Analisi dei Dati 1/2 - Appunti essenziali

OPERAZIONI SUGLI EVENTI

• COMPLEMENTAZIONE
• UNIONE
• INTERSEZIONE
• DIFFERENZA
• DIFF. SIMMETRICA

Complementazione

Si verifica Ē <=> non si verifica E

Unione

Si verifica E⋃F <=> si verifica almeno uno degli eventi. Possono anche verificarsi entrambi

Intersezione

Si verifica Ē ƒ <=> si verificano entrambi.

NOTA: Se Ē ƒ = ∅ si dicono disgiunti, mutuamente esclusivi o incompatibili

Differenza

Si verifica B\F ↔ si verifica B ma non F, solo B.

Differenza simmetrica

Si verifica BΔF ↔ si verifica esattamente uno tra i due eventi B ed F.

Si possono anche esprimere come

B\F := B ∩ F^c

BΔF := (B ∩ F^c) ∪ (B^c ∩ F)

VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

Estrarre informazione numerica dagli esiti ω∈Ω equivale a costruire funzioni: X:Ω→ℝ

Definizione (variabile aleatoria discreta)

Sia (Ω, P(Ω), P) uno spazio di probabilità discreto. Una mappa X:Ω→ℝ

è detta variabile aleatoria discreta.

• La mappa è detta variabile aleatoria [X]
• La variabile indipendente è detta [ω]
• L'immagine di X è detta alfabeto della v.a. X [X]

X = X(Ω) = {x∈ℝ | X(ω) = x} per qualche ω∈Ω

Densità discreta congiunta

Proprietà

• positività \(P_{XY}(x_j, y_j) \geq 0 \quad \forall x_j \in X, y_j \in Y\)
• normalizzazione \(\sum_{x_i \in X} \sum_{y_j \in Y} P_{XY}(x_i, y_j) = 1\)

Formule di marginalizzazione

\(P_X(x_i) = \sum_{y_j} P_{XY}(x_i, y_j)\)

\(P_Y(y_j) = \sum_{x_i} P_{XY}(x_i, y_j)\)

Valore atteso di f. scalari di un vettore aleatorio

Data \(g(X, Y) : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)

\(\mathbb{E}(g(x, y)) = \sum_{x_i \in X} \sum_{y_j \in Y} g(x_i, y_j) \cdot P(x_i, y_j)\)

prendo la coppia di valori e calcolo l'immagine \(g(x_i, y_j)\)

probabilità congiunta delle coppie \((x_i, y_j)\)

Proprietà della densità (nel caso di v.a. assol. continue)

• Normalizzazione:
  1. _∫-∞^+∞ f_X(x) dx ^{= 1}
• Continuità della F_X(x):
  1. P(x = X) = F_X(x) - F_X(x^-) = 0 ∀ x ∈ ℝ
• Probabilità degli intervalli:
  1. P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b)
  2. = P(a < X ≤ b)
  3. = ∫_a^b f_X(x) dx
• Legame tra densità e F_X:
  1. f_X(x) =
     • 1 / F_X(x) dove F_X è continua
     • arbitraria altrove