Appunti Meccanica

() = _x()̂ + _y()̂ + _z()̂

̂ = _x + _y + _z

NB Se il modulo di un verso è costante, la sua derivata è ortogonale al vettore stesso.

→ _x²()̂, _y²()̂ = cost = / = 0

→ ²() / = 0

Ora calcolo il modulo della derivata di un verso: (t)

/ / 2(/2) / (/2)/ /

/ = / (/2) /

/ =

/ = ×

Formula di Poisson

→ / (̂) = / ̂ + ̂ × ̂

Velocità

(1)

Conoscendo la legge oraria posso definire una velocità media:

_m = _m(₁,₂) = (₂) − (₁) / ₂ − ₁

Posso definire una velocità istantanea se → 0:

() = lim₀/ − ̂/ + ̂/ + ̂/

In termini di orizzonte curvilinea, ̂ = ̂/ / ds/

Qui: • ̂ versor tangente alla traiettoria

ds/t = ̇ velocità scalare

_a⃗(t) = d²_r⃗(t)/dt²

d_r⃗/dt = dx/dt î + dy/dt ĵ + dz/dt k̂

d²_r⃗/dt² = d²x/dt² î + d²y/dt² ĵ + d²z/dt² k̂

Ricordo la derivata di un vettore (a⃗) e di un versore (b⃗):

a) d_a⃗/dt = da/dt û + a dû/dt

b) d_û/dt = ω × û = d_r̂/dt

d_r⃗/dt = dr/dt û + r dû/dt

Componente tangente | Componente mutua

Considero il cerchio osculatore, d'ampio di cui escuta il vettore velocità è mutua col d'ampio di cui escuta il raggio dal cerchio.

f ds = ds

ω = ds/dt = ṡ/r

d²_r⃗/dt² = dṡ/dt û + ṡω û_n = dṡ/dt û + ṡ²/r û_n + ṡ û + ṡ² û_n

Rappresentazione intrinseca dell'accelerazione | accelerazione tangenziale | accelerazione centripeta

Moti Riferimento

• Uniformi → ṡ costante
• Uniformemente accelerati → ṡ costante
• Rettilinei → r ∞
• Circolari → r costante

Moto di pura rotazione

Piattaforma rotante che ruota con velocità angolare costante senza traslazione.

In questo caso, l’accelerazione di trascinamento corrisponde all’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme.

Traslazione uniforme: trasformazioni di Galileo

Si muove rettilineo uniforme con velocità V, senza rotazioni.

Formula generica: r(t) = r₁(t) + V

v(t) = v₁(t)

Invariante per trasformazioni di Galileo

Fondamenti della dinamica Newtoniana

L’interazione del corpo con l’ambiente è rappresentata attraverso una grandezza fisica detta forza.

1. Principio di inerzia: esistono dei riferimenti detti "inerziali" nei quali i corpi non soggetti a forze si muovono di moto rettilineo uniforme.

2. Nei riferimenti inerziali, la presenza di una o più forze genera un’accelerazione:

   F = ma

3. Principio di azione e reazione: se un corpo subisce l’azione di un secondo corpo, quest’ultimo è sempre soggetto ad una forza uguale e contraria a quella esercitata nel primo.

   F₁₂ = -F₂₁

Forze elastiche e molle

Molla ideale → vedi la legge di Hooke

rigidità

Forza di richiamo:

La forza è negativa se la molla è più lunga della sua lunghezza a riposo, positiva se la molla si comprime.

In condizione statica

f_e = -kx = 0

f_mm - kx = mẍ → ẍ + (k/m)x = 0

Soluzione:

x(t) = A cos(ωt + φ)      v(t) = x(t) = -Aω sen(ωt + φ)

con ω = ^√k/m

• x_o = Acosφ
• x_o = -Awsenφ      {
• A = ^{√<span>x_o2 + </span>v_o2 </strong>} / ω²

φ = arctan -_vo

• ẋo=0 → x_o = A → φ=0      - x(t) = x_ocos(ωt)
• ẋo=0 → A = x_o      φ = -π/2      x(t) = ^v_o sen(ωt)

Due molle in serie

equivalgono ad un'unica molla con K_tot = k/2

Se deformiamo due molle in parallelo otteniamo una forza doppia

a parità di spostamento      K_tot = 2k

Molle verticali

Equilibrio:

mg - k(l_e - l_o) = 0 → mg = k(l_e - l_o)

f = mg - k(l_e - l_o) - k(l_e - l_o) = -k(l - l_e)

L'effetto della forza peso è quello di spostare la posizione di equilibrio.

Forza di Coriolis su ruota giostra

f_c = 2ωv_r

f_c = 2mωv_r

1. Consideriamo un corpo in moto rettilineo uniforme verso il settore lungo un raggio della giostra.

   • Nel riferimento della giostra, f_r è diretta in senso opposto al moto della giostra per mantenere una traiettoria rettilinea e bilancia deve esercitare una forza uguale ed opposta il che non si verifica. Se f_r si annulla la forza del moto non è necessaria per annullare la componente ortogonale e associati ai f_r.

2. Consideriamo un corpo in moto verso il centro della giostra in corrispondenza di inizio rotazione.

   • Nel riferimento della giostra dopo il lancio non è necessaria la forza sua più alta ordinata.
   • Nel riferimento della giostra la forza appare deviata nel senso ausilio per effetto di f.

Forze misurate nella superficie terrestre

1. Correzioni alla direzione e all'intensità della forza peso dovute alla forza centrifuga.
2. La forza di Coriolis sento in entrambi gli emisferi, i corpi in coduto verso est.
3. Effetto su un corpo in moto su una rottoria lungo un meridiano.
4. Effetto sulla circolazione dei venti.
5. Rotazione del piano di oscillazione del pendolo (pendolo di Foucault).
6. Condizione per mantenere in orbita un satellite: mωv_r > GMT = m ^r'3 / r₂ = cost x ^v / r₂

Sistemi in caduta libera

• Ascensore di Einstein.

Ponendo un laboratorio su un ascensore in caduta libera, tutti gli aspetti di uno universitario cadono con la stessa accelerazione. Degli oggetti fermi o meglio interno continuando a codice con la stessa accelerazione delle pareti, risibili fermi rispetto al laboratorio.

L₁ è un riferimento localmente inerte.