Teoria di Fisica 1 - Dimostrazioni chieste, esame orale

FISICA GENERALE MODULO I

DEFINIZIONI E DIMOSTRAZIONI IMPORTANTI

Si fa riferimento ai testi:

• Mazzoldi-Nigro-Voci, Elementi di Fisica. Meccanica e Termodinamica, Edises (indicato di seguito con la lettera M)
• Giovanni Salesi, Fisica Generale I, Edizioni La Dotta (indicato di seguito con la lettera S)

CINEMATICA E DINAMICA

• Deduzione delle leggi orarie per il moto uniformemente accelerato ((S)pag. 22-23-24; (M) pag.9-10-11-12)
• Deduzione della legge fondamentale del moto armonico: a = -ω²x ((S) pag. 26; (M) pag. 16-19)
• Moto circolare, accelerazione tangenziale e centripeta ((S) pag. 31; (M) pag. 32-35)
• Studio del moto balistico di un proiettile (deduzione del tempo di volo, della gittata, etc.) ((S) pag. 75; (M) pag. 38-41)
• Deduzione della composizione galileiana delle Velocità per un moto di trascinamento accelerato, puramente traslatorio ((S) pag. 37-38; (M) pag. 114-115)
• Deduzione della Terza Legge di Keplero ((S) pag. 72; (M) pag. 277)
• Deduzione dei parametri orbitali dei satelliti artificiali ((S) pag. 73; (M) pag. 286)
• Pendolo semplice: analisi dinamica, deduzione della legge oraria armonica (per le piccole oscillazioni) e delle leggi dell’isocronismo galileiano ((S) pag. 80-81-82; (M) pag. 72-73)
• Dimostrazione del Teorema delle Forze Vive L = ΔE_c nei due casi di forza costante e forza variabile nel tempo ((S) pag. 97-98; (M) pag. 88)
• Lavoro ed energia potenziale ((S) pag. 100; (M) pag. 90-94)
• Conservazione dell’energia meccanica ((S) pag. 100; (M) pag. 95-96)
• Dimostrazione dell’indipendenza dal percorso del lavoro di forze conservative ((S) pag. 104; (M) pag. 93)
• Analisi dettagliata della cinematica dell’urto centrale elastico (eguaglianza

Moto Circolare, Accelerazione Tangenziale e Centripeta

Si chiama moto circolare un moto piano la cui traiettoria è rappresentata da una circonferenza. Considerando che la velocità varia continuamente in direzione l' accelerazione centripeta è sempre diversa da zero.

Nel moto circolare uniforme la velocità è costante in modulo e l' accelerazione tangente è nulla per cui d²θ/dt²=0. Se invece il modulo della velocità cambia nel tempo il moto circolare non è uniforme e d²θ/dt² è diversa da zero. L'assunere come variabile l'angolo θ(t) significa porsi in un sistema di coordinate polari di centro O in cui il moto avviene con r(t)=R=costante e θ(t) variabile. La rappresentazione in coordinate è legata a θ(t):

• x(t)=R cos(θ(t));
• y(t)=R sen(θ(t)).

Lo spostamento angolare Δθ=θ₂-θ₁, la velocità angolare media è il rapporto tra Δθ e Δt

w_m=Δθ/Δt

La velocità angolare istantanea è il limite per Δt→0 di w_m

w=dθ/dt

La velocità angolare istantanea è la derivata rispetto al tempo dell'angolo θ(t) che descrive la posizione angolare del punto.

Se si tiene conto della relazione s(t)=Rθ(t)

w=dθ/dt = (ds/dt) / R

La velocità angolare è proporzionale alla velocità con cui è descritta la circonferenza.

Il moto circolare uniforme ha w e w costanti (è un moto accelerato con accelerazione costante, ortogonale alla traiettoria)

w²m=V²/R = w²R

Nel caso di moto circolare non uniforme oltre all'accelerazione centripeta dobbiamo considerare quella tangenziale q_T=dv/dt, dato che variando la velocità angolare w occorre considerare l'accelerazione angolare media

Δw_m=Δw/Δt

L'accelerazione angolare istantanea è il limite per Δt→0 di Δw_m

d₂θ/dt² = d²θ/dt² = q_T/R

Integrando si ottiene

w(t)=w₀ + ∫_t₀^t q_T/R dt = θ(t)=θ₀ + ∫_t₀^t₀ w(t) dt

LEGGI ORARIA

Pendolo semplice: analisi dinamica, deduzione della legge

oraria armonica (per le piccole oscillazioni) e delle leggi

dell'isocronismo galileiano

Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale appeso tramite

un filo inestensibile e di massa trascurabile

R_T = m g sen θ = m_P α_T

R = m g

TF = m g cos θ

m L θ

Il segno negativo della componente lungo la traiettoria è dovuto

al fatto che la forza ha segno opposto rispetto a quello della

coordinata sulla traiettoria. Infatti per S_SO, posizione a SX della

verticale, la forza è diretta secondo il verso positivo assunto, mentre

per S_SD la forza è diretta secondo il verso negativo, R_T è una forza di

Rt

richiamo

Q = Q_T

= L θ = L

d²θ

d²t

⇒

= m R

= θ

L

d²θ

d t²

= -

θ

g

sen θ

v²

m L =

TF = m g cos θ

Per piccole oscillazioni diventa:

d²θ

d t²

+

θ

L

=(d

≈ θ

0

e coincide con quella del moto armonico semplice, posto

W²

0

Theta_0

Theta = Theta_0 sin (wt + phi)

Il periodo è dato da:

T = 2π

w= 2π

L

g

cd è indipendente dall'ampiezza

La legge oraria dello spostamento

S = Lθ = θ₀sin(wt + φ)

mentre la velocità angolare e la velocità lineare hanno le

espressioni

w = dθ

θ/ dt = w θ₀cos(wt + φ)

v = ds

= L

dθ

dt = L

w θ₀

cos(wt + φ)

Lavoro di una forza di attrito radente

La forza di attrito radente per il suo spostamento

W = ∫_A^B F₀d⋅ds = -∫_A^B |Nμ_din| d⋅ds = -Gl ^B∫_A |dN| ds

dove l'integrale scalare ∫ₐ^A ds è la lunghezza del percorso da A a B misurata lungo la traiettoria effettiva del punto materiale.

Il lavoro della forza di attrito radente dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei valori di una funzione delle coordinate nei punti A e B.

Il lavoro della forza di attrito radente è sempre negativo, cioè è lavoro resistivo.

Forze conservative Energia potenziale

Le forze elastica e peso sono forze conservative, il cui lavoro non dipende dal percorso

∫_P^B (F̅⋅ds)_I = ∫_P^B (P̅⋅ds)

Per un percorso chiuso, ABA seguendo le traiettorie I e -II (percorso in senso inverso) si ha

∫_A^B (F̅⋅ds)_I+ ∫_A^B (P̅⋅ds)_II - ( ∫_A^B (F̅⋅ds)_I - ∫_A^B (F̅⋅ds)_II ) = 0

Di conseguenza lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo;

∮_A^P F̅⋅ds = 0

Proprietà forze conservative

• Per tutte le forze conservative il lavoro si esprime come l'opposto della variazione dell'energia potenziale relativa alla specifica forza
• Non esiste una formula generale dell'energia potenziale ma l'espressione esplicita dell'energia potenziale dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce
• Nei due casi visti

E_peso = mgz

E_el = 1/2 kx²

Da una forza conservativa non si può ricavare lavoro se il percorso è chiuso, ovvero se il processo è ciclico. Esistono forze non conservative chiamate forze dissipative.