Formule e dimostrazioni

FORMULARIO

• BINOMIALE

  P(x) = _nC_x p^x (1 - p)^n-x

  R_x = [0,n] p∈[0,1]

  F(x) = ∑ P(k)

• BINOMIALE NEGATIVA

  P(x) = ^x-1C_k-1 p^k (1 - p)^x-k

  R_x = k,k+1,... p∈(0,1]

  E(x) = k/p

• GEOMETRICA

  P(x) = p(1 - p)^x-1

  F(x) = 1- (1 - p)^x

• POISSON

  P(x) = λ^x e^-λ / x!

  R_x = N⁺

  E(x) = λ

  VAR(x) = λ

• NORMALE

  f(x) = e^{-1/2 (x - μ)2 / δ2} / √2π

  R_x = R

  E(x) = μ

  VAR(x) = δ²

FUNZIONE GAMMA

γ(k) = ∫^∞ x^k-1 e^-x dx k>0

γ(k + 1) = kγ(k)

γ(n + 1) = n! n∈N

γ(1/2) = √π

• GAMMA

  f(x) = λ^κ x^κ-1 e^-λx / γ(k) x>0

  R_x = R⁺

  E(x) = k/λ

  VAR(x) = k/λ²

• ESPOENZIALE NEGATIVA

  f(x) = λe^-λx

  F(x) = 1 - e^-λx

• CHI QUADRO

  f(x) = (1/2)^g/2 x^g/2-1 e^-x/2 / γ(g/2)

  χ²_g = ∑ z_i²

FUNZIONE BETA

β(α,β) = ∫¹₀ x^α-1 (1 - x)^β-1 dx

(β(α,β) = γ(α)γ(β) / γ(α + β))

• BETA

  f(x) = x^α-1 (1 - x)^β-1 / [β(α,β)]

  E(x) = α / (α + β)

  VAR(x) = αβ / ((α + β)²(α + β + 1))

• UNIFORME

  f(x) = 1

Formulario

• Binomiale

  X ∼ bi(n;p)

  P(x) = ⁿC_x p^x (1-p)^n-x

• Binomiale Negativa

  X ∼ ne(k;p)

  P(x) = ^x-1C_k-1 p^k (1-p)^x-k

• Geometrica

  X ∼ ge(1;p)

  P(x) = p(1-p)^x

  F(x) = 1-(1-p)^x

• Poisson

  X ∼ po(λ)

  P(x) = ^λx/_x! e^-λ

• Normale

  X ∼ N(μ;δ²)

  f(x) = ¹/_√2π e^{-1/2 (x-μ)2/δ2}

• Funzione Gamma

  ϒ(k) = ∫₀^∞ x^k-1 e^-x dx

  k>0

  ϒ(k+1) = kϒ(k)

• Gamma

  X ∼ ga(k;λ)

  f(x) = ^λk/_ϒ(k) x^k-1 e^-λx

  k∈N⁺⁺, λ∈ℝ⁺

• Esponenziale Negativa

  X ∼ e(1;λ)

  f(x) = λe^-λx

  F(x) = 1 - e^-λx

• Chi Quadro

  X ∼ ga(q/2 ; 1/2)

  f(x) = ¹/_{2^q/2 ϒ(q/2)} x^q/2-1 e^-x/2

• Funzione Beta

  β(a;β) = ∫₀¹ x^a-1 (1-x)^β-1 dx

• Beta

  X ∼ be(a;β)

  f(x) = ¹/_β(a;β) x^a-1 (1-x)^β-1

• Uniforme

  X ∼ re(1;1)

  f(x) = 1

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

F(x; y) = ∫_-∞^x ds ∫_-∞^y l(s; t) dt

DISTRIBUZIONI MARGINALI

l^x*(x) = ∫_Ry l^x;y(x; y) dy

l^y*(y) = ∫_Rx l^x;y(x; y) dx

DISTRIBUZIONI CONDIZIONALI

l^y|x(y|x) = l^x;y(x; y) / l^x*(x)

l^x|y(x|y) = l^x;y(x; y) / l^y*(y)

E(Y|x=x) = ∫_Ry|x y l^y|x(y|x) dy

VAR (Y|x=x) = ∫_Ry|x [Y - μ_Y|X(x)]² l^y|x(y|x) dy

LEGGE DEL VALORE ATTESO ITERATO

E(Y) = E(E(N|X))

SCCOMPOSIZIONE DELLA VARIANZA

VAR(Y) = VAR (E(Y|X)) + E(VAR(Y|X))

COVARIANZA

cov(X; Y) = E((X - M_X)(Y - M_Y)) = E(XY) - E(X)E(Y) = μ_XY - μ_Xμ_Y

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE