Appunti Meccanica

I

Mdl '  

*

l r * 

  l '

 

I Ml ' l ' d    



'

M l d 

M l ' d

*

r Dinamica del corpo rigido x

Corpo rigido con un punto fisso e liscio Ω 3

 

x x

  

   

N 3 q , q , q 3 2

1 2 3    

O x



( e , v )  

M 0 , 2



Vincolo perfetto   x 1

  

(e,a) (e,v) (e,a)

    

M a R R M a R x

  1

G G

 

 

 (e,a) (e,v)

    

 K M M M v v (e,a)

 

 3 equazioni pure

K M

   

G   del moto

 



 ( )

K    

Ox x x

E’ conveniente proiettare la II ECD lungo una terna solidale 1 2 3

d d d

d



  

a r derivata rispetto derivata rispetto

r

a

dt dt dt

dt all’osservatore inerziale all’osservatore solidale

d  

d K d K   

  

   ( ) 

 

    K

( )

 K

r

   

 

a

K K

r 



  dt

dt dt

      (e,a)

(e,a)  

    

( ) ( )

 M

K M 

 

Dinamica del corpo rigido

Corpo rigido con un punto fisso e liscio Ω x 3

     (e,a)

  

   

( ) ( )

 x x

M 3 2

  

O

3 equazioni pure del moto x 2

 

     , ,

p q r

Ox x x

Sia una terna principale d’inerzia x

1 2 3 

x

1



  1

 

A 0 0 p

 

   

 

( )  



 

 

 

 ˆ ˆ ˆ

e e e

Ap Bq Cr

0 B 0 q

   1 2 3

 

  

0 0 C r

 

 



  

 

A 0 0 p

    



  

 

 

  

( )     

ˆ ˆ ˆ

e e e

Ap Bq C r



0 B 0 q

    1 2 3

 

  



0 0 C r

 

 

  

ˆ ˆ ˆ

e e e

1 2 3      

  



      

 

( ) p q r   

    

ˆ ˆ ˆ

C B qr e A C pr e B A pq e

1 2 3

 



Ap Bq C r

Dinamica del corpo rigido

Corpo rigido con un punto fisso e liscio Ω

     (e,a)

 

   x

( ) ( )

 M 3 equazioni pure del moto 3



   

x

      x

(e,a) , , ,

e a e a e a



M M , M , M 3 2

 1 2 3

 

  



 

 

    O

( )    

ˆ ˆ ˆ

Ap e Bq e C r e x 2

1 2 3

     

   

 

     



      

( ) ˆ ˆ ˆ

C B qr e A C pr e B A p q e x 

x

1

1 2 3 1

   

 

   

   (e,a)

      

Ap C B qr M 

, , , , , , t

1



    

 

  

        

(e,a)

 Equazioni di Eulero

Bq A C pr M 

 , , , , , , t

2

    

 

  

     

   (e,a)



 

Cr B A pq M , , , , , , t

3 

   



p = sin sin + cos

 

  





q = sin cos sin



 

 





r = cos



  

(e,a) (e,a)

    

M a R M a R

 G G

 

 Problema dinamicamente determinato!

 (e,a)

 

 K M

 3 equazioni pure del moto

  Moti alla Poinsot

Moto alla Poinsot o moto per inerzia

: moto di un corpo rigido con un punto

x

fisso e liscio Ω su cui agisce una sollecitazione esterna attiva 3

 

x x

( e , a ) 

 M 0

avente momento risultamte nullo rispetto ad 3 2



   

O

 

 

  x

 



Ap B C qr

 

  2

   (e,a)



Ap C B qr M 

1

 x 

x

   1

   1

 



 

  



    Bq C A pr

(e,a)

 

Bq A C pr M

 Sistema di 3 EDO non lineari

2

  del primo ordine in p, q, r

   

 

   

   (e,a)





Cr B A pq M  





Cr A B pq

3

Equazioni di Eulero

Integrali primi del moto

 

(e,a)

  

 

K M K cost

K 0 rispetto alla terna fissa

  



  

( e , a ) ( e , a ) ( e , a )

   

dT dL 

 

dT R d M dt dT 0





T cost.

Moti alla Poinsot

 

   

 

 

 

  

App B C pqr

 



Ap B C qr 

   

    

  

 

 

Bqq C A qpr



  



Bq C A pr

 

  

    

 

   



Crr A B rpq

 





Cr A B pq   

d 1  

 

  



   

     

2 2 2

App Bqq Crr 0 Ap Bq Cr 0

 

 

dt 2

1  

 



   

2 2 2 T =costante

Ap Bq Cr costante

2  

  

 

 

2 

A pp A B C pqr



  

 

   



  

2   

 2 2 2

  

B qq B C A qpr A pp B qq C rr 0



  

   

 

2 



C rr C A B rpq

 

 K =costante

   

2 2 2 2 2 2

A p B q C r costante 

Moti alla Poinsot

 

 

 

 



Ap B C qr x 3

  

x x

   3 2

 

  



Bq C A pr



Equazioni di Eulero  

O x 2

  

  

  x





Cr A B pq 

x

1 1

 



 

Hp: Corpo a struttura sferica A B C



 



 p p

p 0 0



  

 

 q q

q 0 



 si mantiene costante rispetto alla terna solidale

0



  



r 0 r r

  0

 

d d 

  si mantiene costante rispetto alla terna fissa

a r

dt dt

Il moto del corpo rigido è una rotazione con velocità

 

  

(0) 0

0 angolare pari a quella iniziale attorno ad un asse passante per



il punto fisso e avente la direzione di 0

 

  

(0) 0 Il corpo rigido rimane in quiete

0 Moti alla Poinsot

 

 

 

 



Ap B C qr x

 3

    

x x

 

   3

 2

Bq C A pr



Equazioni di Eulero  

O

 x

  2

  

 





Cr A B pq x 

x

1

 



  1

A B C

Hp: Corpo a struttura giroscopica con x’₃ asse giroscopico

 

   



  

 

  A C



Ap A C qr  

  

 



p r q 

C A



    0

A  

   r

  



Aq C A pr

   0

  A

 



 C A



    



0

Cr r r

 q r p

 

0 0

 A  



    





  

  

 p q    2



  p A cos t

p p 0

p q

 





q p  

  

 

 p A cos t

  

 

 

q A sin t



Integrale generale  

r r

 0

Moti alla Poinsot

Hp: Corpo a struttura giroscopica con x’₃ asse giroscopico x 3

 

  

 

 

x

p A cos t x

 

  3 2



C A

    

r

  O

 

  x

q A sin t

  0

A 2

 x

 

r r x

1

 1

0  

 2 2

    A r costante

2 2 2 2

p q r 0

I moti alla Poinsot di un corpo a struttura giroscopica sono precessioni regolari

  

 

  

   

ˆ ˆ ˆ A B

K Ap e Bq e C r e

 1 2 3

0  

    

    

   ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ Ar e Ar e

K Ap e Aq e C r e

 3 3

1 2 3 0 0

0  

 

  

   

    

ˆ ˆ ˆ ˆ

K A p e q e r e C A r e

 1 2 3 3

0 0

1

 

  

    

     

ˆ ˆ

K A C A r e K e

 

3

0  3

A

  

 

ˆ ˆ

u w

p f K

K  

  

    

 ˆ ˆ ˆ

, , ,

u w e

 3

p f K

A 

Dinamica relativa

Se il sistema di riferimento non è inerziale occorre aggiungere le forze fittizie

    

( ) ( ) ( C ) ( r )

    

P , m F ma , F 2 m v



P P