Appunti Fondamenti di automatica

Rappresentazioni della F.d.T.

Sistemi LTI - TC

Funzione di trasferimento razionale fratta (polinomiale)

con vincolo causalità:

b(s) ∈ a(s) grado

G(s) è un sistema proprio se ∂b(s)=∂a(s)=n.

È strettamente proprio se ∂b(s)≤∂a(s).

Se ho (A, B, C, D) → G(s)=c a g (sI−A) B + D

det(sI−A)

se p_i (o z_i ) è complesso

(s−p_i)(s−p_i) → (s² + 2εω_n s + ω²_n)

dove ω_n - pulsazione naturale; ε ∈ (-1; 1] coefficiente di smorzamento

Forma in costanti di tempo (o di Bode)

con τ_i = 1 _pi → il caso in cui p_i = 0 devo trattarlo a parte (lo faccio tramite il termine s^h)

K_B = guadagno di Bode di G(s)

Risposta Permanente nei Sistemi LTI

Y_g(s) = G(s)∙U(s)

u(t) uno segnali di interesse: costanti, esponenziali, polinomiali, trigon.,

e loro combinazioni lineari.

L U(s) = Q(s) / P(s) ∏(s-z_i) / ∏(s-p_i) ~~~ stessa forma di una fdt

z_i, p_i sono radici del polinomio al numeratore e al denominatore, non posso

parlare di poli o zeri, ma esse caratterizzano il segnale (s∙o = segnale costante,

multiplicità 2: rampa lineare, 3: rampa parabolica, s = jω = segnale sinusoid. con puls. ω)

Y_g(s) = b(s) Q(s) / ∏(s-P_i) ∏(s-p_i)

poli di G(s) ∫ singularità di U(s)

• Caso u(t) segnale persistente (segnali non divergenti, con trasf. di Laplace
• con singularità sull'asse immaginario, rimangono limitati ma non convergono a 0).

Segnali persistenti di interesse:

• segnali costanti (o rampe)
• funzioni armoniche (u(t) = A{sinωt / cosωt})

o loro comb. lin.

Hp.

G(s) BIBO-stabile (↔ Re[p_i] < 0) ~~~ uscita limitata nel tempo

Calcolando Y_f devo passare alla forma additiva e ottengo:

Separo una parte di Y_f che proviene da:

poli di G(s), e una parte che ha come singularità

dei singolarità dell'ingresso.

• H(s) + ⊕ K_j / (s-P_j)

→ Ho la garanzia che il termine "H(s)] = h(t) converge a 0 con Hp

di BIBO-stabilità per t-∞ e poiché Re[P_j] < 0.

È chiamato il termine TRANSITORIO (valore asintotico)

L'altro è un termine che con ingresso permanente e mantiene PERMANENTE

(cost. / armon.)

In uscita avrò un segnale dello stesso tipo di quello di ingresso

Risposta al gradino unitario

Vogliamo vedere il modo in cui l'uscita va verso il valore di regime. Posso farlo tramite dei parametri caratteristici:

• tr tempo di ritardo della risposta (non sempre presente)
• ts tempo di salita: serve per quantificare in quanto tempo l'uscita del sistema passa dal 10% al 90% del suo valore di regime.
• tp istante in cui si verifica il picco → serve per indicare per quanto tempo si sfrora il valore di regime.
• yp % = Yp - KB KB Massima sovraelongazione percentuale → capacità di smorzare
  • (accettabile fino a 30%)
• Yp Massima sovraelongazione
• ta tempo di assestamento: quando risposta entra nella fascia di tolleranza

Può essere molto lungo se il segnale è poco smorzato, anche se t_r piccolo.

SISTEMI I ORDINE

parametri K_B, ζ

Studio casi in cui K_B = 1 (per linearità lo trovo poi come costante di moltiplicazione)

• Grafico

“Frequenza di cross-over”

↓ fissata ω_τ

|G(jω)| dB

LF HF

• ω = 1/100   ω = 1/10   ω_τ = 1
• Decade   ω = 10   ω = 100

x = log₁₀ω

• L’errore di approssimazione è sempre < 3 dB, tranne in corrispondenza di ω_τ,

dove è pari a [3] dB. Perché per ω = ω_τ → ω_τ = 1 → |G(jω_τ)| = −20 log √2 = −3 dB,

che non è un grande errore → rappresentazione accettabile.

• Se avessi G(s) = 1 + sT (termo polo mal al numeratore), il grafico sarebbe
• simmetrico rispetto alle ... (^± 10 dB/dec )

- Se la molteplicità del polo è 2 _{(somma additiva)}, la pendenza delle parte lineare raddoppia, se è 3 triplica

|ω ̄

|−20 dB/dec   ↓ è la pendenza minima per un polo semplice

Significa avere un filtro passa-basso più efficace, ma anche l’errore raddoppia!

I poli (zeri) nell’origine causano diminuzione (aumento) da subito; quelli con cost. τ

hanno stesso andamento ma danno contributo di attenuazione (amplificazione) a partito da

ω_τ.

grafico continuo!

faccio tratti considerando 1/β/dec

andando avanti decade per decade su

-34 JB

cart. log.

L'approssimazione è abbastanza buona, tranne nel caso in cui i poli sono

troppo vicini - errori dei poli vicini.

Fase

term valida solo per f molto alte e molto basse

• Se uso la rappresentazione costante a tratti
• Approssimazione lineare a tratti

prendo la decade precedente e

reagisco ad ogni w=k!

due fermarsi alla decade precedente alla

2ª frequenza di taglio!

Il valore finale deve essere -π (somma dei contributi)

Se carta logaritmica:

Vorrei capire come cambiano le proprietà (stabilità, risposte) di un sistema quando interconnetto più sistemi.

Interconnessioni di sistemi lineari

F(.) è una relazione che stabilisce come y dipende da u.

Nel caso di blocchi lineari: dove K è il guadagno del blocco

K può essere inteso come fattori meccanici dinamici

Blocco lineare

per alimentare più blocchi con un segnale:

(non algebrica) Questa divisione da uno a più segnali è definita punto di diramazione

Se li voglio sommare algebricamente:

y = μ + ν

Giunzione sommatrice

1. se si sottrae

Interconnessioni:

Due o più blocchi interagiscono

Cascata:

L’uscita di uno è l’ingresso di un altro o connessione in serie

Si cerca il guadagno K_eq equivalente della cascata dei blocchi: y = y₂ = K₂ u₂ = K₂ y₁ = K₂ K₁ u₁ = K_eq u

Con le rappresentazioni di stato:

es. CASCATA

Devo trovare lo stato complessivo:

X = ^_[ X₁ ] ^_[ X₂ ]

( dim = n = n₁ + n₂ ) → vettore concatenato

y = C₂ X₂

Le matrici:

A = ^||[ A₁   0 ] ^||[ B₂C₁   A₂ ]

B = ^[ B₁ ^_[ 0 ]

C = ^[ 0 | C₂ ]

D = 0

Matrice triangolare a blocchi → λ(A) = λ(A₁) ∪ λ(A₂)

retroazione

G_eq(s) = G₁(s)

= N₁(s) - D₂(s)

Gli zeri di G_eq sono dati dagli zeri di G_i ∪ poli di (1)

[ Ẋ₁ = A₁X₁ + B₁(u - C₂Y₂) ]

Calcolo gli autovalori di A, non posso più ricavare stabilità dai sottosistemi.