Meccanica razionale, appunti dinamica 1

S

ovvero, il punto materiale deve avere velocità nulla e trovarsi in un punto

e e e e

x , = (x , x , x ) in cui la forza risultante si annulla. Di questo caso par-

1 2 3

leremo di↵usamente più avanti.

I punti di equilibrio sono classificati in base alla loro stabilità. Si tratta di

un argomento molto importante, prima di a↵rontare il quale, però, vediamo

qualche esempio di sistema dinamico.

7

3.1 Esempio 1: l’equazione logistica

Indichiamo con n(t) il numero di individui di una certa popolazione biologica

all’istante t. Il più semplice modello matematico per l’evoluzione nel tempo

della popolazione è l’equazione (detta anche di Malthus)

ṅ(t) = k n(t) µ n(t), (4)

dove k 0 è il tasso di crescita e µ 0 è il tasso di mortalità. Si tratta

di una semplice equazione di↵erenziale lineare del prim’ordine a coefficienti

costanti, che ovviamente si può scrivere anche

ṅ(t) = (k µ)n(t),

e che ha come soluzioni (k µ)t

n(t) = e n , (5)

0

dove n è il numero di individui all’istante iniziale t = 0 (l’equazione è au-

0

tonoma e quindi si può sempre scegliere 0 come tempo iniziale senza perdere

di generalità). Se k > µ la popolazione ha una crescita esponenziale, se k < µ

la popolazione si estingue esponenzialmente, se k = µ la popolazione resta

costante.

Il modello di Malthus non tiene conto della limitatezza delle risorse: in

certe situazioni è ragionevole pensare che il tasso di mortalità sia dovuto alla

sottrazione delle risorse da parte degli individui della stessa specie e che tale

sottrazione sia proporzionale al numero degli individui. Perciò si sostituisce

alla costante µ un fattore hn(t). Si ottiene cosı̀ l’equazione logistica, o di

Verhulst: 2

ṅ(t) = k n(t) h n (t). (6)

8

È tale equazione che prenderemo come primo esempio di sistema dinamico

(anche se ovviamente anche l’equazione di Malthus lo è). Si tratta di un sis-

tema dinamico con un’unica variabile di stato, n, e che quindi ha uno spazio

delle fasi unidimensionale (N = 1). Trattandosi del numero di individui ha

senso limitarsi a considerare n 0. Il campo vettoriale è

2

f (n) = k n h n .

(notiamo quindi che il sistema è autonomo). Anche se in questo caso unidi-

mensionale il campo vettoriale è in realtà uno scalare, è utile rappresentarlo

con delle frecce sulla retta che rappresenta lo spazio delle fasi. Tali frecce ci

dicono in che direzione tale retta è percorsa dalla soluzione e con che velocità

(si veda la figura dove sono tracciate alcune soluzioni n(t) e rappresentati

alcuni vettori del campo vettoriale).

1

0.9

0.8

0.7

0.6

n 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0 2 4 6 8 10 12

t

2

Risolvendo l’equazione kn hn = 0 otteniamo che ci sono due punti di

9

Gr

-h)

wix =

= 0

equilibrio: n =0 e n = k/h

(osservando la figura si intuisce facilmente che n = 0 risulterà un equilibrio

instabile, mentre n = k/h risulterà stabile, cosa che preciseremo in seguito).

La rappresentazione del campo vettoriale e dei punti di equilibrio ci

fornisce una rappresentazione qualitativa della dinamica del sistema. Nella

maggior parte dei casi è l’unica informazione che riusciamo a ricavare (soluzione

numerica a parte) perché in generale le equazioni di↵erenziali non si riescono

a risolvere esplicitamente. In questo caso, però, possiamo trovare la soluzione

esplicita. Si tratta infatti di una equazione del primo ordine a variabili se-

parabili. Scrivendo 2

kn(t) hn (t) = h L n(t) n(t)

2

(con L = k/h), dividendo la (6) per kn(t) hn (t) e integrando entrambi i

membri fra 0 e t, otteniamo

Z Z

t t

ṅ(s) ds = h ds

L n(s) n(s)

0 0

e, con il cambio di variabile n(s) = y nel primo integrale,

Z n(t) 1 dy = ht (7)

(L y)y

n 0

(dove n = n(0) è la popolazione all’istante iniziale). Quest’ultimo integrale

0

si può risolvere col metodo “dei fratti semplici” scrivendo la primitiva come

✓ ◆

Z Z Z Z

1 1 1 1 dy 1 dy

dy = + dy = +

(L y)y L(L y) Ly L (L y) L y

✓ ◆

1 1 1 y

= log(|L y|) + log(|y|) = log .

L L L L y

10

Quindi, dalla (7) si ottiene

✓ ◆ ✓ ◆

n(t) n 0

log log = Lht = kt.

L n(t) L n 0

Posto n 0 = a,

L n 0

riscriviamo la precedente uguaglianza come

✓ ◆

n(t)

log = kt + log(a)

L n(t)

e risolviamola rispetto a n(t). A questo scopo osserviamo che, se n < L

0

(ovvero la popolazione iniziale è inferiore alla popolazione di equilibrio L =

k/h), allora si avrà che n(t) < L per ogni t, in quanto la traiettoria di

equilibrio n(t) = L non può essere attraversata da altre traiettorie. Per

lo stesso motivo, se n > L (ovvero la popolazione iniziale è superiore alla

0

popolazione di equilibrio), allora n(t) > L per ogni t. Nel primo caso,

potremo scrivere ✓ ◆

n(t)

log = kt + log(a)

L n(t)

e dunque (risolvendo rispetto a n(t)) kt

Lae

n(t) = . (8)

kt

ae + 1

Nel secondo caso, potremo scrivere

✓ ◆

n(t)

log = kt + log(a)

n(t) L

e dunque (risolvendo rispetto a n(t)) kt

Lae

n(t) = . (9)

kt

ae 1

11

Osserviamo che in entrambi i casi, la soluzione n(t) tende al valore L di

!

equilibrio della popolazione per t +1 (da sotto, nel primo caso e da

sopra nel secondo caso), il che ci conferma la stabilità di tale equilibrio

(si veda la figura). Anzi, poiché la popolazione si avvicinerà sempre di più

all’equilibrio, indipendentemente dal suo valore iniziale (salvo il caso n = 0,

0

che naturalmente fa rimanere il sistema sull’equilibrio instabile n(t) = 0), si

dice in questo caso che L è un equilibrio asintoticamente stabile, o che L è

un attrattore. ! !

Un’ultima osservazione: per h molto piccolo, quindi h 0, si avrà L kt

! !

+1, ma anche a 0 e La n , per cui la soluzione tende a n(t) = n e ,

0 0

ritrovando cosı̀ la crescita esponenziale Malthusiana come caso limite.

12

3.2 Esempio 2: il modello preda-predatore

Consideriamo adesso due popolazioni, una di “prede”, la cui numerosità * = D

all’istante t denotiamo con X(t), e una di “predatori”, la cui numerosità 2

+ 0

all’istante t denotiamo con Y (t). Il più semplice modello che descrive la di-

namica di X(t) e Y (t) è il cosiddetto modello preda-predatore (o di Volterra-

moitalital

Lotka): come e m a

8 - pY

u =

>

>

< Ẋ(t) = kX(t) pX(t)Y (t), (10)

>

>

: Ẏ (t) = mY (t) + eX(t)Y (t).

Il primo termine della prima equazione, kX(t), descrive la crescita della

popolazione di prede in assenza di predatori: si tratta di una crescita Malthu-

siana con tasso di crescita k 0. Il secondo termine, pX(t)Y (t) descrive

la mortalità delle prede a causa della predazione: è ragionevole supporre

che il relativo tasso di mortalità sia proporzionale al numero di predatori

tramite una costante p 0, detta “tasso di predazione”. Il primo termine

della seconda equazione, mY (t), descrive la decrescita della popolazione

di predatori in assenza di prede: si suppone che in tal caso i predatori si

estinguano con un tasso di mortalità m 0. Il termine eX(t)Y (t) descrive

invece la ricaduta positiva della predazione sulla popolazione di predatori:

questa è ovviamente proporzionale al numero di prede tramite un coefficiente

e, detto “efficienza della predazione”.

Si tratta di un sistema dinamico autonomo bidimensionale (N = 2) le cui

variabili di stato sono X e Y . Trattandosi di numerosità, ha senso limitarsi

a considerare X 0e Y 0. Le due componenti del campo vettoriale sono

f (X, Y ) = kX pXY, f (X, Y ) = mY + eXY,

1 2

13

e gli stati di equilibrio si trovano quindi risolvendo il sistema

8 -

> I

>

<

py)

(k

* kX pXY = 0,

=

- 0 >

>

:

X(ex mY + eXY = 0. ·

m) = x

- X

e

E

È facile vedere che questo sistema ha due soluzioni, corrispondenti ai due

punti di equilibrio P = (0, 0), P = (m/e, k/p).

1 2

Il primo punto corrisponde alla situazione in cui inizialmente non sono pre-

senti né prede né predatori, situazione che tale rimane per tutti i tempi.

Il secondo stato di equilibrio è quello più interessante: ci dà il numero di

prede e il numero di predatori intorno ai quali ci aspettiamo di trovare il

nostro semplice ecosistema. Infatti, se proviamo a disegnare il campo vet-

toriale, possiamo immaginare un andamento qualitativo del tipo tracciato

in figura. Come si vede, le due popolazioni tendono a oscillare intorno al

punto di equilibrio (il fatto che le traiettorie siano orbite chiuse è intuibile

dall’andamento del campo ma in realtà andrebbe dimostrato).

1

0.9

0.8

0.7

0.6 ·

Y 0.5 P 2

0.4

0.3

0.2

0.1 P 1

0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

X

14

0.8 X

Y

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1 0 10 20 30 40 50 60

t

Come si vede, P è un equilibrio stabile, perché le traiettorie che si originano

2

vicino ad esso restano in un intorno del punto di equilibrio stesso. Ma non è

asintoticamente stabile, come nel caso dell’esempio precedente, perché non è

vero che le traiettorie tendono verso P , solo non se ne allontanano. Invece,

2

P non è stabile perché, come si vede dalla figura, ci sono traiettorie che,

1

anche se si originano vicino ad esso, tendono poi ad allontanarsene. Osservi-

amo anche che sugli assi Y = 0 (assenza di predatori) e X = 0 (assenza di

prede) sono presenti dinamiche Malthusiane di crescita e, rispettivamente,

decrescita esponenziale. 15

Aggiungiamo di

termine prelievo

en

indiscriminato/percal

E 2)x

nx 3x

pxx

* (k px +

-

= -

- -

=

↑ 3X 3)4

exX (m

my ex

= -

- +

-

+ = +

L'equilibrio modifica wa

si :

-

1

/n person

eezar

eg .

I · percan

eq con

.

1 .

3 -

P ↳

Volterna dimoteo la

che favorisce

=> con person

le mode

questo

dando spiegazione

prede una

in

,

dell'ammento dei predaton Auliatico

pesci nell'

bellico

durante il periodo 1915-1918 .

3.3 Esempio 3: l’oscillatore armonico

Passiamo ad un esempio del caso meccanico. L’oscillatore armonico viene

trattato anche nel paragrafo ?? ma qui vogliamo inquadrarlo dal punto di

vista dei sistemi dinamici. Partiamo quindi dall’equazione di Newton per

l’oscillatore armonico, ovvero per un