Appunti per passare l'esame di Analisi Matematica 1

TEORIA ANALISI

• Disuguaglianza di Bernoulli :

∀ h ≥ -1

∀ n ∈ ℕ

DIM per induzione :

1. n = 0 → (1 + h)ⁿ ≥ 1 + 0 → 1 ≥ 1 ok!
2. suppongo vera ∀ n
3. dimostro per (n + 1) → (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + h(n + 1)

(1 + h)ⁿ⁺¹ = (1 + h)ⁿ ⋅ (1 + h)

≥ (1 + h)ⁿ ⋅ (1 + h) = 1 + h + h(n) + h²n

= 1 + n⋅h + nh²

⇒ (1 + h)ⁿ ≥ (1 + n)⋅h

Fattoriale: (n + 1)! = (n + 1)⋅n! (def.)

Coefficiente binomiale:

ⁿC_k = ⁿ! / k!(n-k)! (def.)

Binomio di Newton

(a + b)ⁿ = ∑_k=0^{n n}C_k a^n-k b^k

coefficiente binomiale

DIM per induzione:

1. n = 0 → (a + b)⁰ = ∑_k=0⁰ a⁰ b⁰ → 1 = 1 ok!
2. suppondo vera ∀ n
3. dimostro per (n + 1) :

(a + b)ⁿ⁺¹ : (a + b)ⁿ ⋅ (a + b) = (a + b)ⁿ⁺¹ = ∑_k=0^{n+1 n+1}C_k a^n+1-k b^k

= ∑_k=0^{n n}C_k a^n-k b^k + ∑_k=0^{n n}C_k-1 a^n-k+1 b^k

= ⁿC₀ aⁿ b⁰ + Σ_k=1^{n n}C_k a^n-k b^k + Σ_k=0^{n n}C_k-1 a^n-k+1 b^k

= ⁿ⁺¹C₀ aⁿ⁺¹ b⁰ + Σ_k=1^{n n}C_k a^n-k b^k + Σ_k=0^{n+1 n+1}C_k-1 a^n+1-k b^k + Σ_k=1^{n n}C_k-1 a^n-k b^k

⇒ (a + b)ⁿ⁺¹ = Σ_k=0^{n+1 n+1}C_k a^n+1-k b^k

Numeri reali:

DIM per assurdo : √2 ∈ ℚ (th)

x ∈ ℚ ⇒ x = m/n m, n ∈ ℕ primi tra loro

√2 = m/n

⇒ 2 = m²/n²

⇒ m² = 2n²

m² è elevato a potenza dispari, quindi è puro assurdo.

x ∈ ℚ ∪ ℝ

Valore assoluto: |a| = {a se a ≥ 0

{-a se a < 0}

Assioma di Deedkind: A, B ∈ ℝ : a ≤ b

∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B ⇒ ∃ c ∈ ℝ a ≤ c ≤ b

(ℝ ins completo)

Maggiorante: dato A ⊆ ℝ, M ∈ ℝ :

∀ a ∈ A a ≤ M

Minorante: dato A ⊆ ℝ, m ∈ ℝ :

∀ a ∈ A m ≤ a

- Un insieme A è superiormente limitato se esiste almeno un maggiorante.

- Si dice inferiormente limitato se esiste almeno un minorante.

- Un insieme si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Massimo: di A è il maggiorante M che appartiene ad A;

se non appartiene viene chiamato estremo superiore.

Minimo: (di A) è il minorante m che ∈ A;

se non appartiene perdela il nome di estremo inferiore.

Numeri complessi, ins: ℂ :

unità immaginaria i = √-1

i⁰ = 1 i¹ = i i² = -1 i³ = -i

Forma algebrica: z = (affissa) + xi∙iy

goniometrica: z = p(cosθ + i∙senθ)

Formule di Eulero (forma esponenziale): z = p∙e^iθ

e^iθ = cosθ + i∙senθ

e^i∙π = -1 + 0 (Eulero)

2) permanenza del segno

se lim_x→x0 f(x) = l ≠ 0

• ∃ U(x₀)/ ∀ x ∈ U - {x₀} → f(x) assume valori dello stesso segno del limite

DIM: dimostriamo per l > 0

• per definizione di lim: ∀ ε > 0 ∃ U(x₀)/ ∀ x ∈ U - {x₀}
• quindi | f(x) - l | < ε i con ε arbitrario → ε = ^l/₂
• ⇒ l - ^l/₂ < f(x) < l + ^l/₂ ⇒ f(x) ≈ l
• per hp l ≥ 0 quindi ^l/₂ > 0 ⇒ f(x) > 0

3) teorema del confronto

siano f(x), h(x) e g(x) definite almeno nello stesso insieme A

siano x₀ ∈ A e h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

lim_x→x0 h(x) = lim_x→x0 g(x) = l

⇒ lim_x→x0 f(x) = l

DIM: lim_x→x0 h(x) = l

• ∀ ε > 0 ∃ U₁(x₀)/ ∀ x ∈ U - {x₀}
• l - ε < h(x) < l + ε

lim_x→x0 g(x) = l

• ∀ ε > 0 ∃ U₂(x₀)/ ∀ x ∈ U₂ - {x₀}
• l - ε < g(x) < l + ε

Imp U = U₁ ∩ U₂ valgono entrambe e per h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

⇒ l - ε < h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) < l + ε

⇒ lim_x→x0 f(x) = l

• Continuità della funzione: f(x) continua in x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀)
• a) lim_x→x0 f(x) ; b) ∃ lim _x0 f(x) ; c) ∃ f(x₀)
• a = b = c

• Teorema dei valori intermedi: sia f : A ⊆ R = R continua in [a, b]
• a) la f(x) assume tutti i valori compresi fra inf e sup della f(x) con x ∈ A

III corollario

Siano f(x) e g(x) due funzioni:

• definite in _[a;b]
• continue in _[a;b]
• derivabili in _(a;b)

DIM: per ipotesi h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0

per il corollario h(x) = costante ⇒ f(x) - g(x) = c

Teorema di Cauchy

Siano f(x) e g(x) due funzioni:

• definite in _[a;b]
• continue in _[a;b]
• derivabili in _(a;b)

g'(x) ≠ 0 ∀ x∈(a;b)

Teorema di de l'Hopital

Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un intervallo I con x₀∈I

• continue in _{I \ {x0}}
• derivabili in _{I \ {x0}}

⇒ lim_x→x0 f(x)/g(x)

• f(x) ≈ T_n(x) + o((x-x₀)ⁿ)
• T_n(x) = ∑ f^(k)(x₀)/(k!) (x-x₀)^k

DIM: per T₂(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f"(x₀)(x-x₀)²/2

x → 0

f(x) = ¹/_xⁿ n ≤ 1

f(x) = ¹/_{xⁿ log^m x} n ≤ 1 ∀ m

n = 1 m ≥ 1

x → x_o

f(x) 1 n ≤ 4

(x-x_o)ⁿ