Equazioni differenziali 2, Ordine

Teorema: Sia A reale e simmetrica. Allora A è sempre diagonalizzabile con matrice di passaggio ortogonale, cioè: ∃ Λ diagonale, O ortogonale t.c. A=OΛO^T. In particolare A ammette una base ortonormale di autovettori.

Equazioni Lineari del II ordine

Partiamo da un esempio fisico: considero una molla

- - -◯←F

FE=-XK

x": derivata seconda (legge oraria)

F=ma ⇔ KX=ma

mx^'' + KX = 0

mx² + K = 0

λ = ± i √(K/m)

x(t) = A cos ( √(K/m) t ) + B sen ( √(K/m) t )

A, B numeri reali

Equaz. differenziale del II ordine: G(t, x, x¹, ..., x^(k)) = 0

Sia I⊂ℝ (intervallo) L'insieme di tutte le funzioni continue in I si indica con:

C^k(I)= {f: I→ℝ, f derivabile k volte con derivate continue}

Un'equazione differenziale del secondo ordine si dice lineare se è del tipo:

a₂(t)y^'' + a₁(t)y^' + a₀(t)y = g(t).

Ha cioè una formula risolutiva generale.

L(y) = a₂(t)y^'' + a₁(t)y^' + a₀(t)y

Se a₀, a₁, a₂ sono funzioni continue in I, allora L:C^k(I)→C^k(I), osservo una mapp. lineare da

prende C² e fa uscire una funzione continua, con

C²(I) e C(I) spazi vettoriali di funzione.

Fatto: L è lineare. L(λ₁y₁ + λ₂y₂) = λ₁L(y₁) + λ₂L(y₂)

es. equazione differenziale senza soluzioni:

y' = f(t) f(t) = {1 t>0 0 t<0

Se ∃F t.c. F'(t) = f(t) ∀t∈ℝ allora F'(t) = 1 ∀t>0

F(t) = t + C₁ ∀t>0

F'(t) = 0 ∀t<0

F(t) = C₂ ∀t<0

C₁ = C₂ perché continua

Teorema

(di esistenza e unicità per equazioni differenziali lineari del 2^o ordine):

Siano a(t) b(t) f(t) funzioni continue su I⊂ℝ intervallo. Allora

il problema di Cauchy,

(y" + a(t)y' + b(t)y = f(t) t∈IΩ

y(t₀) = y₀ t₀∈I ipotesi

y'(t₀) = y₁

ha una e una sola soluzione y∈C²(I).

(y" può avere coefficienti ma devono essere ≠ 0)

ciò implica det

∀t.

Anziologamenti per

Equazioni differenziali lineari omogenee del 2° ordine a coefficienti costanti:

1. ^y + ay' + by = 0 a, b ∈ ℝ cerco soluzioni del tipo: y(t) = e^λt è sol. ⇔ 0 = λ²e^λt + ae^λt + be^λt = e^λt [λ² + aλ + b] ≠ 0 Selego λ t.c. λ² + aλ + b = 0 (equ. caratteristica)

1. a² - 4b > 0 ⇒ λ = ^{-a ± √(a²-4b)} / ₂ y₁(t) = e^λ₁t y₂(t) = e^λ₂t sono soluzioni indipendenti ⇒ la sol. generale y(t) è data da: y(t) = c₁y₁(t) + c₂y₂(t) con c₁, c₂ ∈ ℝ
2. a² = 4b Sia b che: y(t) = e^{a/2 t} è soluzione Ae^{a/2 t} è soluzione ∀A. Cerco una seconda soluzione della forma A(t)e^{a/2 t}.

es. Oscillatore armonico smorzato:

y'' + ω²y = f(t)

Le soluzioni di y'' + ω²y = 0 si trovano osservando che Δ + ω² = 0 ⇔ λ = ± iω, le soluzioni sono

allora z₁(t) = cos(ωt), z₂(t) = sen(ωt)

C₁ cos(ωt) + C₂ sen(ωt) = 0

C₁(-ω sen(ωt)) + C₂(ω cos(ωt)) = f

C₂ = - C₁

-ωC₁sen(ωt) - C₁ cos(ωt) C₁(ω cos(ωt)) = f

dalla seconda ottengo:

-ωC₁ (sen²(ωt) + cos²(ωt)) = f

C₁ = - ^f/_ω sen(ωt)

C₂ = - ₁/_ω f cos(ωt)

⇒ C₁(t) = - ∫₀^t 1/_ω f(s) sen(ωs) ds

C₂(t) = ∫₀^t 1/_ω f(s) cos(ωs) ds

Esiste una soluzione ỳ dell'equazione compie dalla forma:

ỳ(t) = cos(ωt)∫₀^t -1/_ω f(s) sen(ωs) ds + sen(ωt)∫₀^t 1/_ω f(s) cos(ωs)