Dimostrazioni analisi I

Domande Appelli

1. Dare la definizione di funzione continua in un punto. Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange. Dare un'interpretazione geometrica. Enunciare e dimostrare corollari del teorema di Lagrange. (11/01/15)
2. Dare la definizione di funzione continua in un punto. Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale e fornire la sua interpretazione geometrica. (03/01/19)
3. Dare la definizione di retta tangente in un punto ad una curva. Dimostrare il teorema dei valori intermedi e fornire un esempio di applicazione. (11/01/19)
4. Dare la definizione estremo superiore e inferiore di una funzione, di minimo e massimo assoluto e relativo. Fornire un esempio di una funzione dotata di minimo assoluto non su (07/01/11). Enunciare e dimostrare il teorema dei valori intermedi. (06/01/19)
5. Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Classificare i punti singolari di una funzione e fornire un esempio per caso. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat. (06/01/19)
6. Dare la definizione di Serie assolutamente convergente. Dimostrare che una Serie Assolutamente Convergente converge semplicemente. (06/01/19)
7. Che tipo di condizioni fornisce il teorema? Esibire esempi e controesempi. (05/01/16). Dimostrare che ogni successione convergente è limitata.
8. Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Significato geometrico della derivata Prima. Ricavare, l'equazione della Retta Tangente ad una curva in un punto. Definizione di differenziale Primo e sua interpretazione geometrica. (03/12/08)
9. Dare la definizione di successione ed il limite di successione. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata. E' vero il viceverso? Esibire esempi e controesempi. (11/01/19)
10. Polinomio di Taylor. Dimostrare la formula del resto di Peano.(11/01/19)
11. Dare la funzione analitica o funzione sviluppabile in serie di Taylor. Enunciare e dimostrare il teorema che fornisce condizioni per lo sviluppo in serie di Taylor. (11/01/19)
12. Dare la definizione di serie e di serie resto. Enunciare e dimostrare il teorema che lega il comportamento della serie e della sua serie resto associata. Fornire un'applicazione. (11/01/19)
13. Dare la definizione di successione. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata. E' vero anche per le funzioni? (13/01/16)
14. Dare la definizione di somma di serie. Dimostrare la condizione necessaria per la convergenza di una serie e commentarla. (13/01/16)
15. Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Dimostrare che ogni funzione derivabile è continua in quel punto. Commentare il teorema. (13/01/16)
16. Dare la definizione di funzione continua in un punto. Dimostrare il teorema sui valori intermedi. (13/01/16)
17. Dare la definizione di serie. Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza di una serie. Dimostrare che la serie a termini a segno costante sono regolari. (13/01/16)

TEOREMI CON DIMOSTRAZIONI

1. Teorema esistenza dell'estremo _{no dim.}
2. Criterio di inutilità
3. Teorema unicità del limite
4. Teorema della permanenza del segno (anche per f.n. continue)
5. Convergenza di una successione unimonotona
6. Criterio ai rapporti di successioni _{no dim.}
7. Principio di sostituzione
8. Teorema sulle successioni terminali segno costante
9. Condizione necessaria per la convergenza della serie
10. Criterio del confronto serie (mediante il confronto tra successioni) _n.d.
11. Proprietà distributiva (mediante algebra dei limiti) _n.d.
12. Infrazione della convergenza semplice da quella assoluta
13. Convergenza delle serie resto
14. Teorema dei valori intermedi
15. Derivazione per l'integrabilità
16. Teorema di Fermat
17. Teorema di Rolle
18. Teorema di Lagrange
19. Teorema di caratterizzazione delle f. costanti e corollario
20. Teorema di L'Hospital
21. Criterio di derivabilità
22. Formula del resto di Peano

23. Valutazione asintotica del resto
24. Proprietà delle primitive (sono infinite e differiscono tutte per una cost.)
25. Teorema di Torricelli-Barrow
26. Teorema fondamentale del calcolo dell'integrale
27. Criterio di invertibilità _n.d.
28. Teorema della media per il calcolo integrale
29. Integrale come misurazione algebrica di aree

Teoremi sulle funzioni continue

Teorema della permanenza del segnoSia f(x) una funzione definita in un intorno di x₀ e sia continua in x₀. Se f(x₀) > 0, esiste un numero δ > 0 con la proprietà che f(x) > 0 per ogni x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ).

Dimostrazione: dato che f(x₀) > 0, possiamo scegliere ϵ = f(x₀). Esiste quindi un numero δ > 0 per cui |f(x) - f(x₀)| < ϵ∀x nell'intervallo (x₀ - δ, x₀ + δ), equivale a f(x) < f(x₀) + ϵe f(x) > f(x₀) - ϵ > f(x₀) - f(x₀) = 0 in particolare.

• Hp: f ∈ ℝ
• Formuliamo: x₀ ∈ D ∩ ℝ, f(x₀) > 0 ⇒ &exists; δ > 0:\x ∈ ∧_x0,δ
• f(x) > 0
• Teorema dell'esistenza degli zeri
• Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b], se f(a) < 0, f(b) > 0, allora esiste almeno un punto ξ tale che f(ξ) = 0.

Hp: c ∈ (a,b); a < c < b: a= x₀

Teorema dei valori intermedi

Hp: f: [a,b] → ℝ

Esiste C ∈ (a,b):

f(c)_[a,b]

1. Hp: f assume tutti i valori compresi tra M e m ⇒ ∃: {r}: [m,r]

Dimostrazione:I valori di massimo M e di minimo m sono assunti in base al teorema di Weierstrass; rimane da provare che, qualunque sia y₀ ∈ (m,M), esiste x₀ ∈ [a,b] tale che f(x₀)=y₀.

Indichiamo con x₁, x₂ i punti di minimo e di massimo di f(x), cioè tali che f(x₁)=m, f(x₁)=M e consideriamo la funzioneg(x) = f(x) - y₀

∀x ∈ [ca;b]

Essendo f(x₁) = m < y₀ < M: f(x₁) risulta

g(x₁)= f(x₁)- y₀ < 0g(x₂)= f(x₁) - y₀ > 0

Per il teorema dell'esistenza degli zeri esiste un numero x₀,appartenente all'intervallo aperto di estremi x₁, x₂, tale che g(x₀)=0, cioè tale che f(x₀)=y₀.

Funzioni Composte

u=φ(f(x)) definita in A→ℝ

• y=f(x): A→B
• u=φ(y): C→ℝ

Se B⊂C allora ha senso u=φ(f(x)) definita in A'={x∈A: y=f(x)∈B⊂C}

Supponiamo che:

1. f(x) sia derivabile in x̄∈A e
2. u=φ(y) sia derivabile in ȳ=g(x̄)

Allora la mia funzione composta è derivabile in x̄, ∃ u'(x̄)

e u'(x̄)=φ'(ȳ)⋅f'(x̄)

Il teorema mi dice che: Consideriamo una funzione composta e le condizioni sotto le quali questa ha senso. Supponiamo che le due funzioni componenti la f e la φ siano derivabili, f in x∈A e φ in y∈J; allora la funzione composta è derivabile nel punto x̄∈A e si calcola:

u'(x̄)=φ'(f(x̄))⋅f'(x̄)

Logicamente se φ fosse derivabile per ∀x∈A e φ per ∀y∈C allora u(x̄) è derivabile per ∀x∈A

Teorema di Derivazione della Funzione Inversa

Supponiamo di avere una funzione continua, derivabile e dotata di inversa.

Cosa possiamo dire sulla derivabilità della sua funzione inversa?

Hp: f(x): A→ℝ

f(x)∈C¹(A) e strettamente monotona

⇒∃ z̄ f⁻¹(x)→ x̄=z̄=f⁻¹(ȳ): E(z̄)→A

f⁻¹(ȳ)=g(y)

∃ȳ'(x̄), z̄∈A ∀ f'(z̄)≠0

Tc: ∃ ȳ'(ȳ), ȳ=f(x̄) dove ȳ è l'immagine di x̄

La derivata della funzione inversa sarà 1/f'(z̄) |_z=f⁻¹(ȳ) → dove x̄ è la controimmagine di ȳ