Equazioni Differenziali

Equazioni Differenziali

- Equazione la cui incognita è una funzione

- La funzione compare con le sue derivate

Es. 1

\(y'(x) = x\)

\(y(x)\)? Incognita

\(y(x) = \int g'(x) \, dx = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C\)

\(y(0)\)

Problema di Cauchy

\(y(x) = \frac{x^2}{2} + C\)

\(y(0) = \frac{0^2}{2} + C \quad \longrightarrow \quad 1 = 0 + C \quad \longrightarrow \quad C = 1\)

Condizione Impulse

\(y'(x) = f(x) \quad \longrightarrow \quad y(x) = \int f(x) \, dx\)

Es. 2

\(y'(x) + tg(y(x)) = x\)

\(y(x) = x - y(x)\)

Non si può procedere come prima perché non possiamo trovare una primitiva di \(g(x)\)

Le frecce rappresentano la direzione delle derivate in ogni punto

Una soluzione

Verifica

\(y = x - 1\)

\(- (x - 1) = x\)

y'(x) + y(x) = x

Eq. Differenziale Lineare (Equazioni Lineari Derivate di y)

del Primo Ordine (Ordine di Derivazione)

Si moltiplica per un Fattore Integrante, in questo caso e^x

y'(x) + x^xy(x) = x

D(e^xy(x)) = e^x x

Ora abbiamo la condizione ideale: derivata della f.ne y

uguale a un prodotto allora → integrare

∫D(e^xy(x)) dx = ∫e^xx dx = e^xy(x) = ^x e^x dx + c

g(x) = e^x(e^x x + c)

g(x) = X-1 + c. e^-x

→ g(o) = 0

y_o(0) = -1 + c = 0 → c = 1

In Generale

Eq. Differenziale Lineare del I° Ordine

y'(x) + e(x)y(x) = l(x)

(a coefficienti non costanti)

Fattore integrante: A(x)

e e^A(x)y'(x) + e^A(x)y(x)e^A(x)l(x)

A(x) è una primitiva di a(x)

D(e^A(x)g(x)) = e^A(x)l(x)

∫e^A(x)g(x) = ∫e^A(x)l(x) dx

Si integra

1. In generale

a_nzⁿ + a_mz^m + ... + a₀=0

2. Fattorizzazione

(t² - 1) → ℓ x ℓ x ... x ℓ e n fattori

(z²+(2t²))^m → ℓ (ℓ)

ΔK₀

ES. 1 (Parte omogenea)

y"(x)=3y(x)+3g(x)=0

z²-3z-3=0

z₁=^3±√16/₂=...1

e^x e^3x

g^(1)}(x)= c₁e^x + c₂e^3x

ES. 2

y³(x)+4y(x)+6y(x)+6g(x)=0

z⁴+2z+2+4=0 → (z+z)²=0 → z=0

g(x)= c₁e^2x + c₂xe^-3x

ES. 3

y⁴+2y³+5y=0

z⁴+2+5+0

-1±2i → e^-x e^-x

g(x)g₀(x)=e^-x[(c₁cos(x) + c₂sen(x))

IN GENERALE

1. y'(x) = a × b · g(x)
2. ∫_y0^{y 1}⁄_b(g(x)) dy = ∫_x0^x a(x) dx
3. ∫_g(x0)^{g(x) 1}⁄_g(y) dy = ∫₀^2x 2x dx
4. H(g₁) - H(g₀) = A(x) - A(x₀)
5. H(y(x)) = A(x) - A(x₀) + H(g₀)

ES.

1. • y'(x) = 2x (g(x))²
   • y(0) = 1
2. • ¹⁄_g(x) (1 - 2x)² + 1
   • I = (π - 1) - S_{INTERVALLO MASSIMO}