Appunti riassuntivi per Analisi 1

Analisi Matematica 1 per Ingegneria

OUSSAMA RYHANI

November 16, 2024

Contents

1 Introduzione 2

2 Funzioni 2

2.1 Definizione di Funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Tipi di Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Operazioni tra Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Limiti 2

3.1 Definizione di Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2 Proprietà dei Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Continuità 3

4.1 Definizione di Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.2 Teoremi sulla Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5 Derivata 3

5.1 Definizione di Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5.2 Interpretazione Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5.3 Regole di Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5.4 Derivate di Funzioni Elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6 Massimi e Minimi 4

6.1 Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.2 Derivata seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

6.3 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

7 Integrali 4

7.1 Integrale Indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

7.2 Integrale Definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

7.3 Teorema Fondamentale del Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

7.4 Tecniche di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

8 Serie 5

8.1 Serie Numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

8.2 Serie di Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1

9 Funzioni di più variabili 5

9.1 Definizione e dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

9.2 Derivate Parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

9.3 Gradiente e Massimi/Minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

10 Conclusioni 5

A Appendice 5

1 Introduzione

Il corso di Analisi Matematica 1 fornisce le basi teoriche e pratiche per la comprensione dei

concetti fondamentali dell’analisi. Gli argomenti trattati includono le funzioni, i limiti,

le derivate, gli integrali e le serie.

2 Funzioni

2.1 Definizione di Funzione

Una funzione f è una relazione che associa a ogni elemento x di un insieme D (dominio)

→

un elemento y di un insieme E (codominio), definita come f : D E.

2.2 Tipi di Funzioni

• Funzioni polinomiali

• Funzioni razionali

• Funzioni esponenziali

• Funzioni logaritmiche

• Funzioni trigonometriche e inverse

2.3 Operazioni tra Funzioni

• Somma, differenza, prodotto, quoziente

• ◦

Composizione di funzioni: (f g)(x) = f (g(x))

3 Limiti

3.1 Definizione di Limite

Sia f (x) una funzione definita in un intorno di a. Si dice che il limite di f (x) per x che

tende a a è L: lim f (x) = L

x→a 2

Se per ogni ϵ > 0 esiste un δ > 0 tale che:

|x − |f −

0 < a| < δ =⇒ (x) L| < ϵ

3.2 Proprietà dei Limiti

• Limiti di somma, differenza, prodotto e quoziente.

• sin x = 1.

Limiti notevoli, come il limite del rapporto, lim

x→0 x

4 Continuità

4.1 Definizione di Continuità

Una funzione f (x) è continua in a se:

• f (a) è definita

• lim f (x) esiste

x→a

• lim f (x) = f (a)

x→a

4.2 Teoremi sulla Continuità

• Teorema di Bolzano

• Teorema di Weierstrass

5 Derivata

5.1 Definizione di Derivata

La derivata di f in x è definita come: −

f (x + h) f (x)

′

f (x) = lim h

h→0

5.2 Interpretazione Geometrica

La derivata rappresenta la pendenza della tangente al grafico della funzione in un punto.

5.3 Regole di Derivazione

• Regola del prodotto

• Regola del quoziente

• Regola della derivazione della composizione (regola della catena)

3