Elettrotecnica

BIPOLO "INDUTTORE"

Per la legge di Faraday-Lenz: "Auto-induzione elettromagnetica"

INDUTTORE AVVOLTO SU TOROIDE:

Consideriamo un avvolgimento da N spire su un nucleo magnetico con il flusso del campo di induzione magnetica b

Per la legge di Faraday-Lenz: Troviamo la relazione che lega alla corrente i, tramite la legge di Ampere:

= perimetro medio di e quindi

Sostituendo nella legge di Faraday-Lenz si ottiene la RELAZIONE COSTITUTIVA DELL'INDUTTORE:

Espressione dell'induttanza in funzione della geometria:

TRAFORMATORE ELETTROMECCANICO:

È stato il primo dispositivo ideato per funzionare da trasformatore ed è tuttora largamente impiegato nelle applicazioni ...(?)

Due avvolgimenti:

1) primario di N spire

2) secondario di N spire: flusso del campo magnetico b nel nucleo (non c'è campo magnetico al di fuori del nucleo, cioè in aria, perché)

Flusso concatenato con l'avvolgimento 1

Flusso concatenato con l'avvolgimento 2

Per la legge di Faraday-Lenz: quando non funziona con la corrente costante, deve essere alternata.

Per la legge di Ampere: Il materiale magnetico è talmente magnetizzabile che la corrente di magnetizzazione può tendere a zero.

OSSERVAZIONI:

1. Il trasformatore elettromeccanico funziona solo se c'è variazione nel tempo del flusso nel nucleo del trasformatore. Non funziona per correnti/tensioni costanti (d.c.). In particolare, i trasformatori elettromeccanici sono ottimizzati per funzionale con correnti alternate a.c. (sinusoidali).
2. I materiali magnetici perfetti non esistono! (Cioè non gente a!). I migliori materiali magnetici, come le leghe Fe-Si (materiali ferromagnetici) hanno. Nemmeno i conduttori perfetti esistono: la resistività non nulla implica perdite per effetto Joule. In sostanza: il trasformatore REALE approssima il comportamento IDEALE sopra esposto, senza raggiungerlo in pieno.

Caso reale: CAPACITÀ E INDUTTANZA DI LINEE

ELETTRICHE AEREE: Ogni volta che due superfici metalliche affacciate si trovano sottoposte ad una differenza di potenziale, si manifesta su esse separazioni di carica, e fra esse si stabilisce un campo elettrico. Ciò comporta la presenza di una capacità. Ogni volta che si ha una spira percorsa da corrente, che genera e concatena del campo magnetico, si ha una induttanza associata. In particolare ciò avviene per le linee elettriche aeree. Si dimostra che: sono i valori di capacità e induttanza.

MODELLO CIRCUITALE: Notare che:

LEZIONE 10: CIRCUITI RESISTIVI VS CIRCUITI DINAMICI: Circuiti resistivi: le relazioni costitutive degli elementi circuitale (es. resistore non lineare, resistore lineare, diodo, trasformatore, ...) sono equazioni algebriche. Esempio: Legano la v(t) all'istante t alla i(t) nel medesimo istante. Sorgenti all'istante t Soluzione all'istante t. Sorgenti all'istante t > t Soluzione all'istante t > t. La soluzione di un circuito,

equivale ad un circuito aperto

La tensione sul condensatore è una funzione continua

Infatti, se così non fosse, e per assurdo v(t) fosse discontinua

Quanto vale

Considerando il salto di v(t) in t come il limite di una retta con pendenza tangente a

La derivata tende a

La corrente NON È FISICAMENTE POSSIBILE

Il condensatore immagazzina energia:

Esempio: p>0: ASSORBE Quando |v| aumenta nel tempo

p<0: EROGA Quando |v| diminuisce nel tempo

Energia entrante in un ciclo della tensione:

Questo semplice esempio mostra una proprietà generale del condensatore: su un intervallo di tempo nel quale la tensione assume agli estremi lo stesso valore (v=0 nell'esempio), cioè in un ciclo (da t=0 a t=2s nell'esempio) della tensione, l'energia entrante è nulla. In alcuni istanti la potenza viene assorbita (quando |v| cresce), in altri viene erogata (quando |v| decresce): al netto l'energia entrante è nulla.

ENERGIA IMMAGAZZINATA NEL

Per semplicità, supponiamo v(t) = V costante (dc)

Problema: nota v(0) "condizione iniziale", determinare v(t) per t > 0

"Costante di tempo"

Eq. differenziale lineare a coefficienti costanti, del primo ordine, non omogenea.

Il circuito si risolve trovando la soluzione di una equazione differenziale nella variabile v:

- l'equazione si chiama equazione di stato

- la variabile v si chiama variabile di stato

SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DIFFERENZIALE:

Dove è la soluzione dell'eq. diff. omogenea associata, e è una soluzione particolare dell'equazione differenziale.

Equazione differenziale omogenea associata: Radice del polinomio

Polinomio caratteristico: caratteristico

Con k costante arbitraria

SOLUZIONE PARTICOLARE:

Si cerca una soluzione con lo stesso andamento temporale del termine sorgente. Nel nostro caso abbiamo costante. Cerchiamo una soluzione costante:

Si ottiene quindi:

Imponiamo la condizione

iniziale per determinare k:

Soluzione: Possiamo scrivere v(t) = V - k * e^(-t/RC). Infatti v(t) è continua, mentre per la corrente possiamo scrivere solo i(t) > 0 (non = 0). Infatti, in generale, i(t) è una funzione discontinua, e in t=0 può avere un salto, ovvero i(t) = I + k * δ(t).

ANDAMENTO GRAFICO DELLA SOLUZIONE:

Nel caso v(0) > V, il condensatore si scarica, fino a raggiungere, per t->∞, una tensione v(t) = V (in pratica, dopo 4-5 time constant).

Nel caso v(0) < V, il condensatore si carica, fino a raggiungere, per t->∞, una tensione v(t) = V (in pratica, dopo 4-5 time constant).

RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME:

Scomponiamo la soluzione ottenuta, o "risposta" del circuito RC:

La risposta transitoria

La risposta a regime (soluzione particolare dell'equazione differenziale) permane dopo che si è esaurito il transitorio. L'andamento temporale è analogo a quello delle sorgenti: nel nostro caso sorgenti costanti (dc) Regime costante.

Poteva essere ottenuta considerando il circuito equivalente a regime:

LEZIONE 11: CIRCUITO RL

Consideriamo un circuito lineare dinamico del primo ordine con un induttore. Rappresentiamo il circuito lineare resistivo con un equivalente di Norton.

Per semplicità, supponiamo i(t) = I costante (dc) "Costante di tempo".

Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine, non omogenea. i è la variabile di stato.

Problema: nota i(0), determinare i(t) per t > 0. "Condizione iniziale".

L'equazione di stato è analoga a quella del circuito RC! Basta considerare i al posto di v.

SOLUZIONE:

SCOMPOSIZIONE RISPOSTA TRASITORIA E A REGIME:

La risposta transitoria.

La risposta a regime poteva essere ottenuta considerando il circuito a regime:

Infatti, a regime costante (i = costante), l'induttore è equivalente ad un cortocircuito.

GENERALIZZIAMO: SOLUZIONE DI CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE CON SORGENTE DC COSTITUITE DA UN...

INDUTTORE

UN CONDENSATORE

1. si determina la condizione iniziale i (0). Se non è nota a priori, si può determinare sfruttando la proprietà di continuità:
2. si determina la soluzione a regime, risolvendo il circuito per t
3. Circuito Cortocircuito aperto