Differenziali di 2° ordine

DIFFERENZIALI DI SECONDO ORDINE

y^'' + a₁y' + a₀y = f(t)

• a, a₀ ∈
• f ∈ C(I)

L₂ = d²/dt² + a₁d/dt + a₀

L₂ = C²(I) → C(I)

• L₂(y₁ + y₂) = (y₁ + y₂)'' + a₁(y₁ + y₂)' + a₀(y₁ + y₂)
• = y₁'' + a₁y₁' + a₀y₁ + y₂'' + a₁y₂' + a₀y₂
• = L₂(y₁) + L₁(y₂)   ∀y₁,y₂ ∈ C²(I)
• L₂(k y) = k L₂(y)   ∀k ∈ ,   ∀y ∈ C²(I)

DEF

y ∈ C²(I) è soluzione di y'' + a₁y' + a₀y = f(t)

se y''(t) + a₁y'(t) + a₀y(t) = f(t) ∀ t ∈ I

DEF

y₁, y₂ ∈ C²(I) sono linearmente indipendenti

se C₁ y₁(t) + C₂ y₂(t) = 0 ⇒ C₁ = C₂ = 0

∀ t ∈ I

OBB

y'' + a₁y' + a₀y = 0 e^λt = y

λ²e^λt + a₁ e^λt + a₀e^λt = 0 ⇔ λ² + a₁λ + a₀ = 0 con e^λt ≠0

WRONSKIANO

DEF

siano y₁, y₂ ∈ C²(R) soluzioni dell'omogenea

chiamiamo wronskiano (associato a y₁ e y₂):

W_{y₁, y₂}(t) = det (y₁(t) y₂(t)

y'₁(t) y'₂(t))

TEOREMA

siano y₁, y₂ ∈ C²(R) soluzioni dell'omogenea

allora 1. w(t) = 0

(oppure w ≠ 0 ∀ t)

2. y₁ e y₂ sono linearmente dipendenti ⇔ ∃ t₀ t.c. W(t₀) = 0

(oppure y₁, y₂ sono l. indipendenti ⇔ ∃ t₀ t.c. W(t₀) ≠ 0)

DIM 1

W(t) = y₁(t)y'₂(t) - y₂(t)y'₁(t) determinante

y₁, y₂ ∈ C² ⇒ y'₁, y'₂ ∈ C^'

W posso derivare

W' = y'₁y'₂ + y₁y"₂ - y'₂y'₁ - y₂y"₁

= y'(y'₂y₁ - y₂(t)y'₁(t))

W(t) = det

e^λ₁t, t e^λ₁t sono L.I.

Δ < 0 ⇔ a² < 4q

C non ha soluzioni reali

MA 2 soluzioni complesse coniugate

λ₁ = α + iβ

λ₂ = α - iβ

v₁(t) = e^λt e^αt · e^iβt

v₂(t) = e^λt e^αt · e^-iβt

soluzioni COMPLESSE

e^iβt = cos(βt) + i sen(βt)

cos(βt) + i sen(βt)e^eiβt

FORMULE DI EULERO

sen(βt) = e^iβt - e^-iβt / 2i

(v₁ + v₂) / 2

= e^αt cos(βt)

sono soluzioni REALI

(v₁ - v₂) / 2i

= e^αt sen(βt)

W(t) = det

e^αt cos(βt)

e^αt sen(βt)

αe^αt cos(βt) - le^αt sen(βt)

αe^αt sen(βt) - βe^αt cos(βt)

= e^2αt (α cos(βt)

sen(βt) + β cos(βt)

- α sen(βt) cos(βt) + β sen²(βt))

= βe^2αt

≠ 0 perché λ₁, λ₂ ∈ C con Im(λ) ≠ 0

=> e^αt cos(βt), e^αt sen(βt)

soluzioni L.I.

Teorema

problema di Cauchy

• y'' + a₁y' + a₀y = f(t)
• y(t₀) = y₀
• y'(t₀) = y₁

ammette un'unica soluzione

• y₀ = y(t₀) = c₁v₁(t₀) + c₂v₂(t₀) + w(t₀)
• y₁ = y'(t₀) = c₁v₁'(t₀) + c₂v₂'(t₀) + w'(t₀)

L

• c₁v₁(t₀) + c₂v₂(t₀) = y₀ - w(t₀)
• c₁v₁'(t₀) + c₂v₂'(t₀) = y₁ - w'(t₀)

L₀

• v₁(t₀)    v₂(t₀)    |    c₁    |    = |    y₀ - w(t₀)
• v₁'(t₀)    v₂'(t₀)    |    c₂    |       |    y₁ - w'(t₀)

v₁ e v₂ sono L.I. W_v₁,v₂(t₀) ≠ 0

Quindi posso determinare le due costanti --> quindi il problema ha una soluzione