Appunti per passare l'esame di Analisi Matematica 1

Teoria Analisi

• Disuguaglianza di Bernoulli: ∀h ≥ -1 ∀n ≥ 0 ⇒ (1 + h)ⁿ ≥ 1 + n ⋅ h

Dim per induzione:

1. n=0: (1 + h)⁰ ≥ 1 + 0 → 1 = 1 ok!
2. suppongo vera ∀n
3. dimostro per (n+1): (1 + h)ⁿ⁺¹ → 1 + h (n+1) (1 + h)ⁿ ⋅ (1 + h) → (1 + h)(1 + n ⋅ h + n ⋅ h²) = 1 + h + n ⋅ h + n ⋅ h²

(1 + h)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + n + 1) h

• Fattoriale: (n+1)! = (n+1) ⋅ n! (def.)
• Coefficiente binomiale: ⁿC_k = ⁿC_k ⋅ ^n-kC₁ (def.)

Binomio di Newton

(a + b)ⁿ = ∑_k=0^{n n}C_ka^n-k b^k

DIM per induzione:

1. n=0: (a + b)⁰ = ∑_k=0^{0 0}C_ka⁰ b⁰ → 1 = 1 ok!
2. suppongo vera ∀n
3. dimostro per (n+1): (a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)(a+b)ⁿ = ∑_k=0^{n n}C_ka^n-k b^k ⋅ b = ∑_k=0^{n n}C_ka^n+1-k b^k+1

⇒ (a+b)ⁿ⁺¹ = ∑_k=0^{n n+1}C_ka^n+1-k b^k

• Numeri reali:
• razionali

DIM per assurdo √2 ∈ ℚ (th)

x ∈ ℚ ⇒ √2 = ^m/_n → 2 = ^m2/_n²

m² = 2n² 2 elevato a potenza dispari, quindi l'ipotesi che quanto è assurda

• Valore assoluto: |a| = a a ≥ 0
• |a| = -a a < 0
• Assioma di Dedekind: ∀A, B ⊆ ℝ : a ≤ b
• ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ ∃c ∈ ℝ : a ≤ c ≤ b (ℝ un completo)
• Maggiorante: dato A ⊆ ℝ M ∈ ℝ; M è maggiorante per A
• x ∈ A ⇒ x ≤ M
• Miniorante: dato A ⊆ ℝ m ∈ ℝ; m è miniorante per A
• x ∈ A ⇒ m ≤ a

• Un insieme A è superiormente limitato se esiste almeno un maggiorante.
• È inferiormente limitato se esiste almeno un minorante.
• Un insieme si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.
• Massimo: di A è il maggiorante M che appartiene ad A.
• x non appartiene viene chiamato estremo superiore
• Minimo: di A è il minorante m che ∈ A; x non appartiene perde il nome di estremo inferiore.

• Numeri complessi m ∈ ℂ: unità immaginaria i = √-1
• i⁰ = 1
• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i

• Forma algebrica: z = (a fissa) = x + iy
• goniometrica: z = ρ(cosθ + i senθ)
• polare: (ρ, θ) x = ρ cosθ; y = ρ senθ
• modulo ρ argomento θ
• Complesso di z: z̅ = x - iy
• Formula di Eulero (forma esponenziale): z = ρe^iθ

e^iθ = cosθ + i senθ

x = 0 = π ⇒ e^iπ = -1 + 0 (Beauty)

(2) permanenza del segno

DIM: assumiamo per ξ≥0. per definizione di lim ∀ε > 0 ∃ U(x₀) / ∀ x ∈ U - {x₀} e quindi ξ ∈ f(x) < l + ε con ε arbitrario - ε < l / 2 l - ε < f(a) < l < l / 2 ⇒ f(x) > l / 2 per hp ξ≥0 quindi ξ / 2 > 0 ⇒ f(x) > 0

(3) teorema del confronto:

siano f(x), h(x) e g(x) definite almeno nello stesso insieme A. Siano x₀ ∈ A e h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), lim h(x) = lim g(x) = l ⇒ lim f(x) = l

DIM: lim h(x) = l ∀ε > 0 ∃ U₁(x₀)/ ∀ x ∈ V₁ - {x₀} l - ε < h(x) < l + ε

lim g(x) = l ∀ε > 0 ∃ U₂(x₀)/ ∀ x ∈ V₂ - {x₀} l - ε < g(x) < l + ε

Im U = U₁ ∩ U₂ valgono entrambe e per hp h(x) ≤ (x) ≤ g(x)

lim f(x) = l

• Continuità della funzione: f(x) continua in x₀ se lim f(xᵢ)=f(x₀)
• a) lim f(x) , b) lim , c) ∃ f(x₀)

a = b = c

Teorema dei valori intermedi: sia f: A → R e continua in

⇒ la f(x) assume tutti i valori compresi tra inf e sup della f(x) con x ∈ A

III corollario: siano f(x) e g(x) due funzioni:

• definite in [a, b]
• continue in [a, b]
• derivabili in (a, b)

th: f(x) - g(x) = c

DIM:

per ipotesi h'(x) = 0

f'(x) - g'(x) = 0

per il corollario h(x) = costante

f(x) - g(x) = c

Teorema di Cauchy: siano f(x), g(x) due funzioni:

• definite in [a, b]
• continue in [a, b]
• derivabili in (a, b)

th: ∃ c ∈ (a, b):

f'(c)

f(b) - f(a) = f'(c)

g(b) - g(a) = g'(c)

Teorema di de l'Hopital: siano f(x) e g(x) due funzioni:

• definite in un intervallo I con x₀ ∈ I
• continue in I - {x₀}
• derivabili in I - {x₀}

f(x), g(x) = 0/∞ → casi: [], []

g'(x) ≠ 0 in I - {x₀}

lim_{x→x0 f(x)/g(x)}

th: ∃ lim_{x→x0 f(x)/g(x) = limx→x0 f'(x)/g'(x)}

DIM:

∃c ∈ I e x>x₀:

f(x)/g(x) - f(x₀)/g(x₀) = f'(c)/g'(c)

l'im c → x₀: f'(c)/g'(c) → è costante

lim_{x→x0 f(x)/g(x) = limx→x0 f'(x)/g'(x)}

Polinomio di Taylor: sia f(x) definita in I e sia x₀ ∈ I

aumentando il grado ho un’approssimazione sempre migliore

con x ≈ x₀ f(x) = T_n(x) + Θ(x - x₀)ⁿ

derivata di ordine k

T_n(x) = ∑ f^(k)(x₀)/(k!) (x - x₀)^k

= f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(x₀)/(2!) (x - x₀)² + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀)/(n!) (x - x₀)ⁿ

DIM:

per T₂(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(x₀)/(2) (x - x₀)²

th: f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + f''(x₀)/(2) (x - x₀)² + o((x - x₀)²)

lim_{x→x0 (f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - x0) - f''(x0)/(2) (x - x0)²) / ((x - x0)²) = 0}

detto []

lim_{x→x0 f'(x) - Cr0 - Cr0 = 0 = 0}

detto []

lim_{x→x0 f'(x) = 0 = 0 = 0}

Convergenza:

x → 0

f(x) = ¹/_xⁿ n < 1

f(x) = ¹/_{xⁿ log^mx} n < 1 ∀ m

n = 1, m > 1

x → x₀

f(x) = ¹/_(x-x0)ⁿ n < 1