Appunti Fondamenti di automatica

Forme

· Ap Cf: forma

De kip,

Kie, Ceffisente

kpe:

del

capacità di scambie

termica

8. Se del

Ai:

Temperatura

interme 9: colore

energie in ingresso

Ai

& Ap:Temperaturedelle pareti

fe:

Temperature esterna delle

CP: pareti

Capacite termica

Principio dell'emergla:

di conservazione

fit) kielfelts-fires)

If aes

+

=

Se le

considere pareti:

I fiz) Kip/Ops bit)) aE)

Ci +

-

=

Cpp/t) kip/eps-fit

kpebetS-ApS) -

=

Modello monocompartimentale

· iniezione farmaco

quantità del comportamento

nel

9 (m

ematico

-

d Ke= trasferimento dei

di

coefficente metabolici escretori

ed

processi

W

compartimento d somministrazione imdevemosor

ematico =

V didistribuzione

volume

=

eliminazione Ve concentrazione

a

W

I -(t) d(t) kep(t)

= -

9(t)

(t) = W rielaborazione delle specifice

stato

Uscita: case

ogni

per

.

Modello bicompartimentole

· ingestione imiezione da

de I ant) belts

kzan

keet)

- +

-

=

W

W compartimento 92(t) dz(t)

K1 k3qz(t)

k1q1(t)

tratto +

-

=

3 ematico

&estrointestimole 92(t)

C = W

eliminazione

eliminazione k3

va W

sistemen meccanico

· Fr

h · k.x

= -

F 3 Fp

K h.i

r · = -

vole

Bilancio forze:

le Fp

Fm

F

i

M. +

+

= I

=x

hi Fr

y.i xx - +

-

=

↑

E E

+

-

Sistemi dimarc

di

variabili d'uscitor

variabili

impresse SISTEMA 3

7 DINAMICO di

numero impressi

=

m

IR. Azioni der

E indipendente

VARIABILI sistemen

sul modo

INGRESSO:U compiute esse

DI in

di uscite

numero

p =

IR. del

del

TE Quante sistere di

comportamente interesse

VARIABILI USCITA: esame

DI i n é

le

Mello. tempe

del variabilidi di

dei certo

velove delle

NB: parte istante

assoluto ingresso

casi, crescenze

Meggior un

in

sufficente variabilidi

delle

determinare uscitor alle

volore istante

il stesse

Non è per di

stati

~mumere rovdimel

IR se bester

der

la del E permettere

XE Descrivere

STATO: i

interner

VARIABILI situazione modellere.

sistemen che

DI per

delle diingresso

metii

delle variabili variabili distente di

valori tempe

di

colcolo uscite e

variabili di

dimmico stato

tempo

sistemar continuo

a in

S f(x)t),vt),t)

+(t) >EQUAZIONE STATO

DI

= UIt),t)

/(t) g/x)t), ) TRASFORMATA USCITA

DI

=

x((0) 3 INIZIALE

x0 CONDIZIONE

= I single output)

imputsingle

SISTEMI M P 1

SISO = =

(multi output)

imput

multi 1

Me,

Mimo p

SISTEMA >

↓ Pesson diverse combinazioni(Sime,

esistere MISOS da

dipende

SISTEMA

STRETTAMENTEPROPRIO: man

Se u

a

da

dipende

SISTEMA u

PROPRIO:

3 Sef dipendone dor t

SISTEMA especitemente

INVARIANTE: mon

e g Rtv(t)

y(t) t ()

x +

=

e lineari

in

SISTEMA u

LINEARE:Se x

some

8

S xe(t) Ax(t) Burt)

+

= (se

-tempo t-verentel

t,

de

dipenebre

A, alleva

B, CeD

inveniente

/(t) Durt)

2x(t) +

=

Esempi

S y(t) 6x/t) A 6B 0c 0D 4

· =

=

= = =

/(t) 6u(t)

=

I i

T be vit)

y(t) 13x/t) 27wIt) ene l

· x

e

+ = t

=

= bz

+2

i2(t) 10x z(t)

= = +1 w(t)

27

P

1 3

x

- t

+2

x(t) S

18

D +2

xe

=

y(t) 15v7) 2x1(t) x2(t)

+ +

= d

y(t) vit)

1

*

22

c1 t

= +2

x vit)

15

1

21 t

= +2

SISTEMI A PARAMETRI

FINITA CONCENTRAT

DIMENSIONE O

Per finite

le sufficente

descrivere di

tempet

love of

situazione cioe

scolari,

interner numere

emescere un

è a

le componenti di

vettore

del stato x

A

SISTEMI DISTRIBUITI:

PARAMETRI

O

INFINITA

DIMENSIONE differenzine derivate

↳ rette alle

da

stato totali

parziali men

equazione e più

um

e

FORMULA LAGRANGE

DI dellor

dello

Il vit) toto

all'impresso definite dato

xite)

corrisponde alle

stato imiziela

movimento stato

e

per xo é

=

formula Lagrange:

di *

A(t

Art to) t0)

!

- - Ascolare

BUILDE

x(t) +e (m

ordine

2 13

Se

XB primo

a

= =

LIBER

MOVIMENTO FORZATO

MOVIMENTO

Il dell'usciton é:

movimento letrate

cetretox

frt) de

Bures auras

+ +

=

Esercizio

serbatoie l'apertura

Un Tramite

fluviale di

da

d'acque grock

alimentato istante riversare

canale

un i n

e

mo her

m

di Il ha

1 serbatoio. di

serbatore 5 med

ed

mel alto

acqua all'ever sezione 2 è

una umer

m

second

nel

perdite

di coefficente

serbatoio

al presente

livelle

volume ke

proporzionale b.2 rever

eceiver um

in del

S, determini le l'acquer

partemb serbatois traboccon

tememob

runto

se,

· apertor,

cam speciesca

e sempre

serbatois min

pi 1

= m

5 2

=

h 5m

= mirn

ke 0.2

= A Bures

E

I h

IkehrE) f(x)

(it) 7)

T

gpirz) kx

-

= =

= - +

se ,

pi

= ex+)

h() n

0 y(x)

= I =

= +(0)s

5,c

,B

A 1,D 0

-

= = = = vit) costante 1

= :

S +(t) 0.1x(t) 0.5vit)

+

-

= trabocco

x(t) men mai

M

/(t) xt)

= -

x(0) Wit)

0 1

=

=

formule

Uso Lagrange:

di (etrt -

efxrx Burt)dI

xt) +

= lixres s

=

1

jeert >

-

+(x) ·8.5v/2)b= [

=

-Geo

1

3. [ dI

0.5.1

e [ 3.1[

t

et rest

8.1

I

ne 1 =e.e.s.-

3. -

-

de e t es

- e i

1.5

e e -

0.1 I I 0.1)

e-

5/1 -

=

Si determini tole for

livelle chivelem alternatemente

può

· aprembe

se cui,

esistere I severai

per messa

um diregime

ogniore, verificer

si condizione

uma vit)

vit) M

M I

I >

> 3

3 t

t 2

2 1

1

vit) vit) ta

text

x(t) I

1

I

= =

S

B

-

* t

WES t

t2

+(2) &

xm i

i 3

=

=

-

X de

x((3) I i in

impongo

=

. . . [1 t2 [3

Studio due intervalli

i fette

A(tz (1)

-

x(tz) dI

w(I)

tras B

· e +

= Er

-et 1e

0.152 3.1 [

Tr 3.5bI

e + e

= [2

3.1&t 1.152 3.1 I

- é

0

.5

2 t C

- F S. 1 te

3.1t2 D.1[2 8.1 te

é?F -

3.5e e

t C

= . -

S. D.

1 1

élite1tr_e.15)

D. 1

- F 5

e t

=

I elet il

P =i se

31

Fr - +

e + -

= 1t2

3.

2

Fr

It

-8.1 -

X(tz)

x((3)

· e

=

I i))

↑

3.11t :ti 5/1

-

- +

C -

imm I

I é))

re

F +511

e

- -

I e2x bére- sére-es)=

é)

=- i

- = 2.35

+

- = 0.2)

-

-1 é

-

per

Sostituisce FM:

trovere

i il

il -3. 1

-3. 1 se

S

5/1

= i + 2.62

2.5.38

x 2 - - =

+ -

Principio effetti

di sistemi

degli Imerril

sovrapposizione

I x(t) Bu(t) l

Ax(t) xt) to

xt,

+ =

= =

,

/(t) Dv(t)

(x

(t)

= +

I xt) AxiE) xto)

Bult) xte

1 ESP: + =

= ,

(t) Dwrt)

(xt)

= +

I

E) Ito)

Bürt)

Aves x'te

20 ESP: + =

= .

Il (t) Dw"(t)

/(t) 2 x

= +

I

Y) Büt

AE t) x

3° Esp: x

+ =

= ,

lil Dv"(t)

((t)

/(t) = + 3

v"(t) ·"

Bu"rt)

vit)

2

= +

"to 2xt Br"(t)

x = +

La formule può

Lagrange effetti:

degli

sovrapposizione

visto

di

· le

essere

lettura

Arz-texes

+" ) de

+

C

= "

2x Bx

Equilibrio

(T) free, s xte

xts)

ries.

= =

y(t) g/xt),vt),t)

= movimenticostantinel

Dato vit) some D:

it)

tempe,

interessanti

costante i STATI

ovvere

imgresso

um = i =

F)

/I,

E USCITE

D I EQUILIBRO

S f(x,i) lo

é equilibrio

stato di

3 · a

assecreto

=

F g/i,i) punte equilibris

di

é

F, um

·

=

E semple Fr 0.5

4 1

= =

k n 1.1

W =

se ?

i

ke

M 3 0.33 =

=

n

I xi(t) x2(t)

= keter

Tart) rets

xerts wis

+

-

-

= M

y(t) xet)

= x2

i 0

equilibrie

veggio imponge

=> = =

W

E iz

1 = *π

bé k

3 f

- +

= -

W ex

ber 1

0 fi

= =

=

+

- ee.0.5

i 0.53 0.10

= =

F 0.5

F1

= =

Stabili te

f(x)t))+t)

↑(t) xe

= = se

Um tale

equilibrio tutti statiimizioli

Eco, she gli

esiste

dice STABILE xe

si Se ogni

per per

lorelazione

soddisfare

che è, IS e

tutti

re-FI lN-Il

II e

per a

Un dice

equilibrio stabile

INSTABILE

Se

si non é

+2 a Proprieté:

o

III I

I1X

· -

S locole

É

· 11Xt) E

Il

I ·

-

. . . . Impossibile de verificare

· baston

Um positive

sels

· case man

>

+1

Um im

dice meltre

stabile

equilibre F

* e

ASINTOTICAMENTE

STABILESe

si e

è - =

↑() a INSTABILE ASINTOTICAMENTE

STABILE

six

M ~

L

styles +

e rx

3

↓ INSTABILE

Stabilito

del sistema

Uno lineare instabile solo

stabile,

d.

stato stazionario

di sinteticamente stabile

equilibrio sistemen e

um se

e se

é e

di

tutti del

equilibrio sinteticamente stabili

sistemen stabili, instabili

rispettivamente

stati

ge: o

some e

stabilite:

di stabiliter, instabilità del

Si esimtoticon sisteme

parco o

A

uToVolori

A variabile

Better ad polimeme

matrice questrate

A

complesse, il

una

ume possone

si asseciere

mam

21m +

221m

+ amet

(11 A)

m4(X) det

di

caratteristice 2m

grade ... +

+

+

=

- 1

=

l'equazione caratteristica

e li

Le quest'ultime

dell'equazione di de

costituto

caratteristico A,

soluzioni diame Autovacomi se

si è

anche:coefficenti cemiugeti

2i quindi complessi

reali reali

autovelori

reali, gli some

numeri seme o

e

COPPI2

Du

TEREMA ~Sincere Tempo invariante ha

Um tulti; autovelori reale

Sisteme- parte

é solo

LT svai

ASINTONICAMENTE

STABILE se me

Se e

megativa

Win ha

dei

olmeme

sisteme INSTABILE reale

parte

autoveleri positive

suoi

Se

LI uno

è

Esempio

↑(t) 0

ex,a 0,a

ax x

= =

Grofiemenie Amplificamente

· ·

f(x)n xo

e

+(t) 5

INSTABILE

&D &>

=

X(t)a

&ID ASINTOTICAMENTE

STABILE =

E

0

e =

x 3x

x x

x

3

3) S

8 STABILE

0 To

= E F E

1

D T 7 t

Un tre

muller

autovelov: negative

sistemer gli

parte INSTABILE

III selo

reale

cam

con se

e

e se

e

Nal

muller olmere di

geometrice

meteplicato

reale queller

autovelor: ce

parte ne com

une mmere

cm Altrimenti

elgebrice/NA). stabile.

e 1

Tuti

ASINTATICAMENTE I =

STABILE 7

1

T 1

>

INSTABILE r 1

1 0

I 0

=

STABILE =

Esercizio

(r I i

B)

e

* x2

= =

x2

xz 0

D

= =

A D

AA S

S I

= =

S S

S S

12

1 1 11 =D

0

= =

= Na

A)NA B) x Ne

2 NA 2 &

= =

rg/11 A) 2

l

m e

2 No

No - -

- =

= =

= =

=>

NG SISTEMA

INSTABILE

NA NC

LINEARE NA

SISTEMA =)

=

Altro metodo: zie)

x(t)

A) x(t) B)

x(0) ke)

x

= +

= +2(t)

x2(t) xz/0)

xz(0)

= =

+2

+2 a

a 5 C

E o

- INSTABILE

· E

Fz ③.

Definizione re

STABILITA

di X((r) - -

x

x 1

*1 +1/)

1

1

*

Limeorizzazione nell'imtormo equilibrie

dium

Sistemer I

genevole meave:

men

fil frees, was sta te

=

↑(t) g(x)t),v(t))

= y,dr

exex

Sia x,err

di 0,e

f(x,u))

equilibue r

punto

, is x

um x

x

e -

- - -

= =

=

le variabili d'equilibrio.

di rispette

di

di

delle state, usciter veloce

al

ingresse

variazione, e

SVILUPPO SERIE

IN TAYLOR

D I +e

Gy(vit)

f(y,j) 6f(xx)

ext) f(x),vex) i) i)

f(t) + -

+

-

=

= = Gx E

F

x

" =

=

V

s

perché,

pio di 29.

é

ext) dit) 6f +

ex

x

xt) =

-

=

↓ *

IE i n

A B

Sf(x) f(t) F

= - de

6

-3(x,) is

ruies I

x -

+ -

+ zu x

x =

=

= U

r F

dee

+

=F + -

zu x

x =

=

U

I I

C D

Supponem fee Taplen

sufficentemente di

che rispette

regolari, suluppate serie

sine in

posseme essere

esse

e =

x

eu(mx

0 v

x =

S, ottiene il limerizzato:

cosi sistema

I ·exto)

ext) Beu(t)

18x exe

t) + =

=

f(x) (ext) bw(t)

+

=

com 6

-x B

A =

x =E

i

r =

68 4

C D =

=

= =

6 =

x Va

1.1 F

Tr

W NL 6

↳

I 3

i i I

E

E +(3) x

= ↑N

/NL >

W unise

userne

r

I

I >

- 3

E

Su / >

3 LINEAR12. t -

5 x

x10)

=

x -

I D

-

TEDREMA di

all'impresse

relative gli

EQUILIBRICI,

LO i, sistere.

STATO ASINTOTICAMENTE

STABILESE TUT

un

DI Ne è

hame

del corrispondente reale

autovelori sistener NEGATiv

LINEARzInte parte

Mentre ha

degli reale

autovaloridel

INSTABILE

é positiva

un sistener parte

S e LINEARILTD

Esercizi I

fry(t)

4 2(t)

1 x

= =

n 1.1

= k text)

W by

frart)

mes wit

ke 4

0.33 3

M = -

h +

-

= M

9f(t) xt)

=

C

X 1

Trovere lo

limeorizzate di equilibri

dei

stabilità 0.5

il analizzare F1

sistemer punti

e com =

↓ ↓ F1 I

=

Sol

dipeme

tutte

servono Fr

le A 2

da

matrici =

o

Definire

1 limerizzato

Equazioni del

2 Matrici

3 autoratori

e

Stabilito

4 dei equilibrio

punti di

~

x Sr or F

,ex2 I i

x v

x r

xz -

- =

-

- =

= = I

-collate 1e

pag. - 0.5

X

3.1 -

-

I Si px

Bev x

Aox 1

= + = Oxz

Dér

Pr cx +

=

G e ofe

dx ex ex Or

+

= Ju

6f bfzu

6fdx

ex

3x2 +

+

= Uxz Gu

2x1

6ex (ex de en

ex +

+

= su

I 08x 18x2

di 0

+

+

= (-vetsre-weeter

fi- et e

+ S

A B D

D 1

S C

I D

- =

= = I

M

-

) et

-Lor- he

-

In le

generate, metric, some: C

↓fe

A I Se 4

Fr

fe D

c

B fe B

=

= e

= 3

-

- -

-

6

8 z

x

1

x 6fz

6fz F2 Ifz Fz ↓ ↓

↓

- -

↓x 1 Ju

1 2 W

+2

*

x 1

↓

↓ ↓

2

x W

+

Amelizas A:

le matrice

ever

A D I

= * 0.33 1.1

é - -

0.33

F 0.5

· = 1

1 e11

A det(x 0.1

1

A)

D I =

-

= +

+

- = 0.11

8.1 1.1 1.1

- - + 1

terz 1

c = -

1 0.1

2 -

=

Me, te D

↓ AS. STABILE

SISTEMA

LIN.

Il punto di AS.

equilibre STABILE

é

F1 Triangolare

l

· superiore

= ~ 1 0

A I

S &

= = linee.

sistema SEMPLICEMENTE

=> STABILE

1c 11

· -

=

I 1.1 equilibrie

Non multe sul punto di

- so

Yz D

2

· PRODOTTO D

SONA;

= I M

0.0447

1 1

det(1

A 4(x)

A) 1.11

0 1

I - = =

=> =

-

= = de

-0.86677 D

·

8.1447 sistema

INSTABILE

1.1 PUMTS

1.1 = >

- + -

tz 0

= IN

· STABILE

Criters degli

sugli autovalori calcolo autovelori

il

senza

Dato caratteristice:

polimone

il 4254 +

Yes -

Yeg 4

4m-S em

4/3) D

+ *

+

+

+

= ---

Se hone

exefficenti del

ASINTOTICAMENTE

il allova: pelimomie

hi,

sistema caratteristice

i.e....m

e STABILE,

(condizione necessarial

tutti

lo stesse solo

segme la sufficiente

anche

condizione

mel m

NB: é

m 2,

caso 1

=1 =

Criterio di Hurwitz

Rorth - 425M- +

Geg** Ye

Yeg

Deto 4m-S

4/3) Dm =

+

+ +

+

= ---

Le Routh

Tabeller costruito del possiede

di dai

coefficenti Esser righe

polimente caratteristice.

partire

è may

a li he him

let

42

Do 4 1

-

=

. . . ki

ke 1

+

45---

41 43 -hite-herkite)

I he he

he Ke

. . .

k2 k3

k1 ...

12

le 13 ... Routh

le

Imeltre, tabeller

che E

risulter di

dice

me BEN

si New

e,

se DEFINITA

=

Teorema la tabelle

I Routh

di relative e

of

selo

sistema ASINTOTICAMENTE polimerie

STABILE sue

se

S e

e e hame

ben definitor delle

tutti stesse

lo

colommer

gli elementi primer

e segme

sue

Esempio

15 B)5 (1 B

2)S 2

12

415) M righe

4

3

+

+ + .

+

+ + =

= 4 4, 42 43

h

1 2

1

l + le I 2

1

det

1

= +

-

B B

B B

B2

2 2

2 k

2 2

+

+ + +

+

1 2))

D

32(B 12 B)(1

B

2 - 1.2

+ +

-

- + +

-

B

2 B

+ 2 +

D

B

42 + zB)))

12 B B

z 4

I - - -

- -

+

B

2 + z"

1/2 z)

4

- -

- -

+

2

I 2 e)

12,1 B 4B

B 2(

2 d 2

det

!2 + 2 2

+

+ +

= - +

+ -

= B

1 +

S 2

2(B 2

2

+ +

-

B

2 +

B

2 +

2A 2rB) B

B). 2

12 2

+ + -

= +

. =

1 24

21 B

2

+ -

Bc0

2 Bc

· z

+ = -

1)2

2(B > 2

· +

Bc 2

· - e)

Bx 21Bx

z1z( 2

· + -

-

Riprendents formule eventi

for di

X(t) utente

e

=

to 1

= We

I

ett=

A: diagemole

comode

se

Rappresentazioni equivalenti

Dato sistema:

um (i

Voglion

I ix

3 +B

Ax|t) Burt)

y(t) u

ottenere

+ =

= > 2x Br

y(t) 2x(t) X

Durt) =

+ +

= IR*** di come:

Si TE state

simgolare vettore

matrice definisce

consideri costante I

mon si

ume um

e muove

*(t) Tx(t)

= (t)

-

+(t) T

=

f(+) T/Ax) +

TAT Buil

Buit)

Tyt) + =

=

= * ET Evit

+

= B

Tx

X(x) Cx 11) Dves Gu

=

+ +

=

Abbiamo che:

= 1 1

- -

e T

TAT ·

· =

·B B

TB D

·

= =

I, B)

B,

Il C, mel

equivalente vitl,

/A,

of che

sistemen

sisteme. C,

B, DC

è impresse

sense per un

Ye

legati

due te

tae, Tre,

delle delle

stati comizione state

monment

iniziali