Appunti di Laboratorio di Automatica

Laboratorio di automatica

Sistema dinamico

La strettamente connesso al tempo (ciò che è successo influenza il futuro)

Input (ingresso) e output (uscita)

• _P^x: Plant (Impianto) - porzione di mondo che isolo
• _S^x: State (Stato) - variabile che riassume la storia passata di quell'oggetto
• _S^e: Sensor (Sensore) - misura una grandezza fisica e invia informazioni
• _r: References (Riferimento)
• _e: Error (Errore)
• _C: Controller - corregge gli errori
• _A: Attuatore (Actuator) - trasforma le informazioni in azioni

3 approcci

• Modelizzazione multifisica
  • Grafici:
  • Diagrams a blocchi
  • Bond graph
  • Matematica:
  1. O.D.E. e T.R (Equazioni Diff. Ordinarie) - tempo continuo
  2. Equazioni alle differenze e Z - tempo discreto
  3. Sistemi Ibridi
• Simulazione
  • Matlab
  • Simulink
  • SIL/SCAPE
• Prototipazione
  • Arduino

Osservazioni

Diversi livelli di dettaglio, approssimazioni, diversi fenomeni trascurabili. A che livello voglio modellare la realtà?

Sistema della ruota di un auto

• L: Induttanza
• R: Resistenza
• C: Condensatore

Bond Graph indica un "flusso di potenza", dove R dissipa energia e O rappresenta la connessione fra i vari elementi.

Diagramma a blocchi

È un diagramma computazionale (insieme di equazioni) con ordine computazionale.

• Elementi:
  • Sommatorie: e₃ = e₁ - e₂
  • Punto di diramazione: e₂ = e₁ e e₃ = e₁
  • Blocchi di computazione:
    • Moltiplicazione: y = c · u
    • Integrazione: y = ∫u
    • Derivazione: y = d/dt(u(t))

Operazioni nel grafico

• Sommatoria: y = V₁ + V₂ + V₃
• V₁ = w₁
• V₂ = ^R/_C w₂
• V₃ = ¹/_L w₃
• w₁ = Cu = u
• w₂ = u
• w₃ = ∫z₃ = ∫u

Punto di diramazione

• z = z₃ = w₂ = u
• y = C · u + ^R/_L ∫u

Proprietà diagramma a blocchi

1. K₁ ċ K₂
2. K₁ + K₂
3. y = x + z
5. 1/k
6. y/z
7. x = y/k
8. y = r₂ ċ k₁/(1 - k₁k₂)

Dim 8

• y = k₁ ċ u
• u = r₂ + v
• v = k₂ ċ y = k₂ ċ (k₁ ċ u)
• u = r₂ + k₁k₂u
• r₂ = u (1 - k₁k₂)
• u = r₂/(1 - k₁k₂)
• y = r₂ ċ k₁/(1 - k₁k₂)

Grafici di flusso

Semplice diagramma a blocchi e rispettivo grafico di flusso:

• Nodo → Segnale
• Archi → Elaborazioni
• Più archi entranti su un nodo si sommano

Proprietà grafi di flusso

Voglio sdoppiare X₂ alternative.

Es. Semplificazione Grafo di Flusso:

• x₀
• a
• b
• c
• d
• e
• i
• f
• g
• h
• k
• x₁
• 1
• 2
• 3
• 4
• d(e + i)
• J
• 3f + d(e + Jc)
• m
• 5
• a
• mm
• -hm
• x₀
• x₁
• 7
• x₀
• a
• am
• a
• hmm

Formula di Mason

Per poter scrivere la formula di Mason abbiamo bisogno di alcuni elementi basati sul grafo dell’esempio precedente.

X₀ = input, X₁ = output

Dobbiamo trovare la trasferenza da X₀ a X₁.

Generale:

• Percorso tra due nodi
• Anello - parto da un nodo e torno sullo stesso
• ₁4 = {indici degli anelli del grafo}
• ₂4 = (indici delle coppie){anelli del grafo che non si toccano}
• ₃4 = triple (indici di...)
• P₂ = {indici dei percorsi}
• ₁i = (indici degli anelli che) (non toccano il) (percorso i ∈ P)
• ₂i = (indici delle coppie...)

Esempio

• P₁ = abcd
• P₂ = aed
• β₃ = abf
• A₁ = edh
• A₂ = bcdh
• A₃ = bfh
• A₄ = g
• ₁4 = {1, 2, 3, 4}
• ₂4 = {(1, 4)}
• ₃4 = {}
• P_i = {1, 2, 3}
• ₁1 = {}
• ₂1 = {4}
• ₃1 = {}

Tutti gli insiemi ₂i sono vuoti.

T = ¹/_Δ ∑_i∈P P_i Δ_i - Formula di Mason

Dove:

• Δ è il determinante del grafo
• P_i è la trasferenza del percorso
• Δ_i è il determinante del grafo senza il percorso i

Δ = 1 - ∑ A_i + ∑ A_iA_j - ∑ A_iA_jA_k + ... Nell'esempio...

Δ = 1 - (edh + bcdh + bkh + g) + (edhg)

Δ_i = 1 - ∑ A_h + ∑ Δ_hA_k - ... Nell'esempio...

• Δ₁ = 1
• Δ₃ = 1
• Δ₂ = 1-g

Nell'esempio...

T = ¹/_{1 - edh - bcdh - bkh - g + edhg} (abcd + (aed)(1 - g) + abcf)

Inversione di percorso

Es. 1

• x₀ e x₁ connessi direttamente
• V = b + cx₁
• Verifichiamo se sono uguali
• x_i = 2x₀ + d(bx₀ + cx₁)
• x₁ = a + bdx₀
• x₀ = ¹/_a x₁ - ^d/_a (bx₀ + cx₁)
• L_x0 = ^{1 - cd}/_{a + bd} x₁

Es. 2

• x₀ e x₁ separati
• Procedura
• Scelgo un percorso da x₀ a x₁
• Inverto i singoli percorsi
• Prima Inversione
• Seconda Inversione

Partitore di tensione

Resistenza → si oppone al passaggio di corrente

Tensione elettrica

Ingresso: l'altezza del partitore regola il passaggio di corrente. Non arriva corrente.

Leggi di Ohm

• V = RI
• V_IN = (R₁ + R₂)I → I = V_IN / (R₁ + R₂)
• V_OUT = R₂I = R₂ V_IN / (R₁ + R₂)
• V_OUT / V_IN = R₂ / (R₁ + R₂) → V_OUT < V_IN

Si può rappresentare anche scrivendo il grafo di flusso corrispondente:

• V₁ - V₂ = R₁ i₁
• V₀ = R₂ (i₁ - i₂)

Vogliamo che V sia una sorgente

Invertiamo il percorso

Potenza

• Accumulo
• Cinetica - I
• Potenziale - C
• Dissipo - R
• Produco
• S_E (Effort)
• S_F (Flow)
• Converto
• G_Y (Gyratore)
• T_F (Trasformatore)
• Sommo
• Φ (Effort Costante)
• Λ (Flow Costante)
• Potenza = e · f = effort · flow

Displacement = ∫₀^t f(ζ) dζ =: q(t)

Moment = ∫₀^t e(ζ) dζ =: p(t)

R (Dissipo, Potenza)

Scambi di potenza

1. Caso non lineare : { e = Φ_R(f) f = Φ_R^-1(e) }
2. Caso lineare : { e = R · f f = R^-1 · e }

Resistenza meccanica

• Traslazionale
• e ↔ Forza
• f ↔ Velocità
• Rotazionale
• e ↔ Coppia T:θ
• f ↔ Vel Ang. wb
• Elettrico
• e ↔ ΔVc
• Idraulico
• e ↔ Pressione: P
• f ↔ Portata Idraulica: Qd

F=R·V

τ=R·ω

e=R·i

(P₂-P₁)=R·Q

Cq = _CΦ_C(e)

e = ₁Φ_C(q)

ovvero

q = c · e

e = ₁^Cq

F = K (y₂ - y₁)

M = k (θ₁ - θ₂)

e = ₁^c q

q(t) = _t^∫₀i(t')dt

P(t) = ¹_{C t}^∫₀q(t')dt = ¹_C V(t)

_* Costante invertita → τ:c: ¹_K

Volume di un liquido

ovvero

Sorgenti di effort e flow

• 1-Port elements sono attivi
• 2-Port elements corrisponde

Trasformatore

Bond Graph:

• V_AB → k → V_CD
• f₁ ↓     ↓ f₂

k = ^V_CD/_VAB

V_AB: (i = V_CD : i₂)

^V_CD/_VAB = ^i₁/_i2

Non ammesso

Gyratore

Bond Graph:

• V_AB → GY → τ
• f₁ ↓     ↑ w

τ= k · i₁ → k = ^τ/_i1

V_AB = k · w → ¹/_k = ^w/_VAB

Differenze TF/GY

• TF
• e₁ → k → e₂
• f₁ ↓     ↓
• GY
• e₁ →    → e₂
• f₁ ← k → f₂

e₁ → k → e₂

3-Port

• 0-Junction (stesso e)
• 1-Junction (stesso f)

Relazione primaria

e₁ - e₂ = e₃

f₁ = f₂ = f₃

Relazione secondaria

e₁ = e₂ = e₃

f₁ + f₂ - f₃ = 0

differono dalle frecce-e₁ + e₂ - e₃ = 0

Procedimento per scrivere il bond graph

• V: E attivi (corrente da - A +)
• R E L C sono passivi (da + A -)

1. Trovare punti (nodi) con tensioni distinte
2. Associo ad essi 0-Junctions
3. Associo a tali 0-3 i componenti associati a tali tensioni
4. Trovare componenti che reagiscono a differenze di tensione
5. Piazzare il relativo componente del bond graph su una 1-junction
6. Indicare le potenze (le mezze frecce seguono il flusso)

7. R R :

   o----------o----------o----------o

   | | | |

   o S_e o C : o R : o

   `------1--------1´

   o----------o----------o----------o

   R-R1 I-L1

8. Eliminare i bond a potenza nulla (in particolare con e/f=0) (p.e R)
9. Semplificare il bond graph

es. --------------------- equivalente a -------------------

V₀ o S_e

| |-----------|

-----------|

| R : | C : G | L : L |

| R1 | 0 |----------R: R2

o-------| |------------|

Elementi per bond graph

• Traslazione meccanica
• Ammortizzatore
• Molla
• Massa
• Forze esterne
• Aggancio e sgancio di velocità
• Rotazione meccanica
• Cuffia direzione
• Molla di torsione
• Inerzia rotazione
• Coppia esterna
• Sorgenti e assorbenti di velocità angolare
• Circuiti elettrici
• Resistore
• Condensatore
• Induttore
• Batteria o sorgenti di tensione
• Sorgenti di corrente ideale
• Circuiti idraulici
• Valvola di ricircolo speciale
• Accumulatore
• Fluido
• Pompa di spostamento o sorgente di pressione
• Pompa centrifuga o fonti di flusso ideale
• Effort
• Trasformatore
• Leva
• Coppia ruota dentata
• Accoppiamento batteria
• Sorgenti di velocità angolari
• Flow
• R
• C
• I
• Effort
• Flow
• Transformer
• 0-Junc
• Somma delle velocità in un nodo
• Differenziatore (velocità angolari)
• Differenziatore velocità
• Somma _relativo (leva)
• 1-Junc
• Somma delle forze
• Somma della tensione intorno a un ciclo

Caso idraulico

• "Messa a terra"
• Semplifico componenti C/I

C: q = e

e: = ¹/_C q

I: p = e

e: = ¹/_I p

C →I ↔Componente R

e: = Rf

f: = R^-1 e

Giunzioni O/I

• O → e₁ + e₂ = e₃ = ... = e_m (Stesso sforzo)
• I → k₁ + k₂ = k₃ = ... = k_m (Stesso flusso)

TF e GY

• e₂ = k₁e₁
• e₂ = u₄e₁

Diagrammi a blocchi

• e ↑ l ↓ R ↑ k = R^-1 e
• l ↑ e ↓ R e: = Rf
• e ↑ G ↓
• k ↑ C ↑
• e ↑ C ↑ l ↓
• k ↑ I ↓
• I ↓ J ↑ k ↓
• e ↑

Caso idraulico

• Q1, Q2 → Sf
• Po → Se

δ= 0.5

Arduino

Lampeggiamento LED

Void setup() pinMode(x, OUTPUT);
Void loop()
digitalWrite(x, HIGH);
delay(1000); (Tempo di attesa)
digitalWrite(x, LOW);
delay(1000);

Funzione BLINK

Posizionamento LED

+GRND

Pin 5V

Cos'è la PWM?

Es:

• analogWrite(0) - 0% duty cycle
• analogWrite(127) - 50% duty cycle
• analogWrite(255) - 100% duty cycle

Funzione fade (varia la luminosità di un LED poco alla volta)

Es.

int led = x "n° del pin"
int brightness = 0 "Luminosità del LED"
int fadeAmount = 5 "Di quanto varia la luminosità"
Void setup():PinMode (led, OUTPUT);
Void loop():
analogWrite (led, brightness);
brightness = brightness + fadeAmount;
if (brightness == 0 || brightness == 255) {
fadeAmount = - fadeAmount;
}
delay (30);

Potentiometro

Handbraper effettuare azioni:

• 5V
• GRND
• |
• |
• Pin analogico

Arduino può convertire un segnale analogico (es. potentiometro) in segnale digitale. Il segnale analogico è letto come un numero che varia tra 0 e 1023, che corrispondono agli 0V e 5V.

Funzione per leggere un segnale analogico

Void setup() {
    Serial.begin(9600);
}
Void loop() {
    int sensorValue = analogRead (A0);
    Serial.println (sensorValue);
}