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TEORIA ANALISI

  • Disuguaglianza di Bernoulli : ∀h,h > -1 ⇒ (1+h)n ≥ 1+n∙h ∀n,n ≥ 0

DIM per induzione :

  1. n = 0 → (1+h)0 ≥ 1+0 → 1 ≥ 1 ok!
  2. suppongo vera ∀n
  3. dimostro per (n+1) → (1+h)n+1 ≥ 1+h∙(n+1)

(1+h)n+1 = (1+h)n∙(1+h)

> (1+h∙n)∙(1+h) = 1+h∙k + h∙n + h2∙n

= 1+(n+1)h + nh2

⇒ (1+h)n+1 ≥ 1+(n+1)h

  • Fattoriale : (n+1)! = (n+1)∙n! (def.)
  • Coefficiente binomiale : nCk = n!⁄k!(n-k)! (def.)
  • Binomio di Newton :

(a+b)n = ∑k=0n nCk an-k bk (coefficiente binomiale)

DIM per induzione :

  1. n = 0 → (a+b)0 = ∑k=00 0Ck a0 b0 → 1 = 1 ok!
  2. suppongo vera ∀n
  3. dimostro per (n+1) : (a+b)n+1 = (a+b)∙(a+b)n

(a∙b)n+1

(a+b)∑k=0nnCk an-k bk = (a+b) ∑k=0nnCk an-k bk

= ∑k=0n nCk a an-k bk + ∑k=0n nCk an-k b bk

= ∑k=0nnCk an-(k-1) bk

termine k=0

= ∑k=1n nCk an+1-k bk + ∑k=1n+1 nCk-1 an+1-k bk

termine k=(n+1)

= 0Ck an+1 b0 + nC1 an b1 + ∑k=1n nCk an+1-k bk + ∑k=1n+1 nCk-1 an+1-k bk = n+1Cn+1 a0 bn+1

(nCk + nCk-1)

= ∑k=0n+1 (n+1)Ck an+1-k bk

Teoria Analisi

  • Disuguaglianza di Bernoulli:
    • ∀h,h ≥ -1
    • ∀n,n ≥ 0

DIM per induzione

  1. n = 0 → (1+h)0 ≥ 1 + 0 → 1 ≥ 1 ok!
  2. Suppongo vera ∀n
  3. Dimostro per (n+1) → (1+h)n+1 ≥ 1 + h(n+1)

(1 + h)n+1 = (1 + h)n(1 + h)

  • > (1 + h)n(1 + h) = 1 + h + hn + h2n
  • = 1 + (n+1)h + nh2
  • > 1 + (n+1)h

=> (1 + h)n+1 ≥ 1 + (n+1)h

  • Fattoriale: (n+1)! = (n+1)n! (def.)
  • Coefficiente binomiale:
    • (nk) = n! / k!(n-k)! (def.)
  • Binomio di Newton:

(a+b)n = ∑k=0n(nk)an-kbk coefficiente binomiale

DIM per induzione

  1. n = 0 → (a+b)0 = ∑k=00(0k)a0b0 → 1 = 1 ok!
  2. Suppongo vera ∀n
  3. Dimostro per (n+1) : (a+b)n+1

(a+b)(a+b)n = (a+b)n+1 = ∑k=0n(nk)an-kbk(a+b)

= ∑k=0n(nk)an-kbka + ∑k=0n(nk)an-kbkb

termine k=0

= ∑k=0n(nk)an+1-kbk+a ∑k=0n(nk)an-kbk+1

  • = (0)an+1b0 + ∑k=1n(nk)an+1-kbk +(n+1k)ab + (nn+1)an+1-kbk

=> (a+b)n+1 = ∑k=0n+1(n+1k)an+1-kbk

  • Numeri reali:

DIM per assurdo: 2 ∈ Q (th)

x ∈ Q → x = ½, m primi fra loro → 2 = m2 ⁄ n2

→ m2 = 2*n2 - 2 è elevato a potenza dispari, quindi l'ipotesi

assurda è assurda

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Nirvish di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Vegni Federico Mario Giovanni.
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