Appunti Meccanica Razionale - Dinamica

Dinamica dei corpi rigidi

Supponiamo di avere un corpo rigido di estremi P, O, tale per cui (p-o) = ii, (P.O) = xi + yj + zk. Se si comincia a muovere il sistema, scatteranno fuori due sistemi di riferimento: uno fisso e uno mobile. Vp - Vo = x di/dt + y dj/dt + z dk/dt.

Come variano i versori del sistema fisso rispetto a quello mobile?

di/dt = w^i
dj/dt = w^j
dk/dt = w^k
dove w è la caratteristica di rotazione, si dice come ruota nel tempo. Quindi Vp - Vo = w^ Vp = Vo Traslazione. Vo = 0 => Vp = w^(P-O) Rotazione. Vp ⊥ (P-O).

Formula fondamentale dei rigidi

Una volta che sappiamo dove si trova P e conosciamo V_o e ω, si può sapere come si muove P.

Casi particolari:

• ω = 0 => V_P = V₀ Traslazione
• V₀ = 0 => V_P = ω × (P-O) Rotazione
• V_P ⊥ (P-O)
  w ha direzione costante {w = direzione costante}
• v_o · w = 0

vp = vo + w^(p-o)
vp · w = vo · w + w^(p-o) · w = 0 – "moltiplico scalarm. per w"
vp ⊥ w
pp’ // w
vp1 = vo + w^(p1-o)
vp - vp1 = ω^(p-p1) = ω×(p-p1) = 0 => vp = vp1

Asse istantaneo di moto

Tutti i punti che stanno sull’asse istantaneo di moto hanno velocità nulla. vA = vo + w^(A-o)
vo + w^(A-o) = 0 {moltiplico vettoriale per w^-1 perché (A-o) ⊥ w
vo^w + w^(A-o)^w = [(A-o)^w]1w = 0
(A-o) = (w^vo)/w2
A = o + (w^vo)/w2

Equazioni parametriche

Considero l'AH. (p.a) ∧ u = 0
[k-xAî + (y-yA)ĵ + (z-zA)k̂] ∧ [pi + qj + xk] ∙ o= [(y-yA)x - (z-zA)y]x̂ + ((z-zA)p - (x-xA)q)ĵ + ((x-xA)q - (y-yA)p)k̂ = 0
Per far risultare l'equazione = 0 devono essere tutti i termini = 0 y-yA/q = z-zA/r = x-xA/p => Equazione asse istantaneo di moto.

Velocità

p.o = ẋ î + ẏĵ + żk̂ + ω∧(xi + yj + zk)
v_x -> Velocità relativa
vp = vo + ω∧(p-o) + vx
v_T -> Velocità di trascinamento

Accelerazioni

p.o = (ẍ î + ÿĵ + z̈k̂) + ω∧vx + ω̇∧(p-o) + ω∧(ω∧(p-o))
ar = dνx/dt
a_c -> Accelerazione di Coriolis
ap = ar + ac + ω̇∧(p-o) + ω∧(ω∧(p-o))
aT = ap = ar + ac + aT -> In generale si ha che l'accelerazione di un punto rispetto ad un sistema di riferimento mobile ed uno fisso è data di 3 contributi.

Casi particolari:

• ap = ν̇x per avere questa uguaglianza si dovrà avere che vo = 0 e ω = 0; ade di e: sistema di riferimento mobile in fermo.
• ap = ar per avere questa uguaglianza si dovrà avere che aT + ac = 0, cioè w = 0 e ω̇ = 0; ossia riferimento costante.

Lavoro

L = F ∙ (P₂ - P₁)     con    (P₂-P₁) = spostamento
sdL/dt = F ∙ dp
dL = Fxdx + Fydy + Fzdz
dL/dt = Fx dx/dt + Fy dy/dt + Fz dz/dt = Fxẋ + Fyẏ + Fzż = F ∙ v = W (potenza)

Energia cinetica

T = 1/2 mv²
dT/dt = mvv̇ = ma ∙ v = F ∙ v = W/dt
quindi si ha che    dL/dt = dT/dt     cioè     dL = dT
L = T_f - T_o     L = 1/2 m (v_o² - v_f²)

Conservazione di un campo di forze

Per verificare che un campo di forze sia conservativo deve risultare rot F = 0
rot F = ( ∂Fx/∂y - ∂Fy/∂x ) î + ( ∂Fy/∂z - ∂Fz/∂y ) ĵ + ( ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x ) k̂
Per ottenere    rot F = 0     e quindi un campo conservativo, i termini tra parentesi devono annullarsi.

Un altro modo per verificare se il campo è conservativo

Calcolare il lavoro; se dipende dal percorso non è conservativo, altrimenti sì.

Potenziale

L = U_f - U_o
Se il campo di forze è conservativo si ha F = grad U (x, y, z)
grad U (x, y, z) = (∂Ux/∂x , ∂Uy/∂y , ∂Uz/∂z)

Forza peso

F = -mg k̂
Fz = ∂U/∂z = -mg
U (x, y, z) = -mg z + k
Per calcolare il potenziale della forza peso devo vedere se è conservativa:
∂Fz/∂x = 0 ∂Fx/∂z = 0 ∂Fz/∂y = 0 ∂Fy/∂z = 0 ∂Fx/∂y = 0 ∂Fy/∂x = 0 => conservativa

Forza elastica

F = -k (c-o)
F = -k x_x-ky_y-kz_z
Fx = -kx
U(x) = -kx2/2 + C1(y,z)
dU/dy = -ky = dC1(y,z)/dy = G1(y,z) = -ky2/2 + G1(z)
U(x,y,z) = -kx'2/2 - ky2/2 + G1(z)
dU/dz = -kz G1(z) => dG1(z)/dz = d(-kz)/dz (z) => G2(z) = -kz2/2
U(x,y,z) = -1/2 k(c-o)2 + G0 ... Potenziale forza elastica

Prima equazione cardinale

F = m a
fi = mi ai
Σmiai = ΣFi + Σfi - Rex
perché se il sistema è in equilibrio ΣFint = 0
Σmiai = Σmio d/dt (m(po) = Σmivi => Qi = mivi ... Quantità di moto

d/dt (mo) = Σmi ai => Q̇i = miai
Però sappiamo che Σmi ai - Rext, quindi => Q̇i = 1/2 Fext => Prima equazione cardinale

Seconda equazione cardinale

Faccio il momento della quantità di moto:
k(o) = ∑ mi (pi-o) ∧ vi
k(o) = ∑ mi (vi - vo) ∧ ∑ mi (pi-o) ∧ Δi
k(o) = -vo ∧ Q + ∑ (pi-o) ∧ [Fext, Fint]
MextM k(o) = -vo ∧ Q + M => Seconda equazione cardinale

Se v_o = 0 cioè mi metto nel centro di massa k(o) = Mext
Quindi se mi trovo nel centro di massa:
Q = Fext
k(o) = Mext

Energia cinetica per il corpo rigido

Le due equazioni qui scritte sopra sono necessarie e sufficienti a studiare il moto di un corpo rigido, in quanto ciascuna di esse fornisce 3 informazioni: 3+3=6 ok!

Per il corpo rigido vi = vo + vL ∧ (pi-o) se trasla senza ruotare
Q = ∑ mi vi = ∑ mi vo
T = 1/2 mi vi2 se trasla senza ruotare = 1/2 ∑ mi vo2 + 1/2 ∑ mi vL 2 + [∑ mi vovL] nulla nella condizione di solo rotolamento
T = To + TR => Teorema di König
T = 1/2 m v2 della formula fond. del corpo rigido => v = vo + vL ∧ (po)
T = 1/2 ∑ mi [vo + ωL (pi-o)]2
T = 1/2 ∑ mi vo2 + 1/2 ∑ mi [ωL (pi-o)]2 + ∑ mi vo [ωL (pi-o)]

Espressione generale per l'energia cinetica di un corpo rigido

Equazione di Lagrange

Questa equazione segue un approccio energetico attraverso la lagrangiana. Con un approccio lagrangiano non si basa sugli assi legati al piano cartesiano, ma sui gradi di libertà.
L = T + U -> conoscendo la lagrangiana è possibile determinare l'equazione di moto.
d/dt (δL/δφ') - δL/δφ = 0

Potenziale centrifugo

Uc = 1/2 m ω²r²
I = mr²
Uc = 1/2 I ω²
Ex. Calcolo potenziale centrifugo: asta
m = ρl
Uc = ∫ 1/2 ω²ρ dS s₂ sen²φ
Uc = 1/2 ω²ρ sen²φ l³ / 3 - m/6 mω² l² sen²φx yω = costψ mgdss₂senψ