Appunti Analisi matematica 1 (seconda parte)

Revisionato il 14/07/2026

di Costas00

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Appunti scritti a mano in maniera chiara e precisa di Analisi I con definizioni, esercizi e dimostrazioni per ogni argomento, utilizzando un linguaggio congruo alla materia. Argomenti dalle …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Acquistapace Paolo

Università Università degli Studi di Pisa

A.A. 2020-2021

50 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Equazioni differenziali

Def:: → ℝ indici sull'insieme di una equazione del tipo(,(),…, ⁽ⁿ⁾())=0se è derivabile k volte e sostituita nell'espressione () e tutte le sue derivate si verifica che le eq. è vera in ogni punto di .

Come posso a vedere se ()=^x è soluzione?^x () lo risostituisco nell'equazione(,^x) = ^x = ⁽ⁿ⁾()⁽ⁿ⁾()+4()-2=2^x-2=0 ∈ℝma ^x->0 è falsa ∀∈ℝ

Def:Una equazione diff. del tipo sopra si dice di ordine k se k è il massimo ordine di derivazione della funzione incognita k ele, uso nell'equazione.

Il primo problema di trovare una soluzione è complicato.
Si tenta di risolvere (dove un teorema di _absence) per alcune chose che l'espressione (, ⁽ⁿ⁾())=0 si è diff. eff. una esistenza soluzioni dell'eq.

Riesercete la soluzione, eri tonto di risolvere se questa soluzione è unica.

Si tenta di determinare quali x, nell'esistenza una soluzione esists, il dominio max in cui se ()

Equazioni Differenziali

y : I → ℝ risolve un'equazione del tipo F(x, y(x), …, y^(k)(x)) = 0
y è derivabile K volte e sostituibile nelle espressioni y⁽ⁱ⁾(x) e tutte le derivate si verifica che la eq. è vera in ogni punto di I.
Come posso capire se y(x) = 2 è soluzione? Devo decidere (x) e la sostituisco nell'equazione y(x) = e^x è soluzione
y(x) + 4(x) - 2x = 2e^-2x = 0 x ∈ ℝ
ma e^x - x = 0 è falso ∀x ∈ ℝ

e^x

Livello più basso una soluzione complicata
Il fatto di risolvere (dove un tecnico disposizionale) per queste forme dell'espressione F(x, … y^(k)(x) = 0 si utilizza effettivamente soluzione dell'eq.
Riservate la soluzione, nel punto di risolvere se questa soluzione è unica.
Si risolve di determinare quali e nell'esesercitare una soluzione esiste, il dominatore se le y(x)

risolvere l'eq^n F(x, y(x),..., Dⁿy(x)) = 0

esistono metodi risolutivi per determinare le soluzioni.

Esempi

y(x) = g(x) = a dove la funzione g: I → R assegna x ∈ I

determinere la primitiva della funzione g.

Se g è continua su I, allora si ricorre di a c e allorarisol che

y(x) = ∫_c^x g(t)dt verifica y'(x) = g(x) ∀x ∈ I

Esirano infinite soluzioni e si scrivono

y(x) = ∫_c^t g(t)dt + c

VARIANTE SOLUZIONI

Le limite g sono continuite ma è integrabile su I allora non si può dire che y'(x) = g(x) ∀x ∈ I altri soluzione sprechis assurire in ce ne ricorrere lafunzione integrable non è altro che esa derivibule.

∀x ∈ (-1, 0.1] su [0, 1] y(x) ≠ g(x) ∫_x¹ g(t)dt F(0 ^-1) ∫₀^x g(t)dt

=> F(x) = IX che non è derivibule su x = 0 non g y(x) ≠ g(x) ∀x ∈ [-1, 1] non la contrione predta

integrali intervallo che non continono alla zino y(x) = x + 1 + c

ma in generale la sorpresa sta i termini che appaiono

in: [P(x, Y'(x)) .... , 1^st Y'(x)] = 0

siamo carini.

2) Y'²(X) = 4

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