Appunti di Analisi matematica 1 su come passare dal grafico alla derivata

M

avro

è =>

Qui costante asintoto

↓ oblique

- - - - - - -

F(x)

Fino ad

· X 1

è perché

crescente

e

f'(x) + 7

F(x)e

Da xx2

· perché -

f'(x) e

c'è

In X1

· staz.

un p .

in di

questo MAX

caso

prima

perché d

poi

funz

Integrando una

· diventa

sale concava

che l'alto

verso Fino axz

.

wh

Sarà U

concava Da X3

.

fino Ya

sale

a X1 piangen do

poiscende piangendo Flesso

Se integriamo

· può

max

un essere

flesso

un -

Studio funzione

1. ASINTOTI

• Prima conviene calcolare gli asintoti verticali facendo tendere la x verso i punti di discontinuita' della funzione

(punti in cui la funzione non è continua); se il valore del limite vale infinito esiste l'asintoto verticale ed allora

conviene anche calcolare il limite destro e sinistro nei punti

• Si passa poi a determinare, se esistono, gli asintoti orizzontali od obliqui facendo il limite della funzione per x

tendente ad infinito

PUNTI DI

DISCONTINUITÀ Questa definizione presuppone che per avere la

è

funzione lim

CONTINUA f(Xo)

f(x)

una se

· = continuità in un punto siano verificate 3 condizioni:

X X0

>

- 1. Il punto in questione deve appartenere al dominio della funzione, deve esistere f(Xo)

2. Esiste il limite che tende a Xo della funzione

Se non è verificata 3. Il

abbiamo risultato

PDD del limite deve essere il valore che la funzione assume nel punto

Una funzione si dice discontinua in Xo se:

• Xo è un punto di accumulazione (buchi del dominio, che di solito togliamo perché li la funzione non è definita ma esiste ovunque li

intorno) del dominio che non appartiene al dominio PACC

• Xo è un punto del dominio in cui: es

7 mai

7)

lim da f(x)

f(x) =

0 .

.

= ; ;

X Xo

>

- : è

* Xché

O funz

P la

A

un

y = .

.

è definita in

non (si

o definita

, è

annullerebbe) ma

O ja

... Subito ovunque

prima e dopo

Lin Qualunque INTORNO

2. CALCOLO LA DERIVATA PRIMA —> Si calcola la derivata prima per poter poi individuare la crescenza e la

decrescenza della funzione ed anche i massimi ed i minimi

Fatta la derivata della funzione la si pone maggiore di zero: nell'intervallo dove la diseguaglianza e' verificata

avremo che la funzione e' crescente mentre dove non e' verificata la funzione sara' decrescente. Se in un

intervallo la derivata e' positiva allora nell'intervallo la funzione sara' crescente; se invece nell' intervallo la

derivata e' negativa allora la funzione sara' decrescente

quindi da meno infinito fino a zero avremo che la funzione

x - 4

esempio y

: = sara' decrescente (cioe' il suo grafico va dall'alto verso il

basso) mentre per x > 0 la funzione sara' crescente (il grafico

Y' 2x30

2x per

f'(x)3O > o

= - andra' dal basso verso l'alto)

Per cercare i punti di MASSIMO e MINIMO pongo la DERIVATA PRIMA = 0. f’(x) = 0

COME CAPIRE SE È UN MASSIMO o MINIMO:

1. Analizzo la crescenza / decrescenza della derivata prima f’(x) nell’intorno di X0

• se la f’(x) prima è crescente poi decrescente —> abbiamo minimo relativo

• se la f’(x) è decrescente poi crescente —> massimo relativo

2. CALCOLO LA DERIVATA SECONDA (nell’intorno X0): f(x) 0

=

0)

(e

Sef" (x) 0 =

= MINIMO

· -

f"(x10

se Massimo

>

· =

x2f'(x)

f(x)

esempio 2X

=

: =

f'(x) 0x 0

=

· =

2 230 MINIMO

f"(x) >

· =

=

3. CALCOLO LA DERIVATA SECONDA— > Si calcola la derivata seconda per poter poi individuare la

concavita' o la convessita' della funzione ed anche i punti di flesso

f"(x) punti concavital

0 FLESSO /Cambio

di

· =

f"(x) alto

La

la Verso

conc

funz

O

· .

.

f"(x) O 19 fURZ

· .

In(x 1)

+

f(x)

esempio : = 1)

In(x

2 +

-

- 1)

-In(x X

Dominio -2 +0 130

+

: +

(n(x 2x

1) + 1

+ -

ed

x+1 +

92

+

X 1

-

(n(x 1)

+

f(x) f(x)

· = 1)

In(x

2 +

-

- 1 (In(x

* 1))

)

( 1n(x +

2 + +

+ - +

x

- ( 11]2

In(x

2 +

- - 1)

(

+ -

1)

2 + 2

X + 1 --

- 13]2

1)]2 (2

[2 (n(x

17

(x +

in(x +

+ +

+ .

ERAI

+" (x)

· = all3

+ (In(x 4)

2 1)

+ +

(In(x 4)

2 1)

+ + 0

1)(3)

O

= 1)2 (2

(x 1n(x

+ +

1))3 +

1)2 (2

(x 1n(x

+ .

+

+

. 11330

2(n(x 1)2

(In(x in(x

(2

1) 4)

4

2 0 > 0

+

+ +

+ +

1 (x +

+

= .

In(x 4

1) 4

1))

in(x ↓

+ +

= - - sempre

4 4

-

-

e

x+ 1)e

+

1 x

= t 1))3)0

" 4 (2

- (m(x

- 1

x

1

e >e

X + +

-

= - In(x 1))0

2 +

+ 2

e

1)

+

x

"

i =

e 2

-

1 x3e 1

1

- -

-

A t

↓ X

= ⑧ = I

+ E

C . .