Dimostrazioni principali e schemi di elettromagnetismo - Fisica 2

DIMOSTRAZIONI PARTE 1 + riassunto

• Eq. di Maxwell

∇ x ė (r, t) = -∂b(r, t)/∂t

∇ x h(r, t) = j(r, t) + ∂d(r, t)/∂t

∇ · ě(r, t) = ρ (r, t)

∇ · b = 0

• Divergenza alle I:

∇ · [∇ x ė(r, t)] = [∇ · ∂b(r, t)/∂t] → ∇ · ∂b(r, t)/∂t = 0

∂/∂t [∇ · b(r, t)] = 0 → ∇ · b(r, t) = cost

Dato che per una qual. istante iniziale ∇ · b(r, t) = 0, b(r, t) è SEDENZIALE

• Divergenza alle III:

∇ · [∇ x h(r, t)] = ∇ · j(r, t) + ∇ · ∂d(r, t)/∂t

∇ · j(r, t) + ∂/∂t [∇ · d(r, t)] = 0 = ∂ρ(r, t) per eq. III

∇ · j(r, t) + ∂ρ(r, t)/∂t = 0 ➔ eq. della continuità della corrente elettrica

INTERFACCE CAMPI

Applico legge di Ampère-Maxwell in forma integrale:

∫ h₁ dc + ∫ h₂ (ĥ) dc - ∫ h₂ (ĥ) dc - ∫ h₁ t₁ dc + ∫ h₁ n̂ dc = 3]

⇒ = _(a1) ds = _| d₂ t₂ ds + ⇒ j_s t₁ ds

attenzione: h₁ . t₁ Δ . Δ Δ . Δ + ⇒ [d₂ . d₁] t₂ . Δn . Δ + ⇒ j_s t₂ ds

h₂ - h₁ t₂ = j_s t₂

h₂ - [h₂ - h₁ (n̂ x ĥ) t₂ [n̂ x(h₂ - h₁)] = Js t₂

⇒n̂x(h₂ - h₁) = J_s comp tangente DISCONTINUA

If ⇒ Js = J_ms o⇒ J_ms = 0

⇒ Js = J_ms comp tgo DISCONTINUA

n̂ x e₁ = n̂ x (nj = n̂ x e_t

la comp TANGENTE di ξ al ∑ si conserva

Campo magnetico

∇ x h = | x̂ ŷ ẑ |

| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |

| hₓ(x,t) hᵧ(x,t) h_z(x,t) | =

= (-∂/∂z hᵧ(x,t) + 0 ) x̂ + (∂/∂z hₓ(x,t) - 0 ) ŷ

+ 0 ẑ

= [ 2∊₀ ∂eₓ(x,t) x̂ + 2∊₀ ∂eᵧ(x,t) ŷ + ∂e_z(x,t) ẑ] ∂t

Equazione comp. per comp.

- ∂/∂z hᵧ(x,t) = ∊₀ ∂eₓ(x,t) ∂t

∂/∂z hₓ(x,t) = ∊₀ ∂eᵧ(x,t) ∂t

0 = ∂e_z(t) ∂t → e_z(t) è cost nel TEMPO

e_z e h_z = STATICI cost nel TEMPO e UNIFORMI cost. nello SPAZIO

Velocità di Gruppo

Consideriamo due onde piane che si propagano in un mezzo:

ω(k=β, ω=0)

con ω₁, ω₂ (ω₂>ω₁)

• Più centrale

ω₀ = ω₁+ω₂/2 Δω = ω₂−ω₁

• β₀ = β₁+β₂/2 Δβ = β₂−β₁
• β₀− Δβ/2

• λ₀= 2π
• λ=₁−λ₂*1/2

I campi sono:

e₁(z,t)=E cos[(ω₀−Δω/2)t−(β₀−Δβ/2)z]

e₂(z,t)=E cos[(ω₀+Δω/2)t−(β₀+Δβ/2)z]

I campi sovrapposti sono:

e(z,t) = e₁(z,t)+e₂(z,t) =

= 2E cos[(Δω/2)t−Δβ/2z]cos[ω₀t−β₀z]

Usando la formula di prostaferesi:

• cos a + cos b = 2cos((a + b)/2)cos((a − b)/2)

Si ottiene:

e(z,t) = 2E cos(Δωt −Δβz) cos(ω₀t −β₀z)

V_g = lim_Δω→0 Δω/Δβ = ∂ω/∂β

V_g = ω/β

Nel vuoto β = ω/c quindi ∂β/∂ω quindi ottengo:

V_g = ∂ω/∂β = 1/με

Teorema Poynting nei fasori

➁ S = [E (r) ¹ H (r) ^* = 2 S_r (r) + j ➁ S_i (r)

Divergenza del Poynting

∇ · ➁ S = -_{➁ ·} ^{+ **λ**}

Eq. di Maxwell

➁ ∇ x E = jω ➁ ∈ H ( ➁ ∈ - ➁ ∈ H ) ➁J

Quindi:

➁ J H

+

• Parte reale:
• Parte immaginaria:

Integrando sul volume racchiuso da una superficie S e appellandosi a teorema della divergenza:

• Parte reale: ∯_S E* · j dv
• Parte immaginaria: ∯_S ∮ |J| dv

INTERFACCE MULTIPLE

DOPPIA INTERFACCIA

3 mezzi privi di perdite: ε = μ

Scopo: trovare il campo elettromagnetico ovunque

Eq. di Helmholtz per ogni mezzo:

1. (∂₂E_x(z,t)/∂₂z₂ + β₂E_x(z,t) = 0)
2. (∂₂E_x(z,t)/∂₂t²)

Ex(z,t) = A₁ e^-jβ₁z + B₁ e^jβ₁z

Ex(z,t) = A₂ e^-jβ₂z + B₂ e^jβ₂z

Ex(z,t) = A₃ e^-jβ₃z + B₃ e^jβ₃z

in ognuno dei mezzi la soluzione dell’ep. di Helmholtz è data da un’onda progressiva e uno regressiva

• mezzo ₁ (z ≤ 0)

• E₁(z,t) = E_I e^-jβ₁z + E_R e^jβ₁z
• H₁(z,t) = E_I/S₁ e^-jβ₁z - E_R/S₁ e^jβ₁z

• mezzo ₂ (d ≤ z ≤ d)

• E₂(z,t) = E₁₂ e^-jβ₂z + E₂ e^jβ₂z
• H₂(z,t) = E₁₂/S₂ e^-jβ₂z - E₂/S₂ e^jβ₂z

• mezzo ₃

• E₃(z,t) = E₁₃ e^-jβ₃z
• H₃(z,t) = E₁₃/S₃ e^-jβ₃z

Mezzo 2

E_t = E_z e^{-jx₂ cos θ₂} ŷ

E_t = E_z ( cos θ₁)_z=0

H_t = γ Z_z e^{-jx₂ cos θ₂} ŷ

Continuità dei campi

• E₁ x n̂ |_z=0 = - E_L x n̂ |_z=0
• H₁ x n̂ |_z=0 = H_z x n̂ |_z=0

4 incognite, ma solo 2 equazioni ⟹ per risolvere metto

Leggi di Snell e i Coeff. di Fresnel

LINEE DI TRASMISSIONE

LINEA DI TRASMISSIONE: costituita tra due o più superfici cilindriche, costituite da tubi conduttori.

Nelle linee di trasmissione si può avere la propagazione di campi elettromagnetici secondo delle specifiche configurazioni.

• TEM = modo transverso-elettromagnetico, E e H giacciono nel piano xy transverso alla direzione del cilindro (z)
• TE₁₁, TM₀₁

In generale il campo all'interno della linea di trasmissione può essere scritto come:

E(x, y, z) = E_t(x, y, z) ^t + E_t(x, y, z) ^z H(x, y, z) = H_t(x, y, z) ^t + H_t(x, y, z) ^z

componenti TRASVERSI componenti LONGITUDINALI

Nel TEM E_z = H_z = 0 → E = E_t i campi sono solo TRASVERSI H = H_t

E_t = E_t(x, y, z) = V(z) E(x, y) H_t = H_t(x, y, z) = I(z) h(x, y)

sorgente utilizzatore

linea di trasmissione

Si può schematizzare così: V_g -> Z_g Z_u -> → sorgente = generatore + impedenza interna utilizzatore = carico

dz (sezione della linea di trasmissione) si può studiare così:

• C - capacitance per unità di lunghezza [F/m]; terre corte dei fenomeni → capacità tra i conduttori
• L - coeffic. di AUTOINDUZIONE della geometria conduttori
• R - resistenza per unità di lunghezza [Ω/m], terre con cause delle PERDITE NON PERFETTA CONDUTTIBILITÀ
• G - conducibilità per unità di lunghezza [S/m], terre con cause delle perdite -> ISTERESI - conducibilità nel dielettrico, ESPERSA DI RADIAZIONE