Appunti Meccanica

Cinematica Punto/Corpo Rigido

La Cinematica è il ramo della meccanica che si occupa di descrivere quantitativamente il moto di un sistema indipendentemente dalle cause del moto stesso.

Per descrivere il moto si deve conoscere Posizione, Velocità, Accelerazione del corpo. Per fare ciò definiamo un Sistema di Riferimento: composto da un osservatore e le coordinate necessarie. Il numero minimo di coordinate necessarie a descrivere univocamente il moto è detto grado di libertà.

Posizione

La posizione definisce univocamente la posizione di un punto nello spazio, e ci sono diversi modi per farlo:

• Coordinate Cartesiane

Posso utilizzare il vettore P per indicare il punto, analogamente posso utilizzare al posto della coordinate cartesiane il piano dei numeri immaginari:

Es. X + Yì

• Coordinate Polari

Posso descrivere il punto come punto su una circonferenza.

Esiste una corrispondenza biunivoca tra coordinate polari e cartesiane: P = X + Yì e r (cosθ + i sinθ)

Spostamento

Lo spostamento è l’evoluzione temporale delle coordinate del punto P. Viene definita traiettoria la linea continua che rappresenta le posizioni successivamente occupate dal punto P al variare del tempo.

Si può descrivere lo spostamento in 2 modi:

• Descrizione Parametrica della traiettoria:

dove le coordinate vengono parametrizzate in relazione al tempo.

• Descrizione Matematica della traiettoria:

In esse vi è l’ascissa curvilinea: una grandezza scalare che misura la distanza del punto P, cioè l’origine della traiettoria seguendo la traiettoria stessa.

Velocità

La velocità del punto P è la derivata rispetto al tempo del vettore posizione:

_v = lim_{Δt → 0} (lim_{Δt → 0} (P(t + Δt) - P(t)) / Δt) o _v = dP(t) / dt = d²s / d²t = ṡ ds / dt = ŝ ds/ds

Analisi

Poiché Δp → 0, la corda Δp e l'arco della traiettoria Δs tendono a confondersi, e ΔP è sempre più tangente alla traiettoria rispetto a P*.

Di conseguenza ho:

lim_{Δt → 0} (Δp / Δs) = 1 => Verso tangente alla traiettoria

Quindi posso riscrivere la velocità come _v = ṡ ds / ds ŝ

Da questa formula noto inoltre che il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria

Modi di esprimere la velocità

• Coordinate Cartesiane Reali

• P = x_c + y_c => _v = ẋ_c x̂ + ẏ_c ŷ = v_x x̂ + v_y ŷ

• Coordinate Cartesiane Immaginarie

• P = z = x + iy => _v = z = ẋ + iẏ = v_r e^iφ

Vettore velocità non tangente alla traiettoria

x_x = d²x(t)/dt = ds / dt

tan(φ) = (ds/dt)/x(t) = tan(θ)

• Coordinate polari

• P = r e^iθ => ṙ => ṙ e^iθ + r θ̇ i · e^iθ
• = ṙ e^iθ + r θ̇ e^{i(θ + π/2)}
• |ṙ| = |(v_r) ṙ| + v²
• α = θ̇ · arctan (ṙ / ṙ)

Tipi di Moto Microscopici

Il tipo di moto si dà con l’istantanea del campo di velocità dei punti del corpo. Da questa fotografia possiamo riconoscere due tipi di moto:

• Tutti i punti hanno la stessa velocità → Moto Traslatorio
• Esiste un punto che ha velocità nulla → Moto Rotatorio

Analizziamo le possibili combinazioni d’analisi:

1. Prenendo 2 punti generici:

• Affinché si mantenga la condizione di corpo rigido (quindi non avremo deformazioni) le proiezioni di _vA e _vB sulla retta AB devono essere uguali;
• Per lo stesso motivo i punti che si trovano lungo la perpendicolare di AB devono avere velocità perpendicolare alla retta AB (vale lo stesso per B)

Di conseguenza il punto C, intersezione di v_rA, dovrebbe avere velocità perpendicolare ad v_A e v_B se possibile.

• X_C se v_C = 0
• Il punto c è detto CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE (CIR)

^*Per identificare il CIR mi basta conoscere le velocità di 2 punti

1. v^A = v_B in modulo direzione e verso
• Tutti i punti appartenenti ad v_A hanno velocità perpendicolare ad v_A pari a v^A = v_B, valendo lo stesso per i punti di B
• Essendo v_A e v_B non avranno intersezione (EIR = ∞) quindi il moto sarà traslatorio.
2. v_A _|_ v_B

Il CIR sarà individuato dall’intersezione tra v_rA e v_rB.