Equazioni Differenziali

Equazioni Differenziali

• Equazioni la cui incognita è una funzione
• La funzione compare con le sue derivate

Esempio 1

y'(x) = x

y(x)? Incognita

y(x) = ∫ g(x) c(x) x dx = x²/2 + c

y'(0) Pr problema di Cauchy

Condizione iniziale

y(0) = 0

y(x) = x²/2 + c

1 = 0² / + c → c = 1

y'(x)=f(x) → y(x) = ∫ f(x) dx

Esempio 2

y'(x) + tg(x) = x

y(x) = x - y(x)

Non si può procedere come prima perché non possiamo trovare una primitiva di g(x)

Le frecce rappresentano la direzione delle derivate in ogni punto

Una soluzione

y = x - 1

Verifica

(x - 1) = x

Equazioni Differenziali

• Equazione la cui incognita è una funzione
• La funzione compare con le sue derivate

Es. 1

y'(x)=x

Incognita:

y(x)=∫g(x)dx

=∫xdx

= x²/2 + C

y'(x₀) = 0

Problema di Cauchy

Condizione iniziale

y(x)= x²/2 + C

y(x₀) = y₀

1= 0²/2 + C

→ C = 1

Es. 2

y'(x)+tg(y(x))=x

y(x)= x-y(x)

Non si può procedere come prima perché non possiamo trovare una primitiva di g(x)

Le frecce rappresentano la direzione delle derivate in ogni punto

Una soluzione y= x-1

Verifica

(x-1)= x

y(x) + y(x) = x

Eq. differenziale lineare (equazione lineare ordinaria di 1°) del primo ordine (grado di derivazione)

y(x) + y(x) = x

Si moltiplica per un fattore integrante, in questo caso e^x

e^xy(x) + e^xy(x) = x e^x

D(e^x y(x)) = e^x x :

Ora abbiamo, con condizione ideale: derivata della f.ne uguale alla k, possiamo quindi integrare

∫D(e^xy(x)) dx = ∫e^x x dx => e^xy(x) = ∫e^x x dx + c :

g(x) = e^x(∫ e^x x dx + c)e^-x

∫e^x x dx: e^xx|e^x-e^-x

g(x) = x - 1 + c e^-x

a) g(0) = 0

y₀(0) = -1|c = 0 => c = 1

IN GENERALE

y + a(x) g(x) = b(x)

Eq. differenziale lineare del 1° ordine (a coefficienti non costanti)

Fattore integrante: A(x) e^∫a(x)

A(x) = una primitiva di a(x)

D(e^A(x) g(x)) = e^∫A(x) f(x)

e^A(x)y(x) + ∫a(x) g(x) = e^∫A(x) b(x)

e^A(x)g(x) = ∫A(x) g(x)

si integra

y(x) = e^-∫a(x)dx [∫ e^∫a(x)dxc dx + C

Formula risolutiva

y'(x) + g(x) x =

⇒ a(x) = 1

f(x) = x

A(x) = x

y(x) = e^-∫x |e^∫xdx

L'importante é ricordare: la costante arbitraria

basta il risultato é sbagliato

Esempio

y(x) y'(x) =

f(x)=4x²

a(x) = -1

⇒ A(x) = log x

⇒ e^A(x) = |x|

g(t) = -∫x

g(t) = 0

g(x) = 1/|x|

[| | 4x² dx =

x = x₀

y(x)= x ∫ 1/x

[| 4x

x⁴ dx=

= x^x 1/x³ (

y'= x(sub>-4+c)=

= |^(3)(C/x

0 = g(1)=

=(-1)³ =

x0 diff non la condizione basi che per x0 l'eq

integrale che x=1 e dei dei per 'x=1' ) ε ε

Verifica

g(x) = 3 - 1/x

1/2 | x ^2/x| e^ty

ES.

{( e^x + 1 ) ẏ(x) - ḡ(x) = ( e^x + 1 ) e^xy(b) = 1}

ẋ = ( e^x + 1 )e A(x) = ∫ dx = ∫ 1A(x) = ∫ 1 dx = ∫∫ dx =

e = ( e^x + 1 )= ln ( e^x + 1 )

e A(x) = e^-x

g(x) =

IN FINE

g(x) =X + e^{x -3}e^x + 1

C = 3

ES.

{

ẏ(x) + 2x ẏ(x) = 3x + 4

g(0) = 5

g(x)

espisto a ∞

g(x) = e^-x2 B(x³ + 4)

g(x) =lim e^{-x2x g}

-d B(x³ + 4)

lim e^{x2 + 4}

TA QUI LA PRIMITIVA NON SIPROVA A INSERIRE 2 ESTREMI DELL'INTEGRALE

{

g(0) = ∫

[ 2 (B(x⁴ + 3

lim g(0) = lim- x ² e ... (3x + 4)

C = 5

y''(x) + 2y(x) = 3e^-2x

g(x) = 3x

A: x = 2, e^A(x) = e^-2x

e^A(x) = x e^-2 = A = 2x

g(b) = 1

g(x) = 1/e² ∫e^2x e^-2x

3 = x = A

INFINE

g(x) = BX + 1

/e^3x e^-2x

y = | y_f |

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

a_n y⁽ⁿ⁾(x) + a_m y^(m-1)(x) + ... + a₀ y(x) = f(x) ordine n

y = e³

ESE.

y''−3y' + 2y = x²

1) Si prende prima la parte omogenea e si risolve

y(x) = y_o(x) + y_g(x)

La soluzione sarà data dalla somma di:

quella omogenea e quella particolare

y''−2y' + y = 0

y = e^2x

y^2,3 y = 2y

Polinomio caratteristico: λ²−3λ+2=0, (x−2)(x−1)=0

y' = 0y = x

y_o = C₁ + C₂e^x

2x

λ₂=1

Si prendono le soluzioni e si costruiscono gli esponenziali in questo modo

y_o = C₁ + C₂

x

y' y − e^2x = 0

y_o(x) = C₁e^x + C₂x e^x

Se le soluzioni sono distinte si hanno un numero di esponenziali uguale al numero delle soluzioni con ciascuno il rispettivo esponente

IN GENERALE

a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₀ = 0

FATTORIZZAZIONE

1. (zⁿ - 1) ⇾ ^md_x ⇾ ²d_x ⇾ ... ⇾ z...z ⇾ n fattori

2. (z² + 1)ⁿ ⇾ grado complessivo: 2m - auto

   Δ_ko ↘ d_x e^iβx ⇾ e^l ecosβx

   ↘ x e^x senβx x e^x d_x

ES.1 - PARTE OMOGENEA

y(x) - 2y(x) - 3y(x) = 0

• z² - 3z - 3 = 0

• z_1,2 = ^{2 ± √16}/₂

(z+1)(z-3) = 0

g⁽¹⁾₀(x) = c₁e^3x + c₂e^-x

ES. 2

y(x) + 4y(x) + 6y(x) + 10 = 0

• z² + 4z + 6 = 0
• (z+2)² = 0 ⇒ z = -2 ordine 2

g₀(x) = c₁e^-2x + c₂xe^-2x

ES. 3

y + 2y₁ + 5y = 0

• z² + 2z + 5 = 0
• -2 ± √4 - 20 / 2 = -1 ± 2i

y_g(x) = y_g(x) = e^-x(c₁ cos(2x) + c₂ sen(2x))

ES. 6.1

g(x) - g'(x) = 0

g(0) = 1

g(0)' = 6

g(x) = c₁e^3x + c₂e^x

y(x) = c₁e^3x + c₂e^x

g(x) = 3c₁e^3x + c₂e^x

c₁ + c₂ = 1

3c₁ + c₂ = 6

c₁ = 5/2

c₂ = -3/2

ES. 5

f(x) = 16 g(x)

lim (x->4)= g(x) = 3

G(x) = 0

se il limite v. +/- oo di convergenza dell'integro = 0

ES. 6

f(x) = g

g(0) = h₀ g(6) = v₀

Ora ci occupiamo di trovare la soluzione particolare

Questa è la forma della f.n.e.

a queste fa si associa un numero z₁+jβ

si determina la molteplicità m di z₁β nel pol. caratteristico

y_p(x) = e^βx [ P_m(x) cos βx + Q_m(x) sen βx ]

← POLINOMI GENERICI DI GRADO ≤ a quello di P

(y_k)^(g) = g_y

y_h(0) = h₀

(y)_g(0) = v₀

0+i0=0

y(x) = C₁ ⋅ i^χ + C_h + ( t e^βx xⁱ )²

ᴧῸᴿᴇᴿᴵᴬ

m = 2

z² = 0

(y_R)^(g)(x) = x ⋅ A

g_x(x) = 2x ⋅ A

g^x(x) = 2A

2A = g

A = ^g/₂

g_k(x) = ½ g x²

(y^(x)) + 3(y^(x)) + 8x

z³ + Β2z² = 0

z[(z+3)-0

z = 0

ord. 1

z-3-ᓘ

ᓗ-3ᓛ

y_h(x) = C₄ e^x + C_x g_x e^-3x

a(x) = C₄ x + e^βx = A)

b_x(x) = (A - (C_xf) = A³+b χ

a(x) => b(x) => h = 0

ha multiplicítà δ nel polinomio caratteristico m = z

g_χ(c) = z (AХ+B) = A0+Z³ .....

y(x) = (v aA+B) x

6Α+3 (6Aχ+Β) = 8χ

18Αx=8χ A=1/2

C(A+ḐAχ+⌑∃Σ∃χ3χ

CA +5(6Ax +Ƀ) 9χ

8Α+5Α+Ƀ

(J(x)) = 6A

g(x) = C₁ ⋅ i^χ + C_x + e^-3x

− ³/₂ χ³ −

⃡1−1/3χ²

y(x) = e^2x ⋅ (P₁(x) cos βx + Q₁(x) sen βx)

θ = β

Bisogna controllare come si comporta questo numero rispetto al polinomio caratteristico (molteplicità)

y_m(x)= x^m ⋅ e^αx (Q₁(x) cos βx + Q₂(x) sen βx)

3:

y'_{ y″(x) -2y′(x)-y(x)= x - e^3x

(x) = C₁ + C₂e^2x

ES.²− 2−0 ℤ(−2)−0 −0

Sapere per una possa per l'(.

La molteplicità a nel pol. caratteristico

g_{(x)= X ((x+ ){'A₁

Ax + Bx

G²(x)= 2A + B

2A-2(ax+5)x

g_(x)=g_ek(x)+t

e^{-3x 3}

Molteplicità a nel pol. caratteristico

+ em =-2 e^{{_q}= paralel}

0₁ g_(x) = S A e^3x

∫e^xcos x dx

z=0 =>1

y₀(x)=C₁

g(x)=e^x∙cos(x)

g_x(x) = x

y_∞ cos y_∞ mod. g(x) = 0

Continua...

Eq. Diff. A Variabili Seperabili (Non Lineare)

y^-1(x) = g¹(x)

z:=0 g(x)=±x⁷

y²(x) g′(x) − g²(x)

1) y₀(x)−g₁(x)

0 ≠ +

∫ y′(x) (y(x)− g⁻¹(x))⁻²

X_∞ ∫y′(x)−g(x)

g(y) ∫ (dy/y−g)

y−g = x−x₀

1/(1−y)

A/(g−y) + B/(g) + 1/(−g)

⇒ ∫ dy/y + ∫dy/−g = ln|g|−ln|y|=ln|y/g|

x = log

log (g(x))

y: = log (g(x)/(1−g(x)))

x=log g(x)^x

g(x)/(1−g(x))

e^x/(1+e^x)

x=0

g(x)=e^x = e^xg(x)

g(x)+e^xy²(x)=e^x

y(x)= e^x/(+e)

IN GENERALE

1. y'(x)=a x : b y(x)
2. (y_0 - ʸ₀) / (b(y₀)) x = ∫^x_x₀ - a(x) dx →
3. ∫^y_y₀ dy / b(y) = ∫^x_x₀ a(x) dx
4. H(g(x)) - H(g₀) = A(x) - A(x₀)
5. H(g(x)) = A(x) - A(x₀) + H(g₀)

g(x)=h^-1(A(x) - A(x₀) + H(g₀))

ES.

{ y'(x) = 2 x (g(x))²

y(0) = 1

y / (g(x)) = 2x x₀ ed. potenziale

∫^x y / (g(x))² dx = ∫^x 2x dx →

∫^x dy y² x = ∫^x 2x dx

→1 / g(x) - 1 / x²

→1 / y = x²

(x+1) y'(x) = x (y(x)-1)

y(0) = ∞

g(x) =

• g(y) =₁ dx
• g(y(x)-1)
• g(y)

x / x² +1

dy / y-1 = y

x / x+1

ln (y(x)-1) ⁰ y(x)

½ ln (x² +1)

ln (g(x)-1) =

½ ln (1 + x²)

y(x) = 1 - √(1+x²)

g(x) =

g(x) = 1 - √(1+x²)

∞ ẟ S.I.

g(x) = 2x (cos (x))^x

g(y(x)-1) =

cod x=0

g(cos x²+1)

lim g(x)

(x→+∞)

dy = ∫ x dx

tg (g(y)) = [x²]

cos (g)^1-₀

tg g(x) = x²

g(x) = arctg (x)² |x| > 1

y(x) = arctg (x) + π/2

lim g(x-y) gt x→-∞ y→1^-x-2-₁