Appunti argomenti teoria Analisi matematica 1

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Insiemi

famiglia di elementi

Natuali N: {1, 2, 3, 4, ..., n, ...}

Reali Z: {0, ±1, ±2, ±3, ...}

Razionali Q: {^m⁄_n, m ∈ Z, n ∈ N }

x ∈ A

y ∈ A

X ∈ A ∀ x ∈ X ∧ x ∈ B

A ∪ B: {X: X ∈ A ∨ X ∈ B} → unione

A ∩ B: {X: X ∈ A ∧ X ∈ B} → intersezione

Dati due insiemi A e B si dice che A e contenuto in B, o che A e sottoinsieme di B, se ogni elemento di A appartiene anche a B

Teorema del conteggio delle parti

Un universo B con n elementi ha 2ⁿ sottoinsiemi → #P(B) = 2ⁿ=B

I sottoinsiemi di B possono o non possono contenere e. Quelli che non contengono e, corrispondono ai sottoinsiemi di A, se invece lo contengonosi aggiunge e elementi ad ogni sottoinsieme di B. Allora i sottoinsiemi di B sono il doppio di A

#P(A)

• 0: 1=2⁰
• 1: 2=2¹
• 2: 4=2²
• 3: 8=2³

Unione

A ∪ B

Intersezione

A ∩ B

Differenza

A ∖ B

AB = {X: X ∈ A ∧ X ∉ B}

Complementarieta

B ∖ A

2 Assioni

[Numeri Naturali]

• si deve sempre partire da 1
• dato un numero esiste sempre un successivo
• tutto e successivo ad alcun numero
• numeri diversi hanno successori diversi

Se un numero A e contenuto in N, e verifica le seguenti proprieta:

• a) 1 ∈ A
• b) Se ∀ x ∈ A alloa anche il successivo di n appartiene ad A

Allora A coincide con N

Principio di Induzione

1 + 2 + 3 + ... + n = 1 ⋅ (n + 1)⁄₂

1. Verifica per 1 c.u.

1 ⋅ 1 ⋅ (1 + 1)⁄₂

1. Suppongo vera per 1c.a.

1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)⁄₂

• Dimostro che vale per k + 1h
• P: (k + 1): 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)⁄₂

(k+1)(k+1 + 1)⁄₂ = k(k + 1)⁄₂ + (k + 1)

(k+1)(k+1 + 1)⁄₂ = (k(k + 1) + k + 1)⁄₂

Ho ottenuto l'uguaglianza

P(k+1) vale ∀ k ∈ N

Numeri Reali R

R è un campo ordinato, archimedeo, continuo/completo

Per ogni coppia di classi contigue A, B ∈ R esiste un unico elemento separatore C ∈ R tale che a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A ∀b ∈ B

N.B. Nel caso l'elemento separatore facesse parte di Q, l'assioma non sarebbe valido perchè C ∈ R.

Sostituivoli di R

INTERVALLI

• [a,b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} → chiuso e limitato
• ]a,b] = {x ∈ R| a < x ≤ b} → aperto e limitato
• L'insieme del minorante
• L'insieme del maggiorante

Proprietà Archimedea

• Dim.: (dimostrazione per assurdo)

Teorema di Esistenza Estremo Superiore

Sia A ∈ R, A ≠ ∅ e A è superiormente limitato, allora ∃ Sup A ∈ R.

• 1) A superiormente limitato → ∃ maggiorante di A

Teorema di successioni compatte intercalati

• Se l'intervallo di successori, allora I_i ∈ [a,b] e I_i⊆I_i₊₁

(B) Limiti

Limite finito per x₀ che tende ad un valore finito

• Sia f: D → R una funzione e x₀ un punto di accumulazione per D (dominio di f), si dice che l_⚡R
• x → x₀, se ∀^ε>0 ∃δεR⁺:

x ∈ D_ƒ{x₀} ¹[ƒ(x)-ℓ]^ӛ0 ∃δε:∀^|x|>M ¹f(x)&nius;

Limite infinito per x che tende ad un valore finito

• a) Se ∀^ε>0 ∃δε:∀^|x|Nӛ
• b) Se ∀^ε₀:∀|ƒ(x)|>m
• c) Se ∀^ε>0:

Limite destro e limite sinistro

• definire accadernere esposto

Operazioni con limiti e forme indeterminate

1. Operazioni di prodotto
2. Somma e differenza
3. Quoziente
4. Quoziente
5. Quoziente e differenza
6. Composizione per legge di piν

Limiti notevoli

1. x₀→0
2. lim_x→0_0 → ää
3. lim_x→0 log xx= 1→

Funzioni Convessse

Data una funzione f: [a,b] → R si definisce epigrafico di f l'insieme F dei punti del piano che stanno al di sopra del grafico.

Si dice convessa quando, considerati due suoi qualsiasi, i punti, tutto il segmento che li congiunge è < diretto all'insieme.

se f < convessa allora f > concava

Punto di Flesso

Se f una funzione definita in [a,b] sia x₀ < [a,b] ed esista f'(x₀).

si dice il punto di flesso per f se nel suo intorno destro esista un intorno sinistro [f'(x₀) = 0].

De L'Hopital

Se g è una funzione derivabile in ]a,b[\{x₀} e tale da lim_x→x0 f(x)/g(x) = l, con l finito o infinito.

• Eseguita la derivata di f(x) con g(x) ed esiste il tratto in cui: lim_x→x0 f'(x)=g'(x), allora esiste anche il tratto in cui.
• E l'uguaglianza: lim_x→x0 f(x)/g(x) = lim_x→x0 f'(x)/g'(x)

Risultati dei limiti notevoli

• lim_x→∞ x/e^x = 0