Appunti e schemi Matlab spiegati Laboratorio di automatica

Kθ

1.2τ

PID 2θ 0.5θ

Kθ

La tabella evidenzia nel caso in cui il controllore che si intenda usare sia

regole speciali

costituito dalla sola azione proporzionale (caso o dalle sole azioni proporzionale ed integrale

P)

(caso PI).

Metodi di Ziegler–Nichols

Il Secondo Metodo di Ziegler–Nichols è una orientata

tecnica di taratura ad anello chiuso

alle specifiche dinamiche.

Il utilizzato è sempre un sistema lineare del primo ordine con ritardo,

modello approssimato

che in questo caso, però, non viene descritto mediante i parametri della sua funzione di trasfe-

rimento. Al loro posto, invece, sono usati che ne rappresentano le

due indici caratteristiche

ovvero il e la −π

in frequenza, margine di guadagno frequenza di attraversamento a

radianti.

Di fatto questi indici possono essere legati alle del sistema con-

analiticamente prestazioni

trollato nel caso di modello lineare del primo ordine con ritardo. Il calcolo sperimentale di

questi due valori, però, richiede necessariamente un esperimento ad anello chiuso.

Metodi di Ziegler–Nichols

Gli del modello approssimato sono ottenuti con la seguente procedura:

indici rappresentativi

il controllore PID viene sostituito con un guadagno;

1 il sistema controllato è, quindi, alimentato con un ingresso a gradino unitario;

2 il guadagno viene variato fino a raggiungere il per cui la grandezza

valore critico K

3 c

controllata inizia ad

y(t) oscillare;

fornisce il

K margine di guadagno;

4 c

l’inverso del delle corrispondenti indotte fornisce, invece, la

periodo T oscillazioni fre-

5 c −π

quenza di attraversamento a radianti.

Metodi di Ziegler–Nichols

La con cui vengono calcolati i in funzione di e è sintetizzata

regola parametri industriali K T

c c

nella seguente tabella. K T T

p i d

P 0.5K c

PI 0.45K 0.8T

c c

PID 0.6K 0.5T 0.125T

c c c

Il fornisce, in generale, rispetto al

secondo metodo di Ziegler–Nichols risultati migliori

primo, in quanto riesce a sfruttare in modo più efficace i del sistema

margini di stabilità

controllato. Di contro, indurre forzatamente oscillazioni in un processo produttivo è sempre

e ciò rende questo metodo in ambito industriale.

molto rischioso inutilizzato

Metodi di Ziegler–Nichols

Il pur avendo origini esclusivamente derivanti

primo metodo di Ziegler–Nichols, empiriche

da misurati sul campo, risulta sorprendentemente efficace in una grande

riscontri oggettivi

varietà di situazioni reali.

Inoltre, la è garantita da semplici accorgimenti matematici con cui è

flessibilità di impiego

possibile ricondursi alle condizioni d’uso ideali:

sia il che l’uscita prima della variazione del set-point possono essere portati

riferimento

a zero mediante opportune traslazioni del fondo scala;

l’ampiezza del gradino sul riferimento può essere portata al valore unitario scalando

opportunamente l’ingresso del processo; solitamente per la coerenza delle unità di misura,

lo stesso fattore di scala viene applicato anche all’uscita.

In questo scenario il PID ottenuto dalla taratura è riferito a un ingresso e un’uscita che sono

stati e, quindi, prima di essere inserito nel sistema di produzione deve essere

traslati e scalati

convertito nelle del processo.

variabili reali

Metodi di Ziegler–Nichols

L’evidenza pratica dell’efficacia del primo metodo di Ziegler–Nichols ha ispirato nel tempo lo

sviluppo di molti altri basati, però, su

metodi di taratura ad anello aperto, considerazioni

analitiche rigorose.

Ai fini della taratura di un PID industriale, la necessità maggiormente sentita riguarda la ro-

ovvero la sua capacità di garantire la stabilità del processo produttivo

bustezza del controllo,

anche a fronte di errori consistenti sul suo modello matematico. Questa proprietà risulta stret-

tamente legata alla procedura con cui viene calcolato il del sistema

modello approssimato

da controllare. PID Tuner

APPS →

Plant Import

→

L'app PID Tuner regola automaticamente i guadagni di un controllore PID per un impianto SISO al fine di

ottenere un equilibrio tra prestazioni e robustezza. È possibile specificare il tipo di controllore, come PI, PID

con filtro derivativo o controllori PID a due gradi di libertà (2-DOF). I grafici di analisi consentono di esaminare

le prestazioni del controllore nei domini del tempo e della frequenza. È possibile perfezionare interattivamente

le prestazioni del controllore per regolare la larghezza di banda dell'anello e il margine di fase, oppure per

favorire il tracciamento del setpoint o il rigetto dei disturbi. È possibile utilizzare PID Tuner con un impianto

rappresentato da un modello LTI numerico, come una funzione di trasferimento (tf) o un modello a spazio di

stato (ss). Se si dispone del software Simulink® Control Design™, è possibile utilizzare PID Tuner per regolare un

blocco PID Controller o PID Controller (2DOF) in un modello Simulink.

Il Response Time regola la velocità con cui il sistema risponde a un cambiamento nel setpoint o a un

disturbo. Se si imposta lo slider su un tempo di risposta più rapido, il sistema risponderà più velocemente ai

cambiamenti. Tuttavia, un tempo di risposta più rapido può comportare un aumento delle oscillazioni e una

maggiore possibilità di instabilità. Un tempo di risposta più lento rende il sistema più robusto (tendente ad

un sistema del I ordine), con meno oscillazioni, ma la reazione agli ingressi sarà più lenta.

Il tempo di risposta influisce direttamente sulla larghezza di banda del loop del controllore (B=0.35*tr) . Un

tempo di risposta più veloce implica una larghezza di banda maggiore, che permette al sistema di reagire

più velocemente, ma a scapito della robustezza.

Il Transient Behavior modifica la forma del comportamento transitorio del sistema (risposta iniziale,

sovraelongazione, smorzamento). Spostare lo slider verso un comportamento più smorzato (dx) riduce le

oscillazioni, il che significa che il sistema raggiunge il setpoint con meno sovraelongazioni e oscillazioni.

Verso una risposta più aggressiva permette una risposta più rapida, ma introduce più oscillazioni e

sovraelongazione, con un rischio maggiore di instabilità. Utilizzando questi slider, si deve trovare un

compromesso tra prestazioni (una risposta rapida con meno ritardo) e robustezza (meno oscillazioni e

stabilità maggiore).

Control System Designer

APPS →

Interfaccia grafica che permette di progettare, analizzare e ottimizzare sistemi di controllo in modo

interattivo. Fornisce strumenti per la progettazione di controllori in sistemi di controllo a

retroazione, come PID, compensatori lead-lag, e controllori avanzati basati su modelli. La sua

funzione principale è quella di facilitare il tuning dei parametri del controllore per soddisfare i

requisiti di prestazione specificati (come stabilità, risposta in frequenza, margini di fase e

ampiezza, ecc.).

Il designer permette di sintonizzare i parametri del controllore in maniera interattiva. Spostando i

parametri del compensatore (ad esempio, il guadagno proporzionale, integrale, derivativo), il

sistema aggiorna automaticamente le risposte del sistema e mostra come questi cambiamenti

influenzano le prestazioni.

È possibile regolare i poli e zeri del controllore, o utilizzare le funzioni di ottimizzazione automatica

per far sì che il sistema soddisfi i criteri di progettazione predefiniti, come margini di fase o

ampiezza, risposta transitoria o altre specifiche.

Se vado su un grafico tasto dx→Design Requirements→New posso impostare dei requisiti per

quel grafico specifico.

Tasto dx Su Add poles and zeros posso aggiungere poli e zeri integratori o derivatori, mentre su

→

Edit Compensator posso vedere la forma di C

Simulink Library Browser, dove cercare tutti i blocchi

Una volta lanciata la simulazione si crea nel workspace una

variabile out, che contiene tutti i dati.

in tout si nota che il passo è variabile, infatti esso dipende dal solver

per accedere alle variabili che mi interessano:

>> out.tout % out.bloccochevoglio

Opzioni di visualizzazione

Visualizzare scope in maniera più efficiente senza connessioni: tasto dx sul segnale Create and

→

Connect Viewer (oppure Connect to Viewer) Scope

→

Tasto dx Viewers and Generators Manager (per gestire scope, visualizzazioni e display)

→

Tasto dx sul segnale Log Selected Signal e poi sfruttando il Data Ispector (per confrontare segnali

→

anche con simulazioni antecedenti)

Per salvare i dati dello scope sul workspace

(nella variabile out):

---------

N del PID: inverso della costante di tempo del filtro del I ordine che rende il PID fisicamente

realizzabile.

Dal blocco PID Tune… si apre il Tuner. Su Show Parameters posso vedere le performance a

→ →

confronto in termini di Rise time, settling time ecc.

----------

Modellazione di saturazione dell’attuatore:

Si verifica wind-up

Oss: Comment out (elimino blocco) vs Comment through (lo cortocircuito)

Evitare wind-up:

Usando back-calculation: Si nota che senza back-

calculation la risposta è

ritardata e si verifica

sovraelongazione, mentre

con l’inserimento del Kb la

situazione migliora.

Maggiore Kb minore è il

tempo in cui si resta in

saturazione, anche se in

questo caso la risposta

cambia di poco.

Usando clamping: Con il clamping il

controllore smette di

aggiornare il termine

integrale finché l'uscita

non rientra nei limiti,

prevenendo così

l'accumulo eccessivo

dell'azione integrale.

Qui non ci sono parametri

settabili, il risultato è

analogo.

Modellistica fisica

Pendolo semplice Coppie applicate rispetto all’asse di rotazione:

C(t) (1) (ingresso indipendente)

C(t)

(2) (t) = sen (coppia dovuta alla forza

C m g ! θ(t)

p

" peso)

(3) (t) = − (t)

θ(t) C C(t) C

tot p

m

mg

Seconda legge della dinamica per i moti di rotazione: (4) = (t),

J θ̈(t) C tot 2

dove è il momento di inerzia del pendolo rispetto all’asse di rotazione: = .

J J m !

Il modello matematico è = − sen

J θ̈(t) C(t) m g ! θ(t)

ovvero g C(t)

+ sen =

θ̈(t) θ(t) 2

! m !

Roberto Diversi Controlli Automatici T–1 – p. 14/55

Esempio pendolo

Il blocco derivativo, che fa una derivata numerica, n