Appunti Analisi matematica 1

Teorema di completezza di ℚ

ℚ è completo, cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore (o equivalentemente ogni insieme limitato inferiormente ammette estremo inferiore).

A = { x ∈ ℚ | x² } sup A = √2 inf A = -√2 √2 ∈ ℚ-Q irreali.

A = { x ∈ ℚ | x² } sup A può essere un numero maggiore di √2 o minore, non c’è un estremo superiore.

Densità di ℚ in ℝ

∀ x ∈ ℝ, x (ℚ, +, ⋅, ≥)(ℚ, +, ⋅, ≥).

q è maggiorante dell'insieme ma non è minore di s s non è il più piccolo dei maggioranti q ss non maggiorante.

Esempio di teorema di completezza di ℚ

ℚ è completo, cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore (o equivalentemente ogni insieme limitato inferiormente ammette estremo inferiore).

A = {x ∈ ℚ | x² < 2} = {x ∈ ℚ | x < √2} = (-√2, √2) sup A = √2 inf A = -√2 (√2 ∈ ℚ-ℚ) irrazionali.

A = {x ∈ ℚ | x² < 2} = (-√2, √2) ∩ ℚ razionali sup A = ? può essere un √2 ∉ ℚ numero maggiore di √2 o minore, non c'è un estremo superiore.

Densità di ℚ in ℝ

∀ x ∈ ℝ, x < g ∃ g ∈ ℚ t.c. x < q < g (ℚ, +, ⋅, ≥)(ℚ, +, ⋅, ≥).

q è maggiorante dell'insieme ma non è minore di s s non è il più piccolo dei maggioranti q < √2 ∈ A e q > ss non maggiorante 0 ∈ inf A.

Dimostrazione

1. 0 ≤ ₁/_n ∀ m ∈ N {0}
2. ∀ ε > 0, ∃ m ∈ N t.c. 0 + ε > ₁/_n

ε > ₁/_m <=> m > ₁/_ε.

0 = min A se e solo se 0 ∈ A <=> ∃ m ∈ N t.c. 0 = ₁/_m min A = ∅.

A = { ₁/_m | m ∈ N {0} } = { 0, ₁/₂, ₁/₃, ₁/₄, ₁/₅, ... } inf A = min A = 0 max A = 1 sup A = 1 0 ≤ ₁ - ₁/_n ≤ 1 1 = sup A.

Dimostrazione del limite superiore

1 - ₁/_n ≤ 1 ∀ n ∈ N ∀ ε > 0, ∃ m ∈ N {0} t.c. 1 - ε < 1 + ₁/_m (∀ε0, ∃ m ∈ N t.c. S - ε & ∈ α).

1 - ε < 1 + 1/m ⟷ 1/m < ε ⟷ m > 1/ε.

Ommetto soluzioni, quindi sup A = 1 max A = 1? ∃ m ∈ N | 1 - 1/m ⟷ 1/m = 0,9 ∀1 A = {m + 2/m : m ∈ N} 0 ≤ m + 2/m min A = 0 sup A = +∞ m + 2/m ≥ m ∀ m ∈ N non esiste un maggiorante m = 1 ⟹ 1 + 2/1 = 3 m = 2 ⟹ 2 + 2/2 = 3 m = 3 ⟹ 3 + 2/3 = 11/3 m = 4 ⟹ 4 + 2/4 = 9/2.

∀ m ≥ 3, m + 2/m ≥ 3 A = {m + 2/m : m = 1, 2} ∪ {m + 2/m : m ≥ 3} = {3} ∪ {m + 2/m : ∀ m ≥ 3}.

Fattoriale e coefficiente binomiale

Definizione

n ∈ N si dice fattoriale di n (notazione: n!) n! = 1 n=0 1·2·3·...·n n ≠ 0.

Es. 3! = 1·2·3 = 6, 5! = 1·2·3·4·5 = 120

Oss. n! è il numero dei possibili ordinamenti di n oggetti: abc, acb, bac, bca, cab, cba, quindi 3! = 6.

Definizione del coefficiente binomiale

m, k ∈ N t.c. k ≤ m, si definisce coeff. binomiale di m su k (notazione: ^mC_k) il seguente numero:

^mC_k = ^m!⁄_k!(m-k)!

³C₂ = ^3!⁄_2!(3-2)! = ⁶⁄₂ = 3

⁵C₂ = ^5!⁄_2!(5-2)! = ¹²⁰⁄_2·6 = 10

OSS. (_mC_K) rappresenta il numero dei sottosistemi di k elementi degli n oggetti dati: {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c}

Superenalotto

{1, 2, 3, ... , 90} sestina = 6

(₉₀C₆) = ^90!/_{6! (90-6)!} = le possibili sestine = 622.614.630

Probabilità di vincere un terno secco = 1/^(₉₀C₆) = 1/622.614.630 = 10^-9 quindi è 1 su un miliardo.

Proprietà del coefficiente binomiale

• (_mC₀) = (_mC_m) = 1
• (_mC₁) = (_mC_m-1) = m
• (_mC_k) = (_mC_m-k)
• (_mC_k) = (_m-1C_K) + (_m-1C_k-1)

(₂C₁) = 2, (₃C₁) = 3

Triangolo di Tartaglia

Sommatoria

1² + 2² + 3² + ... + 100²

¹⁰⁰∑_K=1 K² Sommatoria per K da 1 a 100 di K² K = contatore o indice numerico

Definizione della sommatoria

Det {a_i: a_i ∈ ℝ i ∈ {1, ..., N}} allora ^N∑_i=1 a_i = a₁ + a₂ + a₃ ... a_N

Oss. ^N∑_i=1 a_i = ^N∑_K=1 a_K

⁶∑_K=3 K³ = 3³ + 4³ + 5³ + 6³

⁶∑_i=3 i³ = ¹⁰∑_K=1 1_/K = 1 + 1_/2 + 1_/3 + 1_/4 + ... + 1_/10

Proprietà della sommatoria

^N∑_K=1 c.a_K = c ^N∑_K=1 a_K c ∈ ℝ (c.a₁ + c.a₂ + ... c.a_N) = c(a₁ + a₂ + a₃ ... + a_N)