Appunti Meccanica

Vettori e derivate

v(t) = v_x(t)i^ + v_y(t)j^ + v_z(t)k^ NB Se il modulo di un vettore è costante, la sua derivata è ortogonale al vettore stesso.

Derivata di vettori

|w(t)| = |w(t)| = |w(t)| = cost → dω²/dt = 0 d/dt (w·w) = 0 → 2 dw·w = 0 → dw/dt · w

Ora calcolo il modulo della derivata di un verso u(t) Δu = Δu Δp = 2sen(Δp/2) Δp = sen(Δp/2) Δp Δt Δt Δt Δt Δt du = lim Δu = sen(Δp/2) Δp = ωdt Δt→0 Δt Δp/2 dt dû/dt = w×û

Formula di Poisson

→ d/dt (wû) = dû/dt + w×û

Velocità

Conoscendo la legge oraria posso definire una velocità media:

v_m = v_m(t₁,t₂) = r(t₂)-r(t₁) = t₂-t₁

Posso definire una velocità istantanea se Δt→0:

r̂(t) = lim Δt i^ + dy j^ + dz k^ Δt→0 Δt dt dt dt

In termini di assi curvilineo:

r̂ = dx̂ ds/dt = ds û dt ds/dt

Cui: û versor tangente della traiettoria, ds/dt = v̂ velocità scalare

_u(t) = _x(t)_i + _y(t)_j + _z(t)_k NB Se il modulo di un vettore è costante, la sua derivata è ortogonale al vettore stesso.

|_u(t)| = |_w(t)| = _w(t) = cost → = 0 d/dt (_u · _w) = 0 → 0 d/dt = Ora calcolo il modulo della derivata di un verso _u(t)= d_u/dt = ← _ωd/dt = _w × _u

Formula di Poisson

|_u| velocità

Conoscendo la legge oraria posso definire una velocità media:

_m(_t,_t): = = Posso definire una velocità istantanea se ∆_t → 0: lim(∆_t→0) ∆_{t x} + In termini di orina curvilinea = _x = _x = _s/dt = _u cui: tangente alla traiettoria _s = _x velocità scalare

Accelerazione

a(t) = \(\frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{s}(t)}{dt^2}\)

a(t) = \(\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}_x}{dt} \hat{i} + \frac{d\vec{v}_y}{dt} \hat{j} + \frac{d\vec{v}_z}{dt} \hat{k} = \frac{d^2x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2} \hat{k}\)

Derivata di vettori a e b

a) \(\frac{d\vec{a}}{dt} = \left( \frac{d\vec{a}}{dt} \right)_t = \vec{\omega} \overline{\times} \vec{u} + \frac{d\hat{u}}{dt}\)

b) \(\frac{d\hat{u}}{dt} \overline{= \vec{\omega} \times \hat{u}}\)

\(\frac{d\hat{u}}{dt} = \frac{ds}{dt} \hat{u}_t + s\frac{d\hat{u}}{dt}\)

Componente tangente, componente mutua (alla traiettoria) NB \(\vec{\omega}\)

Considero il cerchio osculatore, l'ampiezza di cui scivola il vettore velocità è uguale dell'ampiezza di cui scivola il raggio dell'osculo.

\(ds = ds\)

\(\vec{\omega} = \frac{d \theta}{dt} + \frac{ds}{\rho} = \frac{v}{\rho}\)

\(\vec{a} = \frac{d\hat{u}}{dt} \hat{u}_t + s \frac{d\hat{u}}{dt} = \frac{ds}{dt} \hat{u}_t + \frac{s^2}{\rho} \hat{u}_t = \ddot{s} \hat{u}_t + \frac{s^2}{\rho} \hat{u}_t\)

Rappresentazione intrinseca dell'accelerazione

Accelerazione tangenziale, accelerazione centripeta

Moti particolari

• Uniformi → \(\dot{s} =\) costante
• Uniformemente accelerati → \(\ddot{s} =\) costante
• Rettinei → r → ∞
• Circolari → r costante

ds = v₀ dt v₀ è costante

s(t) = ∫v₀ dt + C = v₀ ∫dt + C = v₀t + C = v₀t + S₀

Se il moto è rettilineo e uniforme:

x₀ = 0 x₀ = 0 s₀ = x₀ v₀ = dx x(t) = x₀ + v₀t per ogni coordinata r(t) = r₀ + v₀ t r₀ e v