Analisi 2 – Equazioni

D T

− −

17 1 17 1  

ρ ρ

π π π

+ +

 

( )

2 2 2

4 3

2 121 17 121 17

2

∫ ∫ ∫ ∫  

ϑ ρ ρ ρ ρ ϑ ρ ϑ π

− + + = − + + = =

3 2 2

4 2

d d d d

   

 

4 3 24 12

 

0 0 0 0

0

Calcolare l’integrale doppio

2 2 2

−

x y x

∫∫ dxdy

2 −

y 1

D

{ }

( ) 2

= ∈ ℜ ≤ ≤ − − ≤ ≤

con D x , y : 0 x 2 , 1 x y x

Considerando il dominio normale a x si ha :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

− − − −

x y x x y x x y x x y x

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

= + + =

dxdy dxdy dxdy dxdy

2 2 2

− − −

y y y

1 1 1

2 −

y 1

D D D D

1 2 3

x x 2

1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [ ]

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x

1

2 2 2 2 2 2

− + − + = − + − + =

x dx dy x dx dy x dx dy x y dx x y dx x y dx

− −

x x

1 1 1

0 1 1 1 0 1 1

− −

x x

1 1

[ ] [ ]

1 2 2 [ ]

∫ ∫ ∫

2 2

2

− − + + − − + + − =

1 1 1 1

x x x dx x x dx x x dx

0 1 1 1



 5 

 2 2



 

 5

3 3

2 2

1 

 4 3

4

( ) x x x x

2 

 

 



∫ ∫ ∫ 



3

3 2

3 2 + −

− + − + −

+ − + − = − + −

x x x dx x dx x x dx x x 2

2 2 





 

 5 

 4 4 3 



 

  



1 1

0 1

1



 2 0

1 2 8 1 1 47

5

= − + − − + + − − + = −

1 2 1 4 4 2

4 5 3 4 3 30

Calcolare l’integrale curvilineo

y ey

   

∫ +

y ln dx x ln dy

   

ex x 

γ 9

 

( )

γ = ≤ ≤ −

dove è la curva chiusa che racchiude la regione R x , y : y 10 x

 

x

 

Parametrizzando le curve :

=

x t

 =

x t



 γ

γ = ≤ ≤

= ≤ ≤ , 1 t 9

1 t 9 

 9

1 2 = −

= y 10 t

y 

 t

e considerando il verso di percorrenza antiorario si ha :

y ey y ey y ey

           

+ = + + + =

ln ln ln ln ln ln

y dx x dy y dx x dy y dx x dy

           

∫ ∫ ∫

γ γ γ

ex x ex x ex x

           

1 2

( )

   

− −

9 9 9 9 10 10

e t e t

       

9 1 ( )

− + − − =

ln ln 10 ln ln

dt t t dt

       

∫ ∫

   

2 2

t t et t

et t

       

   

1 9

9 1

 

9 1 [ [ ] [ ]

]

( ) ( ) ( ) ( ( )

)

+ − − − − − − =

ln 10 ln 10 ln ln 10 ln

dt t t et t e t t dt

 

∫ ∫

2

t e

 

1 9

18

9 1 [ ]

( ) ( )

− + − − + − − − =

2 ln 10 10 ln 10 10 10 ln

dt t t t t dt

∫ ∫

t

1 9 1

[ ] [ ]

( ) ( )

− + − − − − =

18 ln 10 2 ln 10 10 10 ln

t t t t dt

1 ∫

9 9

1

[ ] [ ]

( ) ( )

− + − − − − =

18 ln 10 2 ln 10 10 10 ln

t t t t dt

1 ∫

9 9 1

 

 

( )

1 − 2

1 1 10 2

t

( ) ( )

 

 

+ − − − − − + − =

2

18 ln 9 10 2 ln 10 10 10 10 ln

t t dt t t t t

∫ ( )

−

4 2 10 t

 

 

 

 

9 9

1

 

 

( )

1 − 2

1 1 10 2

t

( ) ( )

 

 

+ − − − − − + −

2

18 ln 9 10 2 ln 10 10 10 10 ln

t t dt t t t t

∫ ( )

−

4 2 10 t

 

 

 

 

9 9

1

 

 

( )

1 − 2

1 1 10 2

t

( ) ( )

 

 

+ − − − − − + − =

2

18 ln 9 10 2

t ln 10 t dt 10

t 10

t 10

t ln t

∫ ( )

−

4 2 10 t

 

 

 

 

9 9

1

 

1 1

1 1 100

− + + − − − = −

 

18 ln 9 16 ln 9 90 ln 9 4

t dt dt 126 ln 9 80

∫ ∫ −

2 2 10 t

 

 

9 9 9

Risolvere l’equazione differenziale

( )

( ) 2

− = − − − +

y ' ' 2 y ' 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

Dall’equazione caratteristica associata :

λ = 0

1

λ λ

2 − = ⇒

2 0 λ = 2

2

per cui un integrale generale dell’equazione risulta : ( )

ϕ

2 x

= + +

y c c e x

1 2

( )

( )

ϕ 2

= + + + +

con sen 2 cos 2

x a x b x x a x b x c

1 1

Per le relative derivate : ( )

( )

ϕ 2 2

= − + + + + +

' 2 cos 2 2 sen 2 2

x a x b x a x b x c a x b x

1 1 1 1

( )

ϕ = − − + + + +

' ' 4 sen 2 4 cos 2 2 4

x a x b x a x b a x b

1 1 1 1

e sostituendo nell’equazione di partenza :

( ) ( )

2

− − + + − − + + + = − −

4 a sen 2 x 4

b cos 2 x 6 a x 2

b 2 2 a cos 2 x 2

b sen 2 x 3

a x 2

b x c 4 sen 2 x cos 2 x

1 1 1 1 ( )

2

− − +

6 x 3 x 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

− − + − + − + − = − − − +

4

b 4 a sen 2 x 4 a 4

b cos 2 x 6 a x 6 a 4

b x 2

b 2 c 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

1 1 1 1

dal sistema relativo si ha : =

− = a

b a 0

4 4 4

 

  =

+ = b

b a 1

4 4 4

 



 ⇒ =

= a

a 1

6 6 

 1

1 

 = −

− = b

a b 3

6 4 18 

 1

1 1 

 =

− = − c

b c 0

2 2 6 

 1

con la soluzione particolare dell’equazione : 2 x 3 2

= + + + −

y c c e cos 2 x x 3 x

1 2

Volendo verificare il risultato ottenuto :

2 2

x

= − + −

y ' 2

c e 2 sen 2 x 3 x 6 x

2 2 x

= − + −

y ' ' 4

c e 4 cos 2 x 6 x 6

2

da cui sostituendo nell’equazione iniziale :

( ) ( )

( )

2 2 2 2

x x

− + − − − + − = − − − +

4

c e 4 cos 2 x 6 x 6 2 2

c e 2 sen 2 x 3 x 6 x 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

2 2 ( )

( ) ( )

2 x 2 x 2 2

− + − − + − = − − − +

4

c e 4

c e 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 18 x 6 4 sen 2 x cos 2 x 6 x 3 x 1

2 2

=

0 0

e ciò verifica la bontà del risultato.

Determinare i massimi e i minimi della funzione

( ) ( )

= + + +

f x , y ln x y x y

{ }

( ) 2 2

= ∈ ℜ − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −

D x , y : 1 x 2 , 2 x y x .

nell’insieme + ≠ ⇒ ≠ −

Calcolando il C.E. : e rappresentando graficamente l’insieme D :

x y 0 y x + > −

x y se y x



+ ⇒

Per la definizione di valore assoluto : x y  − − < −

x y se y x



E quindi : ( ) ( )

+ + + > −

ln x y x y se y x





( ) =

f x , y 

 ( ) ( )

− − + + < −

ln x y x y se y x



> − ( ) ( ) ( )

y x ⇒ = + + +

f x , y ln x y x y

Se ( )

 =

, 0

f x y x



Dalla condizione necessaria per i massimi e i minimi : 

 ( ) =

, 0

f x y

 y

1

 + =

1 0

 +

x y



 { ( )

⇒ + + = ⇒ − − non accettabili.

x y P x x

1 0 , 1



 1

 + =

1 0

 +

x y

 < − ( ) ( ) ( )

y x ⇒ = − − + +

Se f x , y ln x y x y

1

 + =

1 0

 +

x y



 { ( )

⇒ + + = ⇒ − − punti critici .

x y 1 0 P x , x 1



 1

 + =

1 0

 +

x y

 ( )

−x − = −

Sostituendo nella funzione si ha : f x , 1 1

∂

Esaminiamo ora i punti della frontiera .

D ( ) ( )

> − ( )

y x 2

= −

y x 2 2

= − + −

⇒

Per con f x , y ln x x x x

 

2

− − + +

1 2 1

x x x

( ) ( ) ( ) ( )

 

= + − = −

⇒

' 1 2 ' 1 2

f x x f x x

( )  

2 2

− −

x x x x

 

− +

1 5 1 1 5

( )

( ) ( ) 2

⇒ ⇒ < < >

> − − + + >

Segno : ' 0 1 2 1 0 ,

f x x x x x x

2 2 2

1 1 1

 

− = −

Sostituendo nella funzione si ha : punto di massimo.

, ln 4

f  

2 4 4

  ( ) ( )

( )

2

= −

y x 2 2

< − = − + + −

⇒

y x

Per con , ln

f x y x x x x

 

2

− + − −

1 2 1

x x x

( ) ( ) ( ) ( )

 

= + − = −

⇒

' 1 2 ' 1 2

f x x f x x

( )  

2 2

− + − +

x x x x

 

− +

1 5 1 1 5

( )

( ) ( ) 2

⇒ ⇒ < < <

> − − − >

Segno : ' 0 1 2 1 0 ,

f x x x x x x

2 2 2

Sostituendo nella funzione si ha :

 

2

 

− −

1 5 1 5

 

( )  

= − = − punto di massimo.

f P f , 1