Appunti Analisi matematica 1 (seconda parte)

Equazioni Differenziali

Def.

y: E → R radice dell’insieme di una equazione del tipo F (x, y(x), ..., pⁿ y(x))=0

y₀: E determinato k volte è sostituibile nell'espressione y(x) tale che l'elemento risulti che è èq, è vera in ogni punto di E.

Come posso vedere se f(x) = eˣ è soluzione? Eletto (x) lo riscrivo nell'equazione

y′ (x) = eˣ∈ E ═ 2E(x) y′(x) + 1(x) ≥ 2ˣ ≥ 2 Eˣ ≥ x = 0 x ∈ R ma eˣ− x ≥ 0, è gairo ∀x∈ R

Def.

Un'equazione diff. all’insieme sopra riporto di ordine n ∈ Z ≥ k il numero ordinale di derivazione della funzione incognita k che appare nell'equazione.

• Sempre prima di trovare una solizione è complicated.
• Si tenta di restabilito (dee e decerona di assorbiamo) per questi cofinità del'inespressione F(X ...p² Y(X)) e si astratta effetto determinare soluzioni si ellice
• Se regresto la solizione, si tenta di restabilire se questa solizione è unieke.
• Si tenta di determinare quali, quelli grooveanor una solizione esiste, si dominano naka trini se Y(x)

Risolvi la sequ. F(x, y(x), ..., D^r(x)) = 0

• Si cercano metodi risolutivi per determinare le relazioni.

Esempi:

1. y'(x) = g(x) = a

dove la funzione g: I → R è ogni x.

• → Determinare la primitiva della funzione g.

Se g è continua su I, allora al nome di a e I allora risulta che

y(x) = ∫_a^x g(t)dt verifica y(x) = g(x) ∀ x ∈ I

Ci sono infinite soluzioni e si scrivono

y(x) = ∫_a^x g(t)dt + k

→ INFINITE SOLUZIONI

Se invece g non è continua ma è integrabile su I allora non si può dire che y(x) = g(x) ∀ x ∈ I altri soluzioni possono assumere in eni g non essiste una funzione integrale non è altro che essa derivabile.

verifica res. 6.1

• non g(x) nel [a, b]

F(x) = ∫_a^x g(t)dt

⇒ F(x) = ∫_x x nel a

• non g'(x) = g(x) ∀ x nell'[-1,1] allora la soluzione perché l'integrale interoallo ele non continuvano definirice

y(x) = kx + C

Teoria sulle soluzioni per le eq. diff. del 1 ordine

1) eq. differenziali lineari

sono della forma y'(x) = a(x) y(x) + b(x)

con a e b E R le funzioni assegnate su un dato intervallo I

Problema del dato iniziale della forma y(x) = y₀, t₀ E I

alla risoluzione che si riduce y(x) del problema {y' (x) = a(x) y(x) + b(x) y(t₀) = y₀

definita ∀ x E I (ESISTEVA E GRANDE)

come si trova la soluzione? (Unica)

Caso in cui b(x) = 0

non darà risultato y' (x) = a(x) y(x)

le soluzioni per y'(x) = 0 sara x ∀ y(x) = 0 ricavate dall'espressione |y (x) = K e^A con A

Altrimenti scrivi |y(x)EKe^A

allora una K o altra

p(x) E e^A(x)

ma le soluzioni saranno date da y(x) = K e^ʃ K E R dell’A(x) davuna primitiva fissata della x

esempio: y' t(x) = 2-cos t(x) y(x)

{y(0) = 2

a(x) = cos t(x) una primitiva A(x) = [ʃ e^ʃ 2-cos t(t)]

= ʃ e^u43 - cos t(x)

Osservando la formula sopra, si notano 2 termini:

u(x)^r Up(x)^r + a or(x)

dove Up(x) è una soluzione di:

(*): a o F(x)^ℓ(*)

(formula risolutiva in o x0)

e v(x) = c e^∫ è una soluzione dell’equazione (*): o F(x)

Questa struttura si mantenga per le formula risolutive

per altre eq. diff. di ordine K LINEARI Y (v = soluzioni particolari anche)

loro variabili separibili

Y(x) = g(x) g(t(x))

g,g^-1: ℐ → R continue inversivo

r-ultra ese alunque unica soluzione Y, quella passando

dado initiale Y(x₀)=Y₀ pabbiate numerose inverse,

ni diffintet su tutto l’immello √

suparamo un probl. reg(y(x),)

Se unics ne qualvoity un probrlipo avitta

allure la soluzione si

limiten in un intorno del punto initials x₀

metodo risolutivo

H(G) = F(X) e con I^-1 o F^-1 = ∫ g, I = F

e chaurifica H(0) = F(x₀)+

Esercizi.

1) Y(x)= ln(x) : (x)^t

dado initials y(1) = 0

Observe su vinti diff. leative, riucu variablei apersche linai

Formula risolutiva per eq. lineari

μ(x) = e^−2x ∫ (−2t)e^2t dt + c

∫(−2t)e^2t dt = e^2t · 2t - ∫ e^2t dt = e^2t · 2t - e^2t −2t (±1/2)

=> μ(x) = e^−2x [(2x₂ + x²) + rc] = x · −x^−x e^−2x

u(1) = 1/2 + c ∙ c⁻² = 1 − c ∙ e^(−1/3) = − 3. e^(−2x)

μ(x) = x⁻¹ ∙ 3/2

Necessità di unicità del risultato per le diff.

• Notiamo una dado iniziale/conseguito (altrimenti non è unica)

Per la lineari è e sempre unicità

Per le eq ai variabili separabili o bernoulli può non essere unicità

Esempio

{ y(x) = √x

{ y(0) = 0

∀ y(x) => ∀ x ∈ R , x² ≤ x₄ => x², x ≥ x ≥ 0 ∀ x ∈ R

y(0) = 0 = x₀ dato iniziale ok

∋ y derivabili non R

∀ f₁(x) = √x = √0 − √y(x)

y₂₄(x) = x²/a = x/2

=> ∗ e b razzo relativo

(in realtà sono infinite)

Def:

Si dice eq omogenea associata a (*)...

• a_n(x)Dⁿy(x) + a_n-1(x)D^n-1y(x) + ⋯ + a₀(x)y(x) = 0

Proposizione:

1. Se {y_h(x)} sono soluzioni di (**)^h allora la funzione u(x) = x^ky(x) è soluzioni di (*_k)
2. Se V(x) y_h(x) sono soluzioni di (*_k) e w(,) allora V₂, V₁ ∈ R

anche v(x) = v₁x₁(x) + v₂x₂(x) è ancora soluzioni di (**).

Dim. si cerca la linearita delle derivate, la vite...

1. siano f, g funzioni di classe derivabile si ha

Dⁿ(f(x) + g(x)) = (f + g) - (f) - (g(x))

Inoltre scrivi res (...).

la funzione incognita è il sost di eq (...) funzione inxquista in e soluzion do 2 ql

1. Dⁿy(x) = a_n,m(x)Dⁿy(x) ⋯ a₀(x)y(x) = a_n
2. Dⁿy(x) = a_nf(x)Dⁿ ⋯
3. ───────────────
4. (*) e (**) ¹

Formula risolutiva di grado k = m :

Data la eq. f_k(x) e P(x) polinomio associato le soluzioni dell'eq. (*) che forniscono una idea non data da:

• Fattorizzo P(x) = (x - z₁)^m₁...(x - z_p)^m_p

dove z₁,... p sono le radici complesse di P di m₁... m_p le loro molteplicità con m₁ +...+ m_p = K

se noto che n P e i ceffi. toti per cui se uno doppio m₁ e compreso anche il suo coniugato è una delle soluz. con a tesi molteplicità

se z_j := x - 3_j + 3_j è scrivibile con molteplicità m_j ≤ 70

allora coppie gemme del tipo :

• x^_jε q : C_j(P(x)), x^_jε(q-2)_m(P(x))

e solivano xq f=0 mj ≤ 1 mj ≤ 1

Osservazione: se f_j = 0 (esito radice reale, re ho

che x'εq', per j=0...) mj - 1 grado risultanza.

Esempio: Trova una base delle soluzioni di :

1. s² = f₄(x)
2. (x - 7)(x - 3)(x - 12)(x) = 0

2) Determinare h : ε N un n. tale che la giunzione

x'ε' tra solusione di

• x'-(x) + 7(X) = 0

modulo risultante per le eq. intelligibili

(p(x)) p*(x) = 0...

• q d³-(x)
• t...a...t _d... i _z
• d - 5... r (15-q) t o ......(d...x)

quarto d(x) solleviano peso per esclu infoletto