Dimostrazioni di fisica 2

Elettrostatica nel vuoto

Teorema di Gauss

Φ_E(S) = ∫_S E · ds = Q_int / ε₀

È di un filo rettilineo

E( P ) = λ / 2πε₀ · 1 / r

Dimostrazione

dE = dE_- + dE₊ = (dE_- |+| dE₊) cosθ ̃ = 2 / 4πε₀ 1 / r² de cosθ ̃

ma r e dl si trasformano in l = R tgσ, r = R / cosσ, dl = R / cos²σ dσ

e sostituendo

E( P ) = ∫_l 1 / 2πε₀ λ (cosσ / R²) (/ cosσ dσ) cosσ = 1 / 2πε₀ 1 / R ∫_-π/2^+π/2 cosσ dσ = λ / 2πε₀ 1 / R ̃

Teorema di Gauss (formulazione vettoriale)

\[\Phi_{E}(\vec{E}) = \int_{S} \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}\]

È di un filo rettilineo

\[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{r}\]

Dimostrazione vettoriale

\[\vec{dE} = \vec{dE'} + \vec{dE''}, \, (dE' \perp dE'') \cos \theta \hat{n}\]

\[= \frac{2}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r} \, d\ell \, \cos \theta \hat{n}\]

ma \(r\) e \(d\ell\) si trasformano in \(\ell = R \tan \sigma\)

\(\vec{d\ell} = \frac{R}{\cos^2 \sigma} d\sigma\)

e sostituendo

\[\vec{E}(\vec{r}) = \int \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda \cos \sigma}{R^2} \left( \frac{R}{\cos^2 \sigma} d\sigma \right) \cos \sigma\]

\[= \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{R} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \cos \sigma \, d\sigma = \frac{\lambda}{\varepsilon_{0}} \cdot \frac{1}{R} \hat{n}\]

È di una spira

d_Ex = ¹/_4πε0 ^λ/_r² dl

d_Ex = d_E cosα = ¹/_4πε0 ^λ/_r² cosα dl

d_Ex = ∫ ¹/_4πε0 ¹/_r² cosα dl = ^2πλR/_4πε0 r²

ma r = √x²+R² e r = ^x/_cosα = ^x/_cosα √x²+R²

→ cosα = ^x/_√x²+R²

sostituendo

E_x = ^λ/_2ε0 ^R/_x ^x/_√x²+R² = ^λ/_2ε0 ^R/_{(x²+R²)^3/2}

È di un piano

Consideriamo il piano come un insieme di spire di area dQ = 2πR dR

d_E = ^{2πR dR}/_4πε0 ^cosα/_r²

dove r = ^√x/_cosα R = tgα

x → dR = x = ^x/_cosα = ∫ ^x/_√x²+R² R cosα

d_E = ∫ ^tgα/_ytε0 cosα = (∫^π⁄2₀ sinα dα) ^σ/_2ε0

Dipolo elettrico

Momento di dipolo

\( \vec{p} = q \vec{d} \)

\( => V_{0}(P) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} - \)

\( => \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(r-r_1)}{r \cdot r_1} \)

dove \( r, r_1 \ll r^2 \) e \( r - r_1 \approx d \cos \alpha \)

\( => V_{0}(P) = \frac{q \vec{d} \cos \alpha}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \approx \frac{\vec{p} \cos \alpha}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \approx \frac{\vec{p} r \cos \alpha}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \)

Energia potenziale dipolo

Poiché \( E = - \nabla V_{0} \) \( \Rightarrow \nabla \) di un (potenziale \( dV = E d \hat{\ell} \))

\( => U = q \, dV = \nabla V_0 \, d \vec{q} \) provato dal come distanze tra le \( q \)

\( => U = \vec{p} \cdot \nabla V_{0} = \frac{E_0}{\varepsilon_0} \vec{p} \)

Equazione di Poisson

D²V = - _ρ/_ε0

Dimostrazione

Dalla prima di Maxwell div _E = _ρ/_ε0

ma _E = - divV

=> div (divV) = _ρ/_ε0

=> D²V = - _ρ/_ε0

Equazione di Laplace

D²V₀ = 0

ovvero 'eq. di Poisson con determinate condizioni di contorno: no cariche localizzate

È generato da sistema di equazioni di geometria e potenziale nota

Elettrostatica nei conduttori

Lavoro di estrazione

V_i - V_e =