Dimostrazioni per esame Teoria ed elaborazione dei segnali

Z Z

−jωt −jωt

= α x(t)e dt + β g(t)e dt =

−∞ −∞

= αX(ω) + βG(ω).

5

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

Traslazione nel tempo −jωt

F{x(t − X(ω)

t )} = e 0

0

Dimostrazione ∞

Z −jωt

− −

F{x(t − x(t t )e dt, sostituisco dτ = dt , τ = t t

t )} = 0 0

0 −∞

∞ ∞

Z Z

−jω(τ −jωt −jωτ

+t )

= x(τ )e dτ = e x(τ )e dτ =

0 0

−∞ −∞

−jωt X(ω).

= e 0

Traslazione in frequenza (Modulazione)

j2πf t

F{x(t)e } −

= X(f f )

0 0

Dimostrazione ∞

Z −j2πf t

F{cos(2πf t)x(t)} = x(t) cos(2πf t)e dt

0 0

−∞ −j2πf

j2πf t t

e + e

0 0

ricordiamo cos(2πf t) =

0 2

∞ ∞

Z Z

1

1 −j2πf −j2πf −j2πf

j2πf t t t t

x(t)e e dt + x(t)e e dt

= 0 0

2 2

−∞ −∞

∞ ∞

Z Z

1

1 −j2π(f −f −j2π(f

)t +f )t

= x(t)e dt + x(t)e dt

0 0

2 2

−∞ −∞

−f

Il primo integrale ha come risultato: X(f ) pertanto è facile dedurre che la moltiplicazione

0

per un esponenziale complesso trasla in frequenza la trasformata del segnale, ricaviamo

facilmente la trasformata desiderata originariamente:

j2πf t

F{x(t)e } −

= X(f f )

0 0

Facilmente ricaviamo dai due integrali: −

X(f f ) + X(f + f )

0 0

F{x(t) cos(2πf t)} =

0 2

che è la trasformata del segnale x(t) modulato.

6

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

Dualità F F

←

→ ←

→

x(t) X(f ) X(t) x(−f )

Dimostrazione ∞

Z j2πf t

X(f ) e df

x(t) = −∞

∞

Z j2πf t

X(t) e dt

x(f ) = −∞

∞

Z − j2πf t

X(t) e dt

x(−f ) = −∞

Convoluzione F{x(t) ∗ ·

r(t)} = X(f ) R(f )

Dimostrazione ∞

R

∗ −

Sia z(t) = x(t) r(t) = x(τ ) r(t τ ) dτ.

−∞ ∞

∞

∞ hZ

Z

Z i −j2πf

−j2πf t

t −

F{z(t)} x(τ ) r(t τ ) dτ e dt (1)

z(t) e dt =

Z(f ) = = −∞

−∞

−∞

scambio l’ordine di integrazione ∞ ∞

Z hZ i

−j2πf t

−

x(τ ) r(t τ ) e dt dτ

Z(f ) = −∞ −∞

Effettuiamo un cambio di variabile nell’integrale interno:

−

u = t τ =⇒ t = u + τ, dt = du,

per cui

∞ ∞ ∞

Z Z Z

−j2πf −j2πf −j2πf −j2πf −j2πf

t (u+τ ) τ u τ

r(t−τ ) e dt = r(u) e du = e r(u) e du = e R(f )

−∞ −∞ −∞

7

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

Sostituendo in (1): ∞

∞ Z

Z −j2πf −j2πf

τ τ

x(τ ) e R(f ) dτ = R(f ) x(τ ) e dτ

Z(f ) = −∞ −∞

· ·

= R(f ) X(f ) = X(f ) R(f ).

Prodotto F{x(t) · ∗

r(t)} = X(f ) R(f )

Dimostrazione

Sia z(t) = x(t) r(t), definiamo la sua trasformata di Fourier:

∞

Z −j2πf t

z(t) e dt.

Z(f ) = −∞

Sostituendo z(t): ∞

∞ Z

Z h i

−j2πf

−j2πf t

t x(t) r(t) e dt

x(t) r(t) e dt =

Z(f ) = −∞

−∞

(espandiamo r(t) tramite la sua trasformata inversa)

∞

∞

Z

Z −j2πf

j2πνt t

R(ν) e dν e dt

= x(t) −∞

−∞

(scambiamo l’ordine di integrazione)

∞

∞

Z

Z −j2π(f −ν) t

x(t) e dt dν

= R(ν) −∞

−∞

∞

Z

− ∗

R(ν) X f ν dν = X(f ) R(f ).

= −∞

Derivazione d

F{ x(t)} = j2πf X(f )

dt 8

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

Dimostrazione ∞

Z j2πf t

X(f )e df

x(t) = −∞ ∞

∞ Z

Z d

d d j2πf t j2πf t

X(f )

x(t) = X(f )e df = e df

dt dt dt

−∞

−∞

∞ ∞

Z Z

j2πf t j2πf t

= X(f )(j2πf )e df = (j2πf X(f ))e df

−∞ −∞

Simmetria Hermitiana F{x(t)}

Sia x(t) un generico segnale reale e sia X(f ) = la sua trasformata di Fourier.

Dimostrazione X(f ) = Re(f ) + jIm(f )

∞ ∞

Z Z

−

Re(f ) = x(t) cos(2πf t)dt Im(f ) = x(t) sin(2πf t)dt

−∞ −∞

∧ −Im(−f

si nota che: Re(f ) = Re(−f ) Im(f ) = )

cioè la parte reale della trasformata di un segnale reale è una funzione pari in frequenza,

mentre la parte immaginare è una funzione dispari; il tutto si riassume in:

∗

X(f ) = X (−f )

Teorema di Parseval

Sia x(t) un segnale a energia finita: ∞

Z 2

|x(t)| ∞.

E = dt <

x −∞

F{x(t)}

Se X(f ) = è la sua trasformata di Fourier, allora vale

∞ ∞

Z Z

2 2

|x(t)| |X(f

dt = )| df.

−∞ −∞

Dimostrazione ∞ ∞

Z Z

2

|x(t)|

E = dt = x(t) x(t) dt (2)

x −∞ −∞

9

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

esprimiamo x(t) e x(t) tramite le trasformate inverse ∞

∞ Z

Z −j2πνt

j2πf t

X(f ) e df, x(t) = X(ν) e dν.

x(t) = −∞ −∞

Sostituendo in (2) e scambiando l’ordine di integrazione:

"Z #"Z #

∞ ∞ ∞

Z −j2πνt

j2πf t

X(f ) e df

E = X(ν) e dν dt

x −∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞

Z Z hZ i

−ν)t

j2π(f

X(f )

= X(ν) e dt df dν.

−∞ −∞ −∞

Si usa la proprietà della delta di Dirac:

∞

Z −ν)t

j2π(f −

e dt = δ(f ν),

−∞

per cui ∞

∞ ∞ Z

Z Z − X(f )

X(f ) X(ν) δ(f ν) df dν = X(f ) df

E =

x −∞

−∞ −∞

∞

Z 2

|X(f

= )| df.

−∞

Campionamento

La relazione nel tempo legata al campionamento di un segnale continuo x(t) è la seguente:

x[n] = x(nT )

Dimostrazione

Indichiamo con X̄(f ) la trasformata di Fourier della sequenza x[n]:

∞ ∞

X X

−j2πf −j2πf

n n

X̄(f ) = x[n] e = x(nT ) e (3)

n=−∞ n=−∞

Ora esprimiamo i campioni x(nT ) tramite la trasformata di Fourier del segnale continuo

x(t): ∞ ∞

Z Z

j2πνt j2πνnT

x(t) = X(ν)e dν =⇒ x(nT ) = X(ν) e dν.

−∞ −∞

10

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

Sostituendo in (3) e scambiando sommatoria ed integrale:

∞ ∞

hZ i

X −j2πf

j2πνnT n

X̄(f ) = X(ν) e dν e

−∞

n=−∞ ∞

∞

Z h i

X −j2πn −ν)T

(f

X(ν) e dν. (4)

= −∞ n=−∞

Per semplificare usiamo lo sviluppo in serie di Fourier del pettine di impulsi :

∞ ∞

1

X X

−j2πnα k

−

e = δ α . (5)

T

T

n=−∞ k=−∞

−

Applicando α = (f ν)T nella (5) otteniamo ∞

∞ 1

X

X −j2πn −ν)T

(f k

− −

δ f ν

e = .

T

T

n=−∞ k=−∞

Infine, sostituendo questo risultato in (4): ∞

∞

Z 1

X k

− −

δ f ν dν

X(ν)

X̄(f ) = T

T

−∞ k=−∞

∞

1

X k

−

X f . (6)

= T

T k=−∞

La relazione (6) mostra che, nel dominio della frequenza, il campionamento di x(t) genera

1

repliche di X(f ) con periodo di ripetizione pari alla frequenza di campionamento f = .

c T

11

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

Periodicizzazione di una sequenza aperiodica

+∞

X −

y[n] = x[n mN ]

0

m=−∞ −1

N 0

1 X −j2πnk/N

y[n] e

Y = 0

k N

0 n=0

−1

N +∞

0

1 X X −j2πnk/N

−

= x[n mN ] e 0

0

N

0 n=0 m=−∞

−(m−1)N −1

+∞ 0

1 X X −j2π(p+mN )k/N

= x[p] e 0 0

N

0 m=−∞ p=−mN 0

+∞

1 X −j2πpk/N

x[p] e

= 0

N

0 p=−∞

Trasformata di una sequenza aperiodica: +∞

X −j2πnf T

x[n] e

X(f ) = n=−∞

Riscriviamo l’ultima formulazione di Y sfruttandola:

k

1 k

Y = (campionamento in frequenza)

X

k N N T

0 0

Quantizzazione (approccio deterministico)

Nel processo di digitalizzazione di un segnale analogico, uno degli stadi fondamentali è la

quantizzazione, ovvero la rappresentazione dei valori campionati su un insieme discreto di

livelli. Supponiamo di disporre di n bit per ciascun campione: ciò consente di rappresentare

n

L = 2 livelli distinti.

Se il segnale campionato è noto per variare all’interno di un intervallo di ampiezza finita, ad

esempio [−a, +a], l’intervallo totale di dinamica è pari a 2a. Per effettuare la quantizzazione

uniforme, si suddivide tale intervallo in L sottointervalli equispaziati, ciascuno di ampiezza:

2a 2a

∆= = .

n

L 2

12

Simone Randino Teoria ed elaborazione dei segnali Dimostrazioni

Ad ogni valore campionato si associa il livello centrale dell’intervallo in cui esso ricade.

L’errore introdotto da questo processo prende il nome di errore di quantizzazione e, nel

caso uniforme e non saturato, può assumere valori compr