Appunti riassuntivi di Analisi 2

SERIE DI FUNZIONI

Introduzione alle serie di funzioni

def: Dati un intervallo e delle funzioni , con , si dice

⊆ ℜ : → ℜ ( = 1, 2, 3...)

SERIE DI FUNZIONI DI TERMINE GENERALE la successione delle

()

somme parziali:

() = (), () = () + (), ..., () = ∑ (), ...

0 0 1 0 1

=0

Tale serie si dice che CONVERGE PUNTUALMENTE (o semplicemente) in

se la serie numerica di termine generale converge, cioè se esiste

∈ ()

finito il limite:

lim () = lim ∑ ()

→ →

+∞ +∞ =0

Si chiama insieme di convergenza puntuale (o semplice) , l’insieme

⊆

dei punti in cui la serie converge puntualmente

risulta definita una nuova funzione detta SOMMA DELLA SERIE:

∀ ∈ +∞

() = ∑ (), ( ∈ )

=0

è definita da () = lim ()

→

+∞

Si dice che la serie di termini generale CONVERGE

(), ∈

ASSOLUTAMENTE in se converge la serie numerica di termini

∈

generale .

| ()|

NB: La convergenza assoluta implica quella semplice!

def: La serie di termine generale , CONVERGE TOTALMENTE

(), ∈

nell’intervallo se esiste una successione numerica tc:

⊆ ⊆ (≥ 0)

1) si ha | ()| ≤ ∀ ∈ , ∀ = 1, 2, 3...

+∞

2) , cioè la serie numerica di termine generale è

∑ <+ ∞

=0

convergente.

NB: La convergenza totale implica quella assoluta e quindi anche quella semplice!

TEOREMA: continuità della somma

Sia un intervallo e .

⊆ ℜ : → ℜ, ∈ ℵ

Se:

1) Le funzioni sono continue in

∀

2) La serie di termine generale converge totalmente in .

+∞

Allora la funzione somma è continua.

() = ∑ ()

=0

TEOREMA: integrabilità termine a termine

Sia un intervallo e .

⊆ ℜ : → ℜ, ∈ ℵ

Se:

1) Le funzioni sono continue in

∀

2) La serie di termine generale converge totalmente in .

Scelto un qualsiasi intervallo chiuso e limitato si ha

[; ] ⊆

+∞ +∞

∫ () = ∫( ∑ ()) = ∑ (

∫ () )

=0 =0

dim: Dal Teorema di continuità della somma sappiamo che la funzione è continua

e di conseguenza integrabile.

Dobbiamo dimostrare:

+∞ +∞

∫( ∑ ()) = ∑ (

∫ () )

=0 =0

+∞ +∞

cioè: ∫( ∑ ()) − ∑ (

∫ () ) = 0

=0 =0

In particolare possiamo riscrivere la seconda sommatoria così:

+∞

∑ (

∫ () ) = lim ∑ (

∫ () )

→

+∞

=0 =0

Quindi sostituiamo nell’equazione iniziale:

+∞

∫( ∑ ()) − lim ∑ (

∫ () ) = 0

→

+∞

=0 =0

Dato che la prima sommatoria non dipende da :

+∞

lim [ ∫( ∑ ()) − ∑ (

∫ () ) ] = 0

→

+∞ =0 =0

In particolare la seconda sommatoria è una somma finita quindi è possibile

portarla all’interno del simbolo di integrale:

+∞

lim [ ∫( ∑ ()) − ∫ ∑ () ) ] = 0

→

+∞ =0 =0

+∞

⇒ lim [ ∫( ∑ () − ∑ () ) ] = 0

→

+∞ =0 =0

+∞

⇒ lim [ ∫( ∑ () )] = 0

→

+∞ =+1

Dimostrare la veridicità di tale equazione equivale a dimostrare la

convergenza della serie.

Le ipotesi della convergenza totale sono:

1) | ()| ≤ ∀

+∞

2) ∑ <+ ∞

Perciò, dalla prima:

+∞ +∞

∫( ∑ | () | ) ≤ ∫( ∑ )

=+1 =+1

In particolare sappiamo:

+∞ +∞

∫( ∑ | () | ) ≥ | ∫( ∑ () ) |

=+1 =+1

Quindi:

+∞ +∞

| ∫( ∑ () ) | ≤ ∫( ∑ )

=+1 =+1

Inoltre:

+∞ +∞ +∞

∫( ∑ ) = ∑ ∫ = ∑ ( − )

=+1 =+1 =+1

Studiamo la seconda ipotesi:

+∞ perché coda di una serie convergente.

lim [( − ) ∑ ] = 0 ⋄

→

+∞ =+1

TEOREMA: derivabilità termine a termine

Sia un intervallo e .

⊆ ℜ : → ℜ, ∈ ℵ

Se:

1) Le funzioni sono derivabili in

∀

2) La serie di termine generale converge totalmente in .

3) La serie di termine generale converge totalmente in .

'

+∞

Allora la funzione somma è derivabile e inoltre

() = ∑ ()

=0

+∞ +∞

'() = [ ∑ ()]' = ∑ ()'

=0 =0

Serie di potenze

def: Una SERIE DI POTENZE REALI è una serie di funzioni della forma:

+∞ 2

∑ ( − ) = + ( − ) + ( − ) +... + ( − ) +...

0 0 1 0 2 0 0

=0

con : coefficienti della serie

∈ ℜ

: centro della serie

∈ ℜ

0

Convenzione: 0

se e , definiamo allora la serie diventa:

= = 0 ( − ) = 1

0 0

+∞

∑ ( − ) = · 1 + · 0 + · 0 +... + · 0 +... =

0 0 1 2 0

=0

Dunque tutte le serie geometriche convergono almeno nel loro centro.

TEOREMA: raggio di convergenza di una serie di potenza reale

+∞

Data una serie di potenze reali , il raggio di convergenza

∑ ( − )

0

=0

può essere:

1) : la serie converge solo per

= 0 = 0

2) : la serie converge assolutamente in tutto

= ∞ ℜ

3) :

∈ (0; + ∞)

○ la serie converge assolutamente

∀ ∈ ( − ; + ) ⇔ | − | <

0 0 0

○ la serie non converge per | − | >

0

Nota: nel terzo caso è bene studiare la convergenza agli estremi.

dim: +∞

hp 1: la serie converge in :

∑ ( − ) <+ ∞

0

=0

hp2: | − | < | − |

0 0 +∞

ts: la serie converge assolutamente in :

∑ ( − ) <+ ∞

0

=0

Dalla prima ipotesi è possibile dedurre: perchè termine

lim [ ( − ) ] = 0

0

→

+∞

generale di una serie convergente

Quindi per sufficientemente grande:

| ( − ) | ≤ 1

0

Stimo ora il valore di :

| ( − ) |

0 (− ) (− )

0 0

| ( − ) | = | ( − ) · | = | ( − ) | · | |

(− ) (− )

0 0 0

0 0

Sapendo che deduco che

| ( − ) | ≤ 1

0 (− ) (− )

0 0

| ( − ) | · | | ≤ | |

(− ) (− )

0 0 0

Perciò, preso un grande:

+∞ +∞

(− ) (− )

0 0

| ( − ) | ≤ | | ⇒ ∑ | ( − ) | ≤ ∑ | |

(− ) (− )

0 0

0 0

=0 =0

+∞ (− )

Ora è sufficiente dimostrare che converge.

0

∑ | |

(− )

0

=0

+∞ (− )

Data la seconda ipotesi è la serie geometrica con quindi è

0

∑ | | ∈ (0, 1)

(− )

0

=0

convergente. +∞

Per il teorema del confronto anche converge.

∑ | ( − ) | ⋄

0

=0

TEOREMA: calcolo del raggio di convergenza per una serie di potenze reali

+∞

Data una serie di potenze reali , è possibile calcolare il raggio

∑ ( − )

0

=0

di convergenza tramite due formule:

1)

= lim | |

→ +1

+∞ 1

2) = lim | |

→

+∞

TEOREMA: convergenza totale per serie di potenze reali

+∞

Data una serie di potenze reali , avente raggio di convergenza

∑ ( − )

0

=0

, allora:

0 < ≤ + ∞

1) se la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e

= + ∞

limitato [; ]

2) se , la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e

<+