e

1 1

si ha :  1

=

a

 1 8

=

 

a

8 1

1

  1

= ⇒ =

 

a a

4 2 2

 

+ =

 a b

2 2 3 =

 b 1

 2

( ) 1

x

= + + + +

x x

2 2

ritornando quindi all’integrale generale : y x c c e x e

1 2 2 8

Per Cauchy : 2

 ( ) x 1

+ = + + x

2 −

= + + + +

' ' 2 ' 2 3

y y x e x x

2 2

y x c c e x e

 1 2

( ) 2 8

= −

 0 1

y

 ( ) 1

( ) −

= − + + +

= x x

2 2

y ' x 2 c e x 1 e

' 0 1

y

 2 4

 

9

1 5

+ = −

− = + + = −

c c

c c c

1

  

  

1 2

1 2 1

8

8 4

⇒ ⇒

  

1 1

1

   = +

= +

= − + + c

c

c

1 2 1

  

  2

2

2 8

4 8 2

( ) x

5 1 1

= − + + + +

x x

2 2

e infine l’integrale particolare : y x e x e .

4 8 2 8

Calcolare il volume del solido convesso compreso tra le superfici

+ − = = + +

2 2

z 6 y 2 0 , z 2 2 x 2 y .

Svolgimento :

Dal sistema tra le due superfici si ha :

+ − = = − = −

  

z 6 y 2 0 z 2 6 y z 2 6 y

⇒ ⇒

  

= + + = + + + + =

2 2 2 2 2 2

  

2 2 2 2 2 2 3 0

z x y z x y y x y

Il volume della porzione di solido formato dall’intersezione tra le due superfici è dato da :

[ ]

( ) ( )

∫∫

= −

V f x , y f x , y dxdy

2 1

D

Con l’uso delle coordinate polari si ha :

ρ ϑ

=

 x cos

 3

ϑ π ρ

≤ ≤ ≤ ≤

 con 0 2 , 0

3 ρ ϑ

= − + 2

 y sen

2

[ ]

( )

( )

∫∫

= − − + + =

2 2

V 2 6 y 2 1 x y dxdy

D  

 

( ) 9

∫∫ ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ ρ ϑ

= + − − + + − +

 

2 2 2 2

 

V 2 9 6 sen 2 1 cos 3 sen cos d d

 

 

4

T θ T

y π

2

⇒ ρ

x 0

D 3 / 2

C ( 0 , -3/2 )

3 3

π π π

 

ρ

 

2 2 2

4

2 9 9 81 81

2

∫ ∫ ∫ ∫

ϑ ρ ρ ρ ϑ ρ ϑ π

− = − = =

 

3 2

 

d d d d

2

   

2 4 2 32 16

0 0 0 0

0 ( ) = + − −

2 2

Trovare i massimi e i minimi assoluti della funzione f x , y arccos 4 x 5 x y

Dominio :

+ − − ≥ + − − ≥

  + − − ≤

2 2 2 2

 

4 x 5 x y 0 4 x 5 x y 0 2 2

x y 4 x 5 0

⇒ ⇒

   + − − ≥

− ≤ + − − ≤ + − − ≤

  2 2

2 2 2 2 x y 4 x 4 0

1 4 x 5 x y 1 4 x 5 x y 1

Poichè lo studio della funzione è riferito ad un dominio chiuso ( vedi teorema di weierstrass ) essa

ammette il minimo ed il massimo assoluto in tale dominio .

Dalla condizione necessaria per i massimi e i minimi si ha :

 4 2 x

 + − −

2 2

2 4 x 5 x y

 − =

=

 0

( )

f ' 0  − + − − − =

x

  2 2

1 4 x 5 x y x 2 0 ( )

⇒ ⇒ ⇒

   P 2 , 0 punto critico

− =

2 y y 0

 

=

f ' 0

  + − −

y 2 2

2 4 x 5 x y

− =

 0

( )

 − + − −

2 2

 1 4 x 5 x y

Tale punto non può essere preso in considerazione poiché non appartenente al dominio .

Esaminiamo ora i punti vincolati sulla frontiera : π

( ) ( )

+ − − = = =

2 2

x y 4 x 5 0

Per si ha : f x y

, arccos 0 2

( ) ( )

+ − − = = =

2 2

x y 4 x 4 0 f x , y arccos 1 0

Per si ha :

E quindi riassumendo : + − − =

2 2

La funzione assume il massimo assoluto in tutti i punti della circonferenza 4 5 0

x y x

+ − − =

2 2

La funzione assume il minimo assoluto in tutti i punti della circonferenza 4 4 0

x y x

 − + = +

x

3

' ' 4 ' 3

y y y e x

 ( ) =

 0 0

Risolvere il seguente problema di Cauchy y

 ( ) =

' 0 1

y

Risolvendo l’equazione caratteristica associata :

λ = 1

λ λ

− + = ⇒ 1

2 4 3 0 λ = 3

2 ( ) ( )

ϕ

= + +

x x

3

da cui l’integrale generale del tipo : y x c e c e x

1 2

( ) ( )

ϕ ϕ = + +

x

3

Per la determinazione di x si ha : x axe a x b

1

( )

ϕ = + +

x

3 3 x

' x ae 3

axe a 1

( )

ϕ = + +

x x x

3 3 3

' ' x 3

ae 3

ae 9 axe

sostituendo nell’equazione di partenza :

( ) ( )

+ − + + + + + = +

x x

3 3 3 3 3 3

x x x x

6 ae 9 axe 4 ae 3

axe a 3 axe a x b e x

1 1

+ + − = +

x x

3 3

2 ae 3

a x 3

b 4 a e x

1 1

si ha :  1

=

a

 2

=

 

a

2 1

  1

= ⇒ =

 a a

3 1

1 1 3

 

− =

 b a

3 4 0  4

1 =

b

 9 ( ) 4

x x

= + + + +

x 3 x

x 3

ritornando quindi all’integrale generale : y x c e c e e

1 2 2 3 9

Per Cauchy : ( ) x x 4

 − + = +

x

3 = + + + +

x

y ' ' 4 y ' 3 y e x x 3 3 x

y x c e c e e

 1 2

( ) 2 3 9

=

 y 0 0 ( ) 1 3 1

 ( ) = + + + +

x

= x 3 3 x x

y ' x c e 3

c e e xe

y ' 0 1

 1 2 2 2 3

  

4 4 9

= + + + = − = −

0 c c c c c

  

  

1 2 1 2 1

9 9 4

⇒ ⇒

  

1 1 4 1 1 11

   =

= + + + = − − + + + c

1 3 1 3

c c c c

  

   2

1 2 2 2

2 3 9 2 3 36

( ) x x

9 11 4

= − + + + +

x

x 3 3 x

y x e e e .

e infine l’integrale particolare : 4 36 2 3 9

Calcolare il volume del solido convesso compreso tra le superfici

( )

+ = − = +

2

2 2 2 2 .

x y z 4 , z x y

Trattandosi di due quadriche ( cono e paraboloide ) simmetriche rispetto all’asse z , possiamo

determinare il volume del solido ottenuto come rotazione delle coniche generatrici intorno all’asse z

Dal sistema tra le due superfici si ha : ( )

 + = − 2

2 2

( ) x y z 4

( ) ( )

 

+ = −

+ = − + = −

2

 

2 2

2 2

2 2 2 2

x y z 4

x y z 4 x y z 4

⇒ ⇒ ⇒

    ±

( ) 9 17



= + − + =

= − =

2

2 2 2

  

z x y z 9 z 16 0

z z 4 z

 1 2

2

9 17

= esprime l’equazione del piano secondo cui si intersecano le due

di cui il valore z 2

superfici . = =

Allo stesso modo dai sistemi delle quadriche con i piani si ha :

z 0 , z 4 =

 x 0

( ) ( )

 

+ =

+ = − + = − 

2 2

2 2

2 2 2 2

x y 16

x y z x y z 4

4 ⇒ ⇒ =

  

 y

, 0

=

= =

 

z 0 

z z

0 4 =

 z 4

=

 0

x

+ = + = + =

  

2 2 2 2 2 2 4

x y z x y z x y

⇒ = ⇒

 

  0 ,

y

= = =

  

0 4 4

z z z

 =

 0

z b ( )

π

= 2

utilizzando la formula del volume del solido di rotazione si ha :

V f z dz

a

che il volume della porzione di solido formato dall’intersezione tra le due superfici è dato da :

  ( ) ( )

−  

9 17 9 17 ( )  

  4 2 3

 

− − −

 

 

3

4 2

2 ( ) z z 4 9 17 1 17

2

∫ ∫

π π π

= + − = + = −

 

2  

   

V zdz z 4 dz  

   

 

2 3 8 24

     

9 17

− 

0 9 17 0

  2

2

 

+

121 17

π

=  

12

 

Analogamente si poteva procedere tramite la formula dell’integrale doppio :

[ ]

( ) ( )

∫∫

= −

V f x , y f x , y dxdy

2 1

D  

2

 

 

( ) ( ) ( ) 17 1

 

= + + = + = ∈ ℜ + ≤

 

2 2 2 2 2 2 2

Con D x , y : x y

f x , y x y 4 , f x , y x y e  

2 1  

2

 

Con l’uso delle coordinate polari si ha :

ρ ϑ

=  

 −

x cos 17 1

 

ϑ π ρ

≤ ≤ ≤ ≤

 con 0 2 , 0  

ρ ϑ

=

 y sen 2

 

[ ]

( ) [ ]

( )

∫∫ ∫∫ ρ ρ ρ ρ ϑ

= + + − + = + −

2 2 2 2 2

V x y 4 x y dxdy 4 d d

D T

− −

17 1 17 1  

ρ ρ

π π π

+ +

 

( )

2 2 2

4 3

2 121 17 121 17

2

∫ ∫ ∫ ∫  

ϑ ρ ρ ρ ρ ϑ ρ ϑ π

− + + = − + + = =

3 2 2

4 2

d d d d

   

 

4 3 24 12

 

0 0 0 0

0

Calcolare l’integrale doppio

2 2 2

x y x

∫∫ dxdy

2 −

y 1

D

{ }

( ) 2

= ∈ ℜ ≤ ≤ − − ≤ ≤

con D x , y : 0 x 2 , 1 x y x

Considerando il dominio normale a x si ha :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

− − − −

x y x x y x x y x x y x

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

= + + =

dxdy dxdy dxdy dxdy

2 2 2

− − −

y y y

1 1 1

2 −

y 1

D D D D

1 2 3

x x 2

1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [ ]

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x

1

2 2 2 2 2 2

− + − + = − + − + =

x dx dy x dx dy x dx dy x y dx x y dx x y dx

− −

x x

1 1 1

0 1 1 1 0 1 1

− −

x x

1 1

[ ] [ ]

1 2 2 [ ]

∫ ∫ ∫

2 2

2

− − + + − − + + − =

1 1 1 1

x x x dx x x dx x x dx

0 1 1 1

 5 

 2 2

 

 5

3 3

2 2

1 

 4 3

4

( ) x x x x

2 

 

 

∫ ∫ ∫ 

3

3 2

3 2 + −

− + − + −

+ − + − = − + −

x x x dx x dx x x dx x x 2

2 2 

 

 5 

 4 4 3 

 

  

1 1

0 1

1

 2 0

1 2 8 1 1 47

5

= − + − − + + − − + = −

1 2 1 4 4 2

4 5 3 4 3 30

Calcolare l’integrale curvilineo

y ey

   

∫ +

y ln dx x ln dy

   

ex x 

γ 9

 

( )

γ = ≤ ≤ −

dove è la curva chiusa che racchiude la regione R x , y : y 10 x

 

x

 

Parametrizzando le curve :

=

x t

 =

x t

 γ

γ = ≤ ≤

= ≤ ≤ , 1 t 9

1 t 9 

 9

1 2 = −

= y 10 t

y 

 t

e considerando il verso di percorrenza antiorario si ha :

y ey y ey y ey

           

+ = + + + =

ln ln ln ln ln ln

y dx x dy y dx x dy y dx x dy

           

∫ ∫ ∫

γ γ γ

ex x ex x ex x

           

1 2

( )

   

− −

9 9 9 9 10 10

e t e t

       

9 1 ( )

− + − − =

ln ln 10 ln ln

dt t t dt

       

∫ ∫

   

2 2

t t et t

et t

       

   

1 9

9 1

 

9 1 [ [ ] [ ]

]

( ) ( ) ( ) ( ( )

)

+ − − − − − − =

ln 10 ln 10 ln ln 10 ln

dt t t et t e t t dt

 

∫ ∫

2

t e

 

1 9

18

9 1 [ ]

( ) ( )

− + − − + − − − =

2 ln 10 10 ln 10 10 10 ln

dt t t t t dt

∫ ∫

t

1 9 1

[ ] [ ]

( ) ( )

− + − − − − =

18 ln 10 2 ln 10 10 10 ln

t t t t dt

1 ∫

9 9

1

[ ] [ ]

( ) ( )

− + − − − − =

18 ln 10 2 ln 10 10 10 ln

t t t t dt

1 ∫

9 9 1

 

 

( )

1 − 2

1 1 10 2

t

( ) ( )

 

 

+ − − − − − + − =

2

18 ln 9 10 2 ln 10 10 10 10 ln

t t dt t t t t

∫ ( )

4 2 10 t

 

 

 

 

9 9

1

 

 

( )

1 − 2

1 1 10 2

t

( ) ( )

 

 

+ − − − − − + −

2

18 ln 9 10 2 ln 10 10 10 10 ln

t t dt t t t t

∫ ( )

4 2 10 t

 

 

 

 

9 9

1

 

 

( )

1 − 2

1 1 10 2

t

( ) ( )

 

 

+ − − − − − + − =

2

18 ln 9 10 2

t ln 10 t dt 10

t 10

t 10

t ln t

∫ ( )

4 2 10 t

 

 

 

 

9 9

1

 

1 1

1 1 100

− + + − − − = −

 

18 ln 9 16 ln 9 90 ln 9 4

t dt dt 126 ln 9 80

∫ ∫ −

2 2 10 t

 

 

9 9 9

Risolvere l’equazione differenziale

( )

( ) 2

− = − − − +

y ' ' 2 y ' 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

Dall’equazione caratteristica associata :

λ = 0

1

λ λ

2 − = ⇒

2 0 λ = 2

2

per cui un integrale generale dell’equazione risulta : ( )

ϕ

2 x

= + +

y c c e x

1 2

( )

( )

ϕ 2

= + + + +

con sen 2 cos 2

x a x b x x a x b x c

1 1

Per le relative derivate : ( )

( )

ϕ 2 2

= − + + + + +

' 2 cos 2 2 sen 2 2

x a x b x a x b x c a x b x

1 1 1 1

( )

ϕ = − − + + + +

' ' 4 sen 2 4 cos 2 2 4

x a x b x a x b a x b

1 1 1 1

e sostituendo nell’equazione di partenza :

( ) ( )

2

− − + + − − + + + = − −

4 a sen 2 x 4

b cos 2 x 6 a x 2

b 2 2 a cos 2 x 2

b sen 2 x 3

a x 2

b x c 4 sen 2 x cos 2 x

1 1 1 1 ( )

2

− − +

6 x 3 x 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

− − + − + − + − = − − − +

4

b 4 a sen 2 x 4 a 4

b cos 2 x 6 a x 6 a 4

b x 2

b 2 c 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

1 1 1 1

dal sistema relativo si ha : =

− = a

b a 0

4 4 4

 

  =

+ = b

b a 1

4 4 4

 

 ⇒ =

= a

a 1

6 6 

 1

1 

 = −

− = b

a b 3

6 4 18 

 1

1 1 

 =

− = − c

b c 0

2 2 6 

 1

con la soluzione particolare dell’equazione : 2 x 3 2

= + + + −

y c c e cos 2 x x 3 x

1 2

Volendo verificare il risultato ottenuto :

2 2

x

= − + −

y ' 2

c e 2 sen 2 x 3 x 6 x

2 2 x

= − + −

y ' ' 4

c e 4 cos 2 x 6 x 6

2

da cui sostituendo nell’equazione iniziale :

( ) ( )

( )

2 2 2 2

x x

− + − − − + − = − − − +

4

c e 4 cos 2 x 6 x 6 2 2

c e 2 sen 2 x 3 x 6 x 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

2 2 ( )

( ) ( )

2 x 2 x 2 2

− + − − + − = − − − +

4

c e 4

c e 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 18 x 6 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

2 2

=

0 0

e ciò verifica la bontà del risultato.

Determinare i massimi e i minimi della funzione

( ) ( )

= + + +

f x , y ln x y x y

{ }

( ) 2 2

= ∈ ℜ − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −

D x , y : 1 x 2 , 2 x y x .

nell’insieme + ≠ ⇒ ≠ −

Calcolando il C.E. : e rappresentando graficamente l’insieme D :

x y 0 y x + > −

x y se y x

+ ⇒

Per la definizione di valore assoluto : x y  − − < −

x y se y x

E quindi : ( ) ( )

+ + + > −

ln x y x y se y x

( ) =

f x , y 

 ( ) ( )

− − + + < −

ln x y x y se y x

> − ( ) ( ) ( )

y x ⇒ = + + +

f x , y ln x y x y

Se ( )

 =

, 0

f x y x

Dalla condizione necessaria per i massimi e i minimi : 

 ( ) =

, 0

f x y

 y

1

 + =

1 0

 +

x y

 { ( )

⇒ + + = ⇒ − − non accettabili.

x y P x x

1 0 , 1

 1

 + =

1 0

 +

x y

 < − ( ) ( ) ( )

y x ⇒ = − − + +

Se f x , y ln x y x y

1

 + =

1 0

 +

x y

 { ( )

⇒ + + = ⇒ − − punti critici .

x y 1 0 P x , x 1

 1

 + =

1 0

 +

x y

 ( )

−x − = −

Sostituendo nella funzione si ha : f x , 1 1

Esaminiamo ora i punti della frontiera .

D ( ) ( )

> − ( )

y x 2

= −

y x 2 2

= − + −

Per con f x , y ln x x x x

 

2

− − + +

1 2 1

x x x

( ) ( ) ( ) ( )

 

= + − = −

' 1 2 ' 1 2

f x x f x x

( )  

2 2

− −

x x x x

 

− +

1 5 1 1 5

( )

( ) ( ) 2

⇒ ⇒ < < >

> − − + + >

Segno : ' 0 1 2 1 0 ,

f x x x x x x

2 2 2

1 1 1

 

− = −

Sostituendo nella funzione si ha : punto di massimo.

, ln 4

f  

2 4 4

  ( ) ( )

( )

2

= −

y x 2 2

< − = − + + −

y x

Per con , ln

f x y x x x x

 

2

− + − −

1 2 1

x x x

( ) ( ) ( ) ( )

 

= + − = −

' 1 2 ' 1 2

f x x f x x

( )  

2 2

− + − +

x x x x

 

− +

1 5 1 1 5

( )

( ) ( ) 2

⇒ ⇒ < < <

> − − − >

Segno : ' 0 1 2 1 0 ,

f x x x x x x

2 2 2

Sostituendo nella funzione si ha :

 

2

 

− −

1 5 1 5

 

( )  

= − = − punto di massimo.

f P f , 1

 

 

2 2 2

 

 

 

2

 

+ +

1 5 1 5

 

( )  

= − = − punto di massimo.

f P f , 1

 

 

3 2

2  

  ( )

< −

y x = − −

y x 2 ⇒ = −

Per con , ln 2 2

f x y 1 1

 

( ) = + + + −

Riassumendo la funzione , ln assume nei punti

f x y x y x y massimi relativi P ,

 

1 2 4

 

= − −

e nei punti della retta .

y x 1

1. Determinare massimi e minimi della funzione

( ) = − +

4 2 2

f x , y x x y 2 y

{ }

( )

= − ≤ ≤

2

D x y x y

, : 1 1

in . y

( ) ( )

( )

A 2 , 1 B 2 , 1

P 0 , 1

P y = 1

P

1 2 2 x

P ( 0 , 0 ) P

P 6

4 2 - 1

y = x

( )

P 0 , 1

5

Dalla condizione necessaria per l’esistenza di massimi e minimi relativi si ha :

( )

− =

 2

2 x 2 x y 0

= − = =

  

3

' 0

f 4 2 0

x xy x 0

⇒ ⇒ ⇒

x  

  2

x

= =

− + = = 

f ' 0 2

  y 0

4 0

x y  y

y 4

( )

quindi P 0 , 0 è un punto critico .

Valutando il valore dell’Hessiano in P si ha :

f ' f '

( ) = = −

xx xy 2

H x , y f ' f ' f '

xx yy xy

f ' f '

yx yy

= − = = −

2

f ' 12 x 2 y , f ' 4 , f ' 2 x

xx yy xy

0 0

( ) = =

H 0 , 0 0

0 4

( ) ( ) =

P 0 , 0 il valore della funzione è f 0 , 0 0 .

per cui in

Poiché l’Hessiano in P ha valore nullo , nulla si può concludere circa l’esistenza di un massimo o di

un minimo .

Valutiamo ora i punti vincolati sulla frontiera : ( ) = − +

= 4 2

f x x x

Per i punti della retta la funzione diventa : 2

y 1 ( )

( ) ( )

= − > ⇒ − >

3 2

f ' x 4 x 2 x f ' x 0 2 x 2 x 1 0

, >

x 0

>

x 0 1 1

( ) > ⇒ ⇒ ⇒ − < < >

f ' x 0 x 0 , x

1 1

< − > +

− >

2 x , x

x

2 1 0 2 2

2 2

- + - +

1

1

− 0 2

2  

 

( ) ( ) ( ) ( ) 1 7

1 7

= − = = = = + =

   

, 1 , 0 , 1 2 , , 1

f P f f P f f P f

1 2 3

   

4 4

2 2

= −

2

y x la funzione diventa :

Per i punti della parabola 1

( ) ( ) ( )

( ) = − +

= − − + − 2 4 2

4 2 2 2 f x x x

2 3 2

f x x x x 1 2 x 1 , ( )

( ) ( )

= − > ⇒ − >

3 2

f ' x 8 x 6 x f ' x 0 2 x 4 x 3 0

, >

x 0

>

x 0

( ) 3 3

> ⇒ ⇒ ⇒ − < < >

f x x x

' 0 0 ,

3 3

− > < − > +

2 2 2

x

4 3 0 x , x

2 2

- + - +

3 3

− 0

2 2

   

3 1 7 3 1 7

( ) ( ) ( ) ( )

   

= − − = = − = = − =

f P f , , f P f 0 , 1 2 , f P f ,

   

4 5 6

2 4 8 2 4 8

   

( ) ( )

A 2 , 1 e B 2 , 1 si ottiene :

calcolando infine i valori della funzione nei punti

( ) ( )

( ) ( )

= − = = + =

f A f 2 , 1 4 , f B f 2 , 1 4

e riassumendo si ha :

( )

f x , y assume in A e B

max. assoluti

( )

f x , y assume in P

min. assoluto

( )

f x , y assume in P e P

max. relativi 2 5

( )

f x , y assume in P , P , P e P

min. relativi 1 3 4 6

2. Calcolare l’integrale doppio

∫∫ arcsen y dxdy

D

π

 

( )

= ≤ ≤ ≤ ≤

 

D x , y : 0 x , sen x y cos x

con .

 

4

P ( 0 , 0 ) y = 1

Considerando il dominio normale a x si ha :

π cos x

4

∫∫ ∫ ∫

= = = =

arcsen y dxdy dx arcsen y dy posto arcsen y t , y sen t , dy cos tdt

D 0 sen x π − x

 

π π

π π π π 2

− −

x x

x

cos

4 4 2 4 2 4 π

[ ]

 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −

= = − = + x

dx y dy dx t t dt dx t t t dt dx t t t

arcsen cos sen sen sen cos 2

  x

 

x x x

0 sen 0 0 0

  x

π π

π π π π

   

       

4 4

∫ ∫

− − + − − − = − + − −

       

x sen x cos x x sen x cos x dx x cos x sen x x sen x cos x dx

   

2 2 2 2

0 0

π π π π π

π π

  

 

4 4 4 4 4

( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= − + − − =

− + − −  

 

1 cos x 1 x sen x x cos x dx 1 cos x dx sen x dx x sen x dx x cos x dx

  

  

2 2

0 0 0 0 0

π

π π

  

  4 = − +

− − + − − −  

 

1 sen x cos x x cos x sen x x sen x cos x 2 2 2

  

  

 2 4

0

Allo stesso modo si poteva procedere considerando il dominio normale a y :

D

2

1

+ 2 D

1

∫∫ ∫∫ ∫∫

= +

arcsen y dxdy arcsen y dxdy arcsen y dxdy

D D D

1 2

1 1

arcsen arccos

y y

1 1

2 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+ = + ⋅

2

arcsen y dy dx arcsen y dy dx arcsen y dy arcsen y arccos y dy

1 1

0 0 0 0

2 2

= = =

posto arcsen y t , y sen t , dy cos tdt π

π

   

π π π π

4 2

π π

  π

4 2 4 2 [ ]

   

∫ ∫ ∫ ∫

+ ⋅ − = − − − + +

 

2 2 2

t cos t dt t t cos t dt t sen t 2 t sen t dt t sen t 2 t sen t dt t sen t cos t 2

    π

2 2

π π

    4

0 0

    π

4 4

0 4

π π 

π π π

[ ] [ ] [ ] +

+ − − + − + + = − 

2

2

t sen t 2

t cos t 2 sen t t sen t 2 t cos t 2 sen t t sen t cos t 2 2 2

4 2 2

π π

0 

2 4

4 4

3. Determinare centro e raggio della circonferenza intersezione della sfera

+ + − − − + = − − + =

2 2 2

x y z 4 x 6 y 8 z 28 0 2 x 2 y z 8 0

con il piano

Ricordando le formule che portano alle coordinate del centro e del raggio della sfera :

 

a b c 1

− − − = + + −

  2 2 2

C , , , r a b c 4 d

 

2 2 2 2

si ha : 1

( ) = + + − =

C 2 , 3 , 4 , r 16 36 64 112 1

2 + + +

ax by cz d

( )

α = 0 0 0

d P si ha :

Dalla formula della distanza di un punto da un piano 0 + +

2 2 2

a b c

⋅ − ⋅ − + ( )

2 2 2 3 4 8 2

( )

α = =

d C C P

( ) 1

+ + − 3

2

2 2

2 2 1

Applicando quindi la formula del teorema di Pitagora al triangolo CC P si arriva al valore del

1

raggio richiesto della circonferenza . 2 1

2 2 2 2 2 2

= + ⇒ = − ⇒ = − =

CP CC C P C P CP CC r 1

1 1 1 1 1 3 3

Determiniamo ora l’equazione della retta r passante per C e perpendicolare al piano assegnato .

Su tale retta si trova il centro C della circonferenza e sarà , per l’appunto , determinato dal sistema

1

retta – piano .

in forma parametrica la retta r è data da :

= +

 x 2 2 t

 ( )

= = − − −

r y 3 2 t v 2 , 2 , 1 vettore direttore della retta r .

con r

 = −

 z 4 t ( ) ( ) ( ) 2

+ − − − − + = ⇒ + = ⇒ = −

Per il sistema si ha : 2 2 2 t 2 3 2 t 4 t 8 0 9 t 2 0 t 9

 

14 31 38

 

E risostituendo in r : C centro della circonferenza .

, ,

 

1 9 9

9 4. Risolvere il problema di Cauchy

+ ⋅ =

 y ' tgx y sen 2 x

 ( ) =

 y 0 2

Dalla formula per le equazioni differenziali lineari :  

( ) ( )

∫ ∫

( ) ( ) ( )

− ∫

p x p x

+ = ⇒ = ⋅ +

y ' p x y q x y e q x e dx c

 

Si ha : [ ] [ ]

∫ ∫

( ) ( )

∫ ∫

= ⋅ + ⇒ = ⋅ +

1

tgxdx tgxdx ln cos x ln cos x

y e sen 2 x e dx c y e sen 2 x e dx c

[ ]

  [ ]

sen 2 x

∫ ∫

= + ⇒ = + ⇒ = − +

y cos x dx c y cos x 2 sen xdx c y cos x 2 cos x c

 

 

cos x

e per Cauchy :

[ ]

= − + = − + =

  

y cos x 2 cos x c 2 2 c c 4

⇒ ⇒

  

( ) ( ) ( )

= = =

  

y 0 2 y 0 2 y 0 2

di qui quindi :

[ ]

= − +

y cos x 2 cos x 4 .

Analisi II - Prof. G. Cardone - Anno Accademico 2003-2004

Esame scritto giugno 2004

TRACCIA 1 −

1

( * log 3

) n

arctgx

1. Trovare l’insieme di convergenza e la somma della serie −

( 1

)!

n

= 2

n

2. Integrare con il problema di cauchy y’’-2y’+2y=cosx

y(0)=0 y’(0)=0 ⎛ ⎞

2 2

3 2

x xy x

⎜ ⎟

3. Studiare la seguente forma differenziale ω = − + 2

( , ) 3

x y dx y dy

⎜ ⎟

− −

3 3 4 3 3 4

( ) ( )

5 5

⎝ ⎠

x x y x x y

∫ ω

ω γ

4. Calcolare l’integrale dove è la forma differenziale dell’esercizio precedente e è l’arco

γ

2 di estremi (1,1) e (2,4)

di parabola y=x Area γ

γ 2

1

∫∫ 2 γ γ

2

5. calco

lare dove è un arco di circonferenza e è un arco di ellisse

y

xye dxdy 1 2 D

1

∫∫ 2

6. Calcolare tramite la formula di gauss-green l’integrale dove y=1-x

dxdy

2 ( 2 )

x y

T

RACCIA 2__________________________________________________________________

−2

(log 2 * ) n

senx

1 . Trovare l’insieme di convergenza e la somma della serie −

( 2 )!

n

= 3

n

2 . Integrare con il problema di cauchy y’’-2y’+2y=senx

y(0)=0 y’(0)=1 ⎛ ⎞

+

2 ⎜ ⎟

x y x

3. Studiare la seguente forma differenziale ω = + +

( , ) 2

x y dx y dy

⎜ ⎟

− −

2 2 2 2

( ) ( )

3 3

⎝ ⎠

x xy x xy

∫ γ

ω ω

dove è la forma differenziale dell’esercizio precedente e è la

4. Calcolare l’integrale γ

circonferenza di centr

o (

2,2) e ra

g

gio 1 Area γ

γ 2

1

∫∫ 2 γ γ

dove è un arco di circonferenza e è un arco di ellisse

5. calco

lare 2 x

xye dxdy 1 2 D

1

∫∫ 2

dove y=3-x

6. Calcol are tramite la formula di gauss-green l’integrale dxdy

3 (

5 )

x y

Quelli di informatica – informatici.altervista.org + + − − − + =

2 2 2 4 6 8 28 0

x y z x y z

1. Determinare il punto della sfera di equazione

+ + = 2

x y z

più vicino al piano di equazione .

Svolgimento : ( ) ( ) ( )

λ ψ

= +

Utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange tramite la , , , , , , , ,

F x y z f x y z x y z

( )

, , esprime la funzione da minimizzare ed è rappresentata dalla distanza al quadrato di

dove f x y z ( ) ( )

ψ

un generico punto , , della sfera dal piano assegnato , e , , la funzione vincolo

P x y z x y z

rappresentata dalla sfera stessa . + + − 2

x y z

( ) δ =

Un punto generico , , della sfera , dista dal piano assegnato :

P x y z 3

( )

+ + − 2

2

x y z

δ =

2

Si ha così che la distanza al quadrato diventa : 3

Risolvendo ora il sistema :  ( ) ( )

2 λ

+ + − + − =

2 2 4 0

x y z x

( ) ( ) ( )

λ λψ 3

= +

 

, , , , , , ,

F x y z f x y z x y z

x x x

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

λ λψ

= + λ

+ + − + − =

 

, , , , , , ,

F x y z f x y z x y z 2 2 6 0

x y z y

y y y

  3

( ) ( ) ( )

λ λψ

= +

 

, , , , , , ,

F x y z f x y z x y z ( ) ( )

2

z z z λ

+ + − + − =

( )

  2 2 8 0

x y z z

ψ =

 , , 0

x y z 3

 + + − − − + =

2 2 2

 4 6 8 28 0

x y z x y z

 

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

λ λ

+ + − = − + + − = −

2 4 2 2 4 2

x y z x x y z x

 

3 3

 

 

( ) ( ) ( )

λ λ λ

− + − = − − =

4 2 2 6 0 2 2 2 0

x y y x

 

( ) ( ) ( )

 

λ λ λ

− + − = − − =

4 2 2 8 0 2 2 4 0

x z z x

 

 

+ + − − − + = + + − − − + =

2 2 2 2 2 2

 

4 6 8 28 0 4 6 8 28 0

x y z x y z x y z x y z

 ( ) ( )

2

( ) ( )

2 λ

λ + + − = −

+ + − = − 2 4 2

x y z x

2 4 2

x y z x 

 3

3 

  = +

= + ⇒ 1

y x

1

y x

 

  = +

= + 2

z x

2

z x

  ( ) ( ) ( ) ( )

 

+ + − − − + = + + + + − − + − + + =

2 2

2 2 2 2

 

4 6 8 28 0

x y z x y z 1 2 4 6 1 8 2 28 0

x x x x x x

  

( ) ( )

2 λ

+ + − = −

2 4 2

x y z x

  

= + = +

1 1

y x y x

3

  

  

= + ⇒ = + = +

1

y x

  

, 2

2

z x z x

  

= + 2

z x 3 3

  

= − = +

2 2

x x

 

 − + =

2  

 1 1

3 12 11 0

x x 3 3

   

3 3 3 3 3 3

   

− − − + + +

e quindi i due punti : 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4

P P

   

1 2

3 3 3 3 3 3

   

+ + − 2

x y z

δ =

nella relazione iniziale abbiamo la distanza minima :

sostituendo il punto P

1 3

3 3 3

− + − + − −

2 3 4 2 −

3 3 3 7 3 7 3

δ = = = − 1

min 3

3 3

in effetti sostituendo si ha :

P

2

3 3 3

+ + + + + −

2 3 4 2 +

3 3 3 7 3 7 3

δ = = = + 1

3

3 3 + − =

2 2 4 0

x y x

2. Calcolare il volume della porzione di cilindro di equazione interna

+ + =

2 2 2 16

x y z

alla sfera di equazione

Svolgimento :

Poichè le funzioni , espressioni del cilindro e della sfera , sono funzioni simmetriche rispetto

all’asse , il solido in questione gode a sua volta di simmetria rispetto allo stesso asse .

x

Ricordando la formula del volume di un solido limitato da due funzioni :

( ) ( )

∫∫

= −

, ,

V f x y f x y dxdy

2 1

D

{ }

( )

= ∈ ℜ + − ≤

2 2 2

con , : 4 0

D x y x y x θ

y π / 2 T

D ρ

θ

x 4cosθ

C ( 2 , 0 ) π

- / 2

ρ ϑ

= π π

 cos

x ρ ϑ ϑ

≤ ≤ − ≤ ≤

 0 4 cos ;

Con trasformazione in coordinate polari : ρ ϑ

=

 sen

y 2 2

( )

∫∫ ∫∫ ρ ρ ϑ ρ ϑ

= − − = −

2 2 2

2 16 2 16 ,

V x y dxdy J d d

D T

( )

ρ ϑ ρ θ

=

e ricordando che , si ha che :

, , considerando il dominio normale a

J

π π π

− − − ϑ

 

ϑ ϑ 4 cos

( ) ( )

 

4 cos 4 cos

2 2 2

1

1 1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

  3

ϑ ρ ρ ρ ϑ ρ ρ ρ ϑ ρ

= − = − − − = − −

2 2 2

2 16 2 2 16 2 16

V d d d d d  

2

   

 

2 3

π π π 0

0 0

− − −

2 2 2

π π

+ +

( ) ( )

  

2 2

1 1 128

∫ ∫

3 3

ϑ ϑ ϑ ϑ

= − − + = − − −

2 3 2

2 16 16 cos 16 1 cos 1

V d d

  

 

 

3 3 3

π π

− −

2 2

π π

+ +

π ( )

2 2

[ ]

+

128 128 128 128

∫ ∫

3

ϑ ϑ ϑ π ϑ ϑ

= + − − = −

2 3

2 1 cos sen

d d

π

3 3 3 3

π π

2 − −

2 2

π π

+ +

 

ϑ

( ) 3

2

128 128 128 128 cos 128

2

π ϑ ϑ ϑ π ϑ π

− − = − − + = +

2  

sen 1 cos cos

d  

3 3 3 3 3 3

π

π −

− 2

2 2

3. Determinare una funzione potenziale della forma differenziale in R

( ) ( )

+

2 2

2 cos

sin y dx xy y dy

Svolgimento : ( ) ( )

ω = +

, ,

A x y dx B x y dy

Verifichiamo innanzitutto che la forma differenziale del tipo ammetta

una funzione potenziale ; la forma differenziale deve essere , o meglio deve essere che :

esatta

( ) ( )

∂ ∂

, ,

A x y B x y

=

∂ ∂

y x

( ) ( )

=

2 2

2 cos 2 cos

Si ha infatti che : y y y y

La forma differenziale ammette quindi una funzione potenziale del tipo

( ) ( ) ( )

~ ~

= +

, , ,

U x y A x y dx B x y dy

( )

∂ ( )

,

U x y = 2

con sin y

x

integrando indefinitamente si ha :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + ⇒ = +

2 2

, ,

U x y sin y dx c y U x y xsin y c y

e poichè deve essere che :

( ) ( ) ( )

~

∂ ∂

( ) ( )

, , ,

U x y B x y

U x y = + =

2 e poichè

2 cos '

xy y c y ∂

∂ ∂

y y

y ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ = ⇒ = ⇒ =

2 2

2 cos ' 2 cos ' 0

xy y c y xy y c y c y k

( )

( ) = +

2

e di qui : che esprime una della forma iniziale .

funzione potenziale

,

U x y xsin y k


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Sara F

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DETTAGLI
Esame: Analisi II
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Passarelli Antonia.

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