Equazioni

Per risolverla, basta uguagliare gli esponenti, perché due potenze con la stessa base sono uguali solo se hanno

lo stesso esponente: () = ()

Esempio: 2 =2 ⇒+1=5⇒ =4

Quando le basi sono diverse

Se le basi sono diverse ma riconducibili alla stessa base, le si riscrive in forma equivalente:

4 =2 ⇒ (2 ) = 2 ⇒2 =2 ⇒=3

Se non è possibile ricondurre le basi, si applica il logaritmo a entrambi i membri.

Esempio: log (7)

3 = 7 ⇒ log (3 ) = log (7) ⇒ log (3) = log (7) ⇒ = log (3)

Equazioni Logaritmiche

Cos’è un’equazione logaritmica

Un’equazione logaritmica è un’equazione in cui l’incognita compare dentro un logaritmo.

La forma tipica è: log (()) = log (())

Per risolverla, si sfrutta la proprietà di iniettività del logaritmo:

log (()) = log (()) ⇒ () = ()

Condizione di esistenza:

Il logaritmo è definito solo per argomenti positivi, quindi bisogna sempre imporre:

() > 0, () > 0

Esempio: log ( + 1) = log (3 − 5)

Condizione: + 1 > 0e 3 − 5 > 0.

Poi uguagliamo gli argomenti: + 1 = 3 − 5 ⇒ = 3

Equazioni miste (esponenziali e logaritmiche)

In alcune equazioni, esponenziali e logaritmi compaiono insieme.

In questi casi si cerca di semplificare o applicare logaritmi per isolare l’incognita.

Esempio: 2 =+3

Questa non si può risolvere con formule dirette: si usa un metodo grafico o numerico (intersezione tra la curva

e

= 2 = + 3).

Proprietà utili dei logaritmi

1. log () = log () + log ()

2. log ( ) = log () − log ()

3. log ( ) = log ()

( )

4. (cambio di base)

log () = ( )

Esempio: log (27) = log (3 ) = 3log (3) = 3

Equazioni particolari

a) Equazioni del tipo = = log ()

b) Equazioni del tipo () =

=

c) Equazioni del tipo (()) =

con condizione

() = () > 0

Esempi riassuntivi

log ( − 1) = 3 ⇒ − 1 = 8 ⇒ = 9

5 = 125 ⇒ 5 =5 ⇒=5

log () + log ( − 2) = 1 ⇒ log [( − 2)] = 1 ⇒ ( − 2) = 3 ⇒ = 3

Conclusione

Le equazioni logaritmiche ed esponenziali sono fondamentali per comprendere i modelli di crescita e

decadimento e per risolvere molti problemi reali.

Le tecniche di risoluzione si basano sulle proprietà delle potenze e dei logaritmi, con attenzione alle condizioni

di esistenza.

Con un po’ di pratica, diventano uno degli strumenti più potenti dell’analisi matematica.

Funzioni Trascendenti – Appunti di Matematica

Le funzioni trascendenti sono quelle funzioni che non si possono ottenere con un numero finito di operazioni

algebriche (somma, prodotto, potenza, ecc.).

In parole semplici, non derivano da polinomi o razionali, ma da funzioni speciali come le esponenziali, i logaritmi

e le funzioni trigonometriche.

Sono fondamentali nell’analisi matematica, nella fisica e nell’ingegneria perché descrivono la maggior parte dei

fenomeni naturali (onde, oscillazioni, crescita, decadimento, ecc.).

1. Funzione esponenziale

La funzione esponenziale più importante è: () =

dove > 0e ≠ 1.

Caratteristiche:

Dominio: tutti i numeri reali

 ℝ

Codominio: numeri reali positivi

 (0, +∞)

Crescente se decrescente se

 > 1, 0 < < 1

Passa sempre per il punto (0,1)



Esempio: () = 2

cresce rapidamente per tende a 0 per

> 0e < 0.

L’esponenziale naturale (con è quella più utilizzata in analisi e calcolo differenziale.

≈ 2,718)

2. Funzione logaritmica

La funzione logaritmica è l’inversa dell’esponenziale:

() = log ()

dove > 0e ≠ 1.

Caratteristiche:

Dominio:

 > 0

Codominio: tutti i numeri reali

 ℝ

Crescente se decrescente se

 > 1, 0 < < 1

Passa per (1,0)

 È definita solo per valori positivi di



Esempio: () = log ()

Cresce lentamente ma indefinitamente verso l’infinito, mentre per tende a

→ 0 −∞.

La più usata è quella naturale: () = ln () = log ()

3. Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche principali sono:

Seno:

 sin ()

Coseno:

 cos () ( )

Tangente:

 tan () = ( )

Caratteristiche:

Sono periodiche, con periodo

 2.

I loro valori oscillano tra -1 e 1.

 Descrivono fenomeni ondulatori e ciclici.



Esempi:

 sin (0) = 0

 cos (0) = 1

 tan (/4) = 1

Queste funzioni sono essenziali per studiare moti armonici, onde, correnti alternate, e tutti i fenomeni ciclici.

4. Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono simili alle trigonometriche, ma derivate da :

− +

sinh () = , cosh () =

2 2

Hanno proprietà analoghe: cosh () − sinh () = 1

Sono molto usate in fisica e ingegneria, ad esempio nello studio delle catenarie (la forma che assume un cavo

sospeso).

5. Proprietà e relazioni fondamentali

 sin () + cos () = 1