Teorema LCS soluzione
la ottima
ottima quella
che che sotto problemi
dei
incorpora
garantisce
ci
Date Y Allora
X qualsiasi
Z LCS X
di
Y
le Z
=
sequenze = <y1
X1 sia una
Z1
> e
e
Xm) = yn
, ..., , ..., .
...,
,
tre
hanno casi
si : Yn-1
e Xm-s
LCS
eZk di
Ek
ym =
se Xm una
= = yn
· Xm 1 e
= - LCS Y
Xm-1
allora
Xmym Z di
Zk è
se Xm
· una e
=
, Ym-1
e X
Z LCS
allora
Xmyn di
=
zkyn
se e
una
· , Ym-1
DIMOSTRAZIONE 1 LCS Xm-1
allora di
Zx
1 e
Xm
Se xm e
yn
zk
: ym = =
= -
. che
Mostro allora
yn zk Xm Ym
Xm
se = =
=
,
* Xm
suppongo Z
· che contiene accodato Z
costruisco nuova sequenza <Es
una xm zk ,
Xm)
· = ...,
, ,
che ipotesi
ricordandomi
sempre Ym
per Xm =
Z'è Y lunghezza
sottosequenza ha
X
di K 1
e
una +
e lunga
Z'è di
più
che sottosequenza Z
sila
> una
- (
lunghe
che Covvero più
LCS
contraddice l'ipotesi
> sotto
delle
sia sequenze
una una
-
Mostro che Ym-1
Xm-1
di
è LCS
Zk-1 una e Y
di
di
LCS
Z è
chiaramente
X Zk-1
siccome era e una
una
· ,
Xm-1 Ym-1
(CS) di
sottosequenza e lunghe
devo più
i delle
che
dimostrare (ovvero è
LCS
una una
· che
W Ym-1
esista di Xm-1
che sottosequenza
una sia
supponiamo e
lunghezza W
Zx-s K
più lunga di con ,
N'a W
Costruiamo accoda
sottosequenza cui
nuova si a
Xm
una
W'è ha
Y
di
di Xe lunghezza
sottosequenza k
- 1
> una +
e
- Y
contraddice Xe
fatto di
il che Z di
LCS
> sia
- una Y
Z iuna di Xm-se
LCS
allora zkXm
Se * =
2 Yn se
Xm ,
. Se Y
Zx-1 è
allora
zkXm Xm-se
sottosequenza di
una comune
,
Mostro i LCS
che una Xm-se lunghezza
Wdi
sottosequenza Y s
esista
che una con
suppongo
· (se LCS)
sarebbe
allora
esistesse W Z mon una allora
W è
di Xm-s anche sottosequenza
Y
i sottosequenza
siccome una e
· (quelle
Xe Y originali
di
di Y
> di
X
di
che
trovato è sottosequenza
W lunghezza
- avrei e con
un LCS
il fatto
contraddice che
> z sia
- una
Simmetrico
.
3 al punto 2
Conclusione di
due al prefissi
LCS
di delle struttura
interno
contiene
LCS sotto
sequenze
seguenze suo una :
una
: ottima è la sottoproblemi
ottima sotto lunga
La più
soluzione interno
al i sone
. seguenza suo
,
LCS
le prefissi
seconda Xm-1eY
A Ym-1
dei
prefissi Xm-2
dei casi
stesci . i
3 sono e oppure
Ym-1
Xe
o .
LEMMA DELL'ACRITICITÀ DEL GRAFI DIRETTI
grafo
Un aciclicosse
detto
è
G DFS
visita di Back .
diretto archi (B)
Ginon genera
una c'è
c'è
DIMOSTRAZIONE back= ciclo
1 un
arco
Se un
: . v)
back (n
7
. supponiamo
a arco
un , DF
foresta
nella
è
b allora antenato di
v un u
. il ciclo
c'è da c'è
quindi insieme v
ve v
percorso u-v
un
c u u
a -
=
:
. ,
ciclo
c'è back
arco
se =>
un
2 . ciclo
che il
G contenga
supponiamo e
a v)
(M
b nodo scoperto l'arco
vil precedente in
in sia
primo
sia c
c e .
. formano
di
vid bianco (poiché
al il
vertici
tempo ve'
i cammino
e v
un primo
c u
. , cl
scoperto
vertice in è
del
d nella
da foresta
teorema discendente
bianco DF
e v
cammino in
. v)
(u e
quindi back
e. un arco
, M
M 2
2 yrd
-
~ V
V M
M L
L
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