Appunti per passare l'esame di Analisi Matematica 1

TEORIA ANALISI

• Disuguaglianza di Bernoulli: ∀ h ≥ -1 ∀ n > 0 ⇒ (1 + h)ⁿ ≥ 1 + n h

DIM per induzione

1. n = 0 → (1 + h)⁰ ≥ 1 + 0 → 1 ≥ 1 ok!
2. suppongo vera ∀ n
3. dimostro per (n + 1) → (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + h (n + 1)

(1 + h)ⁿ⁺¹ = (1 + h)ⁿ ⋅ (1 + h)

≥ (1 + h ⋅ n) ⋅ (1 + h) = 1 + h + h n + h² n

= 1 + (n n⋅h) h + n h²

⇒ (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1) h

• Fattoriale: (n + 1)! = (n + 1) n! (def.)
• Coefficiente binomiale: ⁿC_k = ⁿC_k = ⁿC₀ = ⁿC_k = ⁿC_k
• Binomio di Newton

(a + b)ⁿ = ∑_k=0 ⁿC_k a^n-k ⋅ k

DIM per induzione:

1. n = 0 → (a + b) = ∑_k=0 ⁰C₀ a^b → 1 ⋅ 1 = 1 ok!
2. suppongo vera ∀ n
3. dimostro per (n + 1) : (a + b)ⁿ⁺¹ = ∑_k=0 (n + 1)^{· n}C₀ ⋅ (b)

(a + b)ⁿ⁺¹ = (a + b) (a + b)ⁿ

(a + b) (a + b) ⋅ (a + b) = ∑_k=0 (n)^{· k}a^n-k

= ∑_k=0 ⁿC_k a ⋅ b ⋅ n! ‹br>+ a ⋅ (b) <sup>k+1</sub>

termine k = 0

(a) (a + b) = ∑_k=0 (n)^· (k)^⋅ ₀

<br>= ∑_k=1 (k)⁻ ₁ a (b) + ∑_j=n+1 (a) b^j

(n + 1)⁻ ∑_j=n+1(a) b^j

(n + 1)! (a) b^j

⇒ (a + b)ⁿ⁺¹ ∑_k=0 ⁿC_k a^n+1−k b^k

Teoria Analisi

• Disuguaglianza di Bernoulli:

  ∀h ≥ -1∀n > 0

  1. n = 0 → (1 + h)ⁿ ≥ 1 + 0 → 1 ≥ 1 ok!
  2. suppongo vera ∀ n
  3. dimostro per n + 1 → (1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + h(n + 1)

  = (1 + h)ⁿ(1 + h)

  = 1 + hn + h²n

  ⇒ (1 + h)ⁿ⁺¹ > 1 + (n + 1)h

• Fattoriale: (n + 1)! = (n + 1)n!
• Coefficiente binomiale:ⁿ C_k = n! / (k!(n-k)!)
• Binomio di Newton

  (a + b)ⁿ = ⁿ∑_k=0 (n ^n-k C_k) a^n-kb^k

• Numeri reali
• DIM per assurdo : √2 ∈ Q
• x ∈ Q ⇒ x = m/n m e n primi fra loro ⇒ √2 = m/n ⇒ 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n²
• m² elevato a potenza dispari, quindi l'ipotesi è assurda
• x ∉ Q

Valore assoluto : |a| ={a, a ≥ 0 -a, a < 0

Assioma di Dedekind : A,B ⊆ R : a ≤ b

∀a ∈ A , ∀b ∈ B ⇒ ∃c ∈ R : a ≤ c ≤ b

R non completo

Maggiorante: dato A ⊆ R M ∈ R; M è maggiorante per A

∀a ∈ A a ≤ M

Minorante: dato A ⊆ R m ∈ R; m è minorante per A

∀a ∈ A ⇒ m ≤ a

Un insieme A è superiormente limitato se esiste almeno un maggiorante.

Si dice inferiormente limitato se esiste almeno un minorante.

Un insieme si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Massimo (di A) è il maggiorante M che appartiene ad A;se x non appartiene viene chiamato estremo superiore.

Minimo (di A) è il minorante m che ∈ A; x non appartiene perde il nome di estremo inferiore.

• Numeri complessi, insi. C: unita immaginaria i = √-1
• i² = -1
• Forma algebrica: z = (a,fissa) x + iy
• Coniugato di z: z̅ = x - iy

Forma geometrica: z = p ( cosθ + i senθ )

polare ( p; θ ) ; x = p cos θ ; y = p sen θ

Formula di Eulero (forma esponenziale): z = p e^iθ

e^iθ = cos θ + i sen θ

x = θ = π → e^iπ = -1 + 0 (Beauty)

Formule di De Moivre:

• prodotto:

  z₁z₂ = ρ₁(cos θ₁ + i sen θ₁) . ρ₂ (cos θ₂ + i sen θ₂)

  = ρ₁ρ₂ (cos θ₁ cos θ₂ + i sen θ₁ i sen θ₂ ) + i 2ρ₂ cos θ₁ + (i sen θ₁ sen θ₂)

  = ρ₁ρ₂ (cos θ₁ cos θ₂ - sen θ₁ sen θ₂) + i (sen θ₁ cos θ₂ + 2ρ₂ cos θ₁ )

  = ρ₁ρ₂ [ cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂ ) }

• quoziente:

  z₂/₁ = ρ₁ / ρ₂ [ cos (θ₁ - θ₂ ) + i sen (θ₁ - θ₂ ]

• potenza:

  zⁿ = ρⁿ