Appunti Meccanica Razionale - Dinamica

Dinamica dei Corpi Rigidi

Supponiamo di avere un corpo rigido di estremi P, O, tali per cui (P-O) = xi + yj + zk.

Se si comincia a muovere il sistema, realteremo fuori due sistemi di riferimento: uno fisso e uno mobile.

V_p - V_o = x ^di/_dt + y ^dj/_dt + z ^dk/_dt

Come variano i versori del sistema fisso rispetto a quello mobile?

^di/_dt = w ^ i

^dj/_dt = w ^ j

^dk/_dt = w ^ k

dove w è la caratteristica di rotazione, a dire come ruota nel tempo

Quindi V_p - V_o = w ^ (xi + yj + zk)

V_p = V_o + w ^ (xi + yj + zk) => V_p = V_o + w ^ (P-O)

Formula Fondamentale dei Rigidi

Una volta che sappiamo dove si trova P e conosciamo V_o e w, si può sapere come si muove P.

Casi Particolari:

• w = 0 => V_p = V_o Traslazione
• V_o = 0 => V_p = w ^ (P-O) Rotazione

V_p ⊥ (P-O)

w ha direzione costante

w = direzione costante

v_O = 0

v_P = v_O + w^(P - O)

v_P - w^(P - O)_o = 0

moltiplico scalarmente per w

v_P ⊥ w

P' // w

v_P' = w^(P - P'_i) = 0

w^(P - P_i) = 0

=> v_P = v_P1

Asse istantaneo di moto : tutti i punti che stanno sull'asse istantaneo di moto hanno velocita nulla.

v_A = v_O + w^(A - O)

v_O + w^(A - O) = 0

w^[(A - O) x w] = 0

(A - O) = w x v_O / w_z

A = O + w x v_O / w_z

Se: v_O = v_Oxi + v_Oyj + v_Ozk

w = p^t + q^t + r^k

X_A(t) = x_O(t) + (v_Ozq - v_Oz)r / (p² + q² + r²), w²

Y_A(t) = y_O(t) + v_Ozr - v_Ozp / w²

Z_A(t) = z_O(t) + v_Oyp - v_Oxq / w²

=> EQUAZIONI PARAMETRICHE

II^a Equazione Cardinale

Faccio il momento della quantità di moto :

k(o) = ∑ m_i (P_i - o) ^ v_i

k(o) = ∑ m_i (v_t - o) ^ v_i + ∑ m_i (P_i - o) ^ a_i

ricordo che Q = m_iv_i

k(o) = -_vo^Q + ∑ (P_i - o) ^ [F_EXT, F_INT]

k(o) = - _vo^Q + _EXTM => SECONDA EQUAZIONE CARDINALE

Se v_o = 0 cioè mi metto nel centro di massa

k(o) = _EXTM

Quindi se mi trovo nel centro di massa:

Q = F_EXT

k(o) = _EXTM

Energia Cinetica per il Corpo Rigido

Le due eq. qui riportate sopra sono necessarie e sufficienti a studiare

il moto di un corpo rigido in quanto ciascuna di esse fornisce

3 informazioni 3 + 3 = 6 ok!

Per il corpo rigido:

v_i = v₀ + v_R + ω^ (P_i - o) se trasla senza ruotare

Q = ∑ m_iv_i = ∑ m_iv₀

T = 1/2 ∑ m_iv_i² = 1/2 ∑ m_i (v₀ + v_R)² se trasla senza ruotare

= 1/2 ∑ m_iv₀² + 1/2 ∑ m_iv_R² + ∑ m_iv₀v_R nulla nella condizione di solo rotolamento

T = T₀ + T_R => TEOREMA DI KÖNIG

T = 1/2 m_v0 della formula fond. del corpo rigido => v = v₀ + ω^ (P - o)

T = 1/2 ∑ m_i (v₀ + ω^ (P_i - o))²

T = 1/2 ∑ m_iv₀² + 1/2 ∑ m_i [ω^ (P_i - o)]² + ∑ m_iv₀ [ω^ (P_i - o)]

espressione generale per l'energia cinetica di un corpo rigido