Analisi dei Dati 1/2 - Appunti essenziali

Operazioni sugli eventi

Complementazione

Si verifica E^c <=> non si verifica E

Unione

Si verifica B U F <=> si verifica almeno uno degli eventi. Possono anche verificarsi entrambi.

Intersezione

Si verifica B n F <=> si verificano entrambi.

Nota: Se B n F = Ø si dicono disgiunti, mutuamente esclusivi o incompatibili.

Differenza

Si verifica B \ F <=> si verifica B ma non F; solo B.

Differenza simmetrica

Si verifica B Δ F <=> si verifica esattamente uno tra i due eventi B e F

Si possono anche esprimere come:

• B \ F := B ∩ F^c
• B Δ F := (B ∩ F^c) ∪ (B^c ∩ F)

Calcolo combinatorio

I problemi di conteggio sono difficilmente categorizzabili in tipologie standard, perciò ognuno di essi va trattato con la sua peculiarità. Un problema di campionamento si modella con un'urna contenente delle palline e sulla quale vengono effettuate delle estrazioni.

Disposizioni

Se si tiene conto dell'ordine di estrazione, 1,2 e 2,1 sono due disposizioni diverse.

Combinazioni

Se non si tiene conto dell'ordine di estrazione, 1,2 e 2,1 sono la stessa combinazione.

Disposizioni senza ripetizioni

Le disposizioni di n oggetti distinti, presi k alla volta si contano come D_n,k = n(n-1)...(n-k+1).

Per k = n → D_n,n = n!

Disposizioni con ripetizioni

Se nella k-pla sono permesse ripetizioni, le disposizioni con ripetizioni, di n oggetti, presi r alla volta si contano come n^r.

Combinazioni

(Si usano nei casi senza reinserimento) Le combinazioni di n oggetti, presi a gruppi di k elementi si contano come C_n,k = ^D_n,k/_K! := (ⁿ/_k).

Analogie tra campionamento e allocazione

Ordine di estrazione

• Rilevante
• Non rilevante

Gettoni

• Distinguibili
• Identici

Probabilità condizionata

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Probabilità totale

P(E) = ∑_k=1ⁿ P(E_k) P(E|F_k) dove {E_k}_k=1ⁿ è partizione di Ω

Formula di Bayes

P(F_k|E) = P(B ∩ F_k) / P(B) = P(B|F_k) P(F_k) / ∑_i=2ⁿ P(B|F_i) P(F_i)

P(A ∪ B|C) = P(A|C) + P(B|C) - P(A ∩ B | C)

Modello binomiale per eventi

È il modello probabilistico che corrisponde al paradigma degli n lanci di una moneta con P(T) = p.

Ogni volta che un contesto sperimentale prevede:

• Un certo numero n ≥ 1 di prove identiche effettuate in sequenza
• Che i possibili esiti di ogni prova sono due
• Che per ogni t = 1, ..., n il risultato della t-esima prova non influenza il risultato di nessun'altra prova

È possibile definire una misura di probabilità come P(E) = ∑_K=0^M (^M_K) p^K (1-p)^M-K con p = probabilità, K = numero di elementi/fattori che verificano l'evento.

Variabili aleatorie discrete

Estrarre informazione numerica dagli esiti w ∈ Ω equivale a costruire funzioni: X: Ω → ℝ

Definizione (Variabile aleatoria discreta)

Sia (Ω, P(Ω), P) uno spazio di probabilità discreto. Una mappa X: Ω → ℝ è detta variabile aleatoria discreta.

La mappa è detta variabile aleatoria [X]

La variabile indipendente è detta [ω]

L'immagine di X è detto alfabeto della v.a. X [X]

X = X(Ω) = {x ∈ ℝ | X(w) = x} per qualche w ∈ Ω

Descrizione probabilistica

Densità discreta di probabilità

Definizione: Data la v.a. discreta X: Ω → X, la sequenza p_X: X → [0,1], X_n ↦ p_X(x_n) := P({X = x_n}) è detta densità di probabilità di X.

Funzione di distribuzione

Definizione: La FdD della variabile aleatoria discreta X: Ω → ℝ è la funzione F_X: ℝ → ℝ, x ↦ F_X(x) := P(X_{≤ x})

Parametri riassuntivi del comportamento probabilistico di una V.A.

Varianza

Definizione: var(X) := ∑_K (X_k - Ε(X))²p_X(x_k) = Ε( X²) - [Ε(X)]² indica la dispersione della variabile aleatoria rispetto al suo valore medio.

Valore atteso

Definizione: Ε(x) := ∑_xk∈Χ X_k ⋅ p_X(x_k)

Momenti

Definizione: μ_n := Ε[(X - Ε(X))ⁿ] = ∑ (x_i - Ε(X))ⁿ ⋅ p_X(x_i) m_n := Ε( Xⁿ) = ∑_xi X_iⁿ ⋅ p_X(x_i)

Proprietà della funzione di distribuzione

• F_X(-∞) = 0
• F_X(+∞) = 1
• F_X è non decrescente
• P(a < X ≤ b) = F_(b) - F_(a)
• P(a ≤ X ≤ b) = F_(b) - F_(a) + P(X = a)

Proprietà del valore atteso

• Linearità:
• Omogeneità: ∀α∈ℝ E(αX) = αE(X)
• Additività: Se X e Y sono definite sullo stesso Ω allora E(X+Y) = E(X) + E(Y)
• Positività: E(X) > 0
• Monotonia: Se X ≤ Y ⇒ E(X) ≤ E(Y)
• Limiti inf e sup: inf{X_k} ≤ E(X) ≤ sup{X_k}

Covarianza

var (X + Y) = E ((X + Y - E(X + Y))²) = E ((X - E(X)) + (Y - E(Y)))²) = var (X) + var (Y) + 2 E ((X - E(X))(Y - E(Y))) = var (X) + var (Y) + 2 cov (X, Y)

Quindi cov (X, Y) := E ((X - E(X))(Y - E(Y)))

Proprietà della covarianza

• cov (X, Y) = var (X)
• cov (X, Y) = ... = E (X Y) - E (X) E (Y)
• cov (X, Y) ∈ R
• se cov (X, Y) = 0 => X e Y si dicono scorrelate

Densità discreta congiunta

Proprietà

• Positività: P_X,Y(x_i,y_j) ≥ 0   ∀x_i∈X, ∀y_j∈Y
• Normalizzazione:   ∑_X  ∑_Y  P_X,Y (x_i,y_j) = 1

Formule di marginalizzazione

• P_X(x_i) = ∑_Y P_X,Y (x_i,y_j)
• P_Y(y_j) = ∑_X P_X,Y (x_i,y_j)

Valore atteso di funzioni scalari di un vettore aleatorio

Data g(x,y) : ℝ² → ℝ

ℰ(g(x,y)) = ∑_xi∈X  ∑_yj∈Y  g(x_i,y_j) · P(x_i,y_j)

• Prendo la coppia di valori e calcolo l'immagine g(x_i,y_j)
• Probabilità congiunta della coppia (x_i,y_j)

Variabili ad alfabeto finito