Appunti Meccanica razionale, appunti dinamica 2

B C MA

ha per soluzione tutti i vettori con v = 0, che sono un sottospazio

@ A =

v 3

MG =

R 6

di di dimensione 3). Le soluzioni del sistema dinamico sono ovviamente

tutti e soli i moti per inerzia, ovvero

x(t) = x + v t, v(t) = v ,

0 0 0

dove v e x sono le condizioni iniziali, che sono soluzioni di tipo polinomiale.

0 0

get

:

I punti di equilibrio sono tutti i punti dello spazio delle fasi con v = 0 (che

ovviamente corrispondono al punto materiale che si trova in una posizione

qualunque con velocità nulla. Tali equilibri sono però instabili perchè una

piccola perturbazione della velocità porta il sistema su una traiettoria con

6

v = 0 e dunque si allontana indefinitamente dalla posizione iniziale (vedi

0

figura) I

0.8

0.6 T

0.4 -

0.2

v 0 I

-0.2 I

-0.4 I

-0.6 I

-0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

7

Tornando al caso non diagonalizzabile in generale, poiché q 1, le

soluzioni del tipo (22) tendono all’infinito anche se la parte reale di è

uguale a zero (come nell’esempio appena visto). Ai fini della discussione

sulla stabilità, questa è l’unica importante di↵erenza col caso diagonalizz-

abile

In conclusione, mettendo insieme quanto visto nei due casi (diagonalizz-

abile e non,) possiamo caratterizzare completamente la stabilità dei sistemi

dinamici lineari:

1. l’equilibrio di un sistema dinamico lineare è stabile se e solo se ogni

autovalore ha parte reale negativa o nulla e ogni autovalore con parte

reale nulla ha MG = MA;

2. l’equilibrio di un sistema dinamico lineare è asintoticamente stabile se

e solo se ogni autovalore ha parte reale strettamente negativa.

8

4.2 Stabilità dei sistemi non lineari

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che dei sistemi autonomi lineari sap-

piamo praticamente tutto: possiamo (almeno in linea di principio) scriverne

la soluzione generale e caratterizzarne completamente l’equilibrio. Le cose

cambiano completamente quando si passa a considerare i sistemi dinamici

generali: intanto, sono pochi gli esempi in cui si riesce a trovare la soluzione

in forma esplicita e, inoltre, si presenta una vastissima gamma di compor-

tamenti che i sistemi lineari non hanno (si pensi ad esempio al ciclo limite

dell’oscillatore di Van der Pol), fino ad arrivare ai comportamenti caotici.

Restringendo la nostra discussione alle questioni relative all’equilibrio, la

prima di↵erenza fondamentale che riscontriamo è che, in generale, questo

diventa un fatto locale. Infatti, come abbiamo visto, un sistema lineare

R N

possiede un unico punto di equilibrio (l’origine di ) oppure i punti di

R N

equilibrio formano un sottospazio di e inoltre, fuori dai punti di equi-

librio, le traiettorie hanno un comportamento “globale”, determinato dalla

sovrapposizione dei vari modi. Ad esempio: se l’equilibrio è asintoticamente

R N

stabile, in qualunque punto di ci si trovi, la traiettoria che passa per quel

punto sarà attratta verso l’origine.

Nei sistemi non lineari non è cosı̀: intanto l’insieme dei punti di equilibrio

R N

può essere un sottoinsieme generico di e inoltre la stabilità è (in generale)

un fatto da verificare localmente (e questo è infatti il senso delle definizioni 1

e 2): può accadere ad esempio che un punto asintoticamente stabile attragga

le traiettorie che si originano in un suo intorno mentre le traiettorie più

lontane possano invece allontanarsene, e magari ad essere attratte da un

9

altro punto di equilibrio.

La località dell’equilibrio ci suggerisce però anche una possibile strate-

gia per studiarne la stabilità. Difatti, sappiamo che ogni funzione suffi-

cientemente regolare può essere approssimata localmente con una funzione

lineare (sviluppo di Taylor al primo ordine) e, dunque, possiamo ragionevol-

mente sperare che le proprietà di stabilità di un dato punto di equilibrio

possano essere determinante dall’approssimazione lineare del campo vetto-

riale nell’intorno di tale punto (alla quale approssimazione lineare possiamo

applicare i criteri visti nel paragrafo precedente). È l’idea che sta alla base

del criterio di stabilità linearizzata, che andiamo adesso a studiare in mag-

gior dettaglio. R R

N N

!

Sia f : ⌦ un campo vettoriale definito in un aperto ⌦ di e

1 e 2

ivi sufficientemente regolare (p. es. di classe C ). Sia u ⌦ un punto di

e

equilibrio del sistema dinamico autonomo(2) (e dunque tale che f (u ) = 0).

e

Lo sviluppo di Taylor al primo ordine di f in u ha la forma

I(art)

=(t) = e e e |),

f (u) = J(u )(u u ) + o(|u u - = 0

e

fin =

e flue mih

dove J(u ) è la matrice Jacobiana di f , ...

0 1

@f @f @f fine)

···

1 1 1 -wi

B C (

@u @u @u + ;

1 2 N

B C 10M j

j

B C =

B C

@f @f @f

···

2 2 2

B C

@u @u @u

J = B C

1 2 N wel)

o((z

+

B C

.. .. .. -

..

B C

.

. . .

B C

@ A

@f @f @f

···

N N N

@u @u @u

1 2 N

e

calcolata in u . Notiamo che, ovviamente, il termine di ordine zero non è pre-

e

sente nello sviluppo di Taylor perché f (u ) = 0. Nell’intorno dell’equilibrio

10

sostituiamo quindi il sistema dinamico(2) con la sua approssimazione lineare

e e

u̇(t) = J(u )(u(t) u ).

Utilizzando la variabile di spostamento dall’equilibrio (o di “perturbazione”)

e

h(t) = u(t) u , riscriviamo infine questa approssimazione lineare come

I(t) a)

= - i

e

ḣ(t) = J(u )h(t), (23)

Ak

= e

che è un sistema dinamico autonomo lineare della forma (16), con A = J(u ).

L’idea è che le proprietà di stabilità del sistema lineare (23) si riflettano

in quelle del sistema originale nell’intorno del punto di equilibrio. Questo

risulta in parte vero ma con importanti restrizioni. In particolare, risulta

che i modi esponenziali (crescenti o decrescenti) sono “robusti”, nel senso

che “sopravvivono” passando dal sistema approssimato a quello originale

nonlineare. Invece i modi con parte reale nulla sono troppo sensibili al

comportamento dell’ordine di approssimazione successivo (quello trascurato

nell’approssimazione lineare) per cui non ci permettono di dire niente di

certo sul sistema originale. In termini più precisi, quello che si può di-

mostrare è il seguente criterio. e

Criterio di stabilità linearizzata. Sia u un punto di equilibrio per il

sistema(2) e sia J(u) la matrice Jacobiana del campo vettoriale f . Allora:

e e

• se ogni autovalore di J(u ) ha parte reale negativa, u è asintotica-

mente stabile; e e

• se esiste almeno un autovalore di J(u ) con parte reale positiva, u è

instabile. 11 e

Quando c’è anche un solo autovalore di J(u ) con parte reale nulla, non

e la che qualche

possiamo concludere niente sulla stabilità di u . autovalor

meno Re-0)

abbia

Applichiamo ad esempio questo criterio all’equazione logistica. Il campo

2

A

è f (n) = f (n) = kn hn e la matrice Jacobiana (in questo caso uno scalare)

·

è la derivata di f : 0

J(n) = f (n) = k 2hn.

In corrispondenza del punto di equilibrio n = 0 otteniamo J(0) = k > 0, e la

stabilità linearizzata ci permette di concludere che tale equilibrio è instabile;

in corrispondenza del punto di equilibrio n = L = k/h si ha J(L) = k < 0,

e la stabilità linearizzata ci permette di concludere che tale equilibrio è

stabile.

Se consideriamo l’oscillatore di Van der Pol, la matrice Jacobiana è

f v)

(x 0 1

v

=

,

, 0 1

B C

J(x, v) = ,

@ A

f2v) 2

M4

= x x

- - 2

2µxv 1 µ(1 x )

che nel punto di equilibrio ci dà 0 1

0 1

B C

J(0, 0) = .

@ A

1 µ

p

1 2

±

Questa matrice ha autovalori µ µ 4 e pertanto, per qualunque

2

valore di µ 0, gli autovalori hanno parte reale positiva e l’equilibrio è

instabile.

Nel caso del sistema preda-predatore si ha

0 1

fex pxx

4x

y) -

= k pY pX

, B C

J(X, Y ) = .

@ A

f2x eY m + eX

y my exx

- +

=

, 12

Nel punto di equilibrio (0, 0) otteniamo

0 1

k 0

B C

J(0, 0) = @ A

0 m

e dunque i due autovalori sono k e m; per la stabilità linearizzata si ha che

tale punto è instabile. Nel punto di equilibrio (m/e, k/p) si ha

0 1

pm

0

B C

e

J(m/e, k/p) = ,

@ A

ek 0

p

p

±i

i cui autovalori sono km. Il sistema linearizzato nell’intorno di (m/e, k/p)

ha dunque un modo oscillante ed è stabile. Tuttavia il criterio di stabilità

linearizzata non ci permette di concludere niente sul sistema nonlineare: in

linea di principio il modo oscillante potrebbe essere “distrutto” dai termini

di Taylor trascurati. Eppure il punto di equilibrio è chiaramente stabile,

come abbiamo visto dall’analisi qualitativa delle traiettorie, solo che la sta-

bilità linearizzata non ci permette di dimostrarlo. Si deve dunque ricorrere

ad altre strategie, come ad esempio al seguente criterio, che enunciamo senza

dimostrazione. e

Criterio di Ljapunov. Sia u un punto di equilibrio per il sistema(2). Se

R, e

U ! U

esiste una funzione ⇤ : definita un intorno di u e sufficiente-

mente regolare, tale che: ur)

M /e , ....

e

• ⇤ ha un minimo isolato in u ;

• r⇤(u) ·  2 U;

f (u) 0 per ogni u

e

allora u è stabile. 13

DIMOSTRAZIONE

Possiamo M(e)

che = 0

supporte

sempre

M/k)

perché FOv pecemple considerare

se () 1/2)-1/ne1 che

la funzione = ,

di)

ha lecter proprieta' .

Wen diee

Sin intomo

qualunque

WILL

L'intersezione intorno

ancoza un in

B

I se

di ne concentro

fera

= ema

With

contenuta

e in di

intorno

~definizione

intorno di

L

qualunque

I z e

ters

-

ie

· B .

14

Sic min

=

M dB

nc stencel

valone sul bondo della

1

di

minimo fuori

Chiaramente se

penche da

100

Mo ,

Sia M (2)

max/V

= eB

*

talone BI

del quadiente

del modulo

manimo in

Sia affinché

grande

sufficientemente

n

la sterm =i)

(a)(k

=

B 1

+ =

x

-

contenenta

sic B

in

Be Nu

· ·

·

se