Analisi matematica I

e) Dare la definizione topologica di limite di funzione e quella di continuità di

una funzione.

g) Dare la definizione di funzione continua in un punto.

α

g) Descrivere il comportamento della successione n al variare di α quando

n→+∞.

a) Definizione di funzione continua in un punto: (4) Una funzione continua in

un punto è derivabile? Una funzione derivabile in un punto è continua? (4)

La continuità è condizione necessaria o sufficiente per la derivabilità?

Giustificare con esempi o controesempi: (3) Dimostrare che una funzione

derivabile in un punto è continua: (2)

b) d) Dimostrare una delle due implicazioni che lo compongono.

e) Dare la definizione di punto di massimo locale e di punto di massimo

3

globale. Stabilire se la funzione f(x)=−x +x ha un punto di massimo

assoluto in [0,1], motivando la propria risposta.

f) Se una funzione ha derivata nulla in x , è un estremo locale?

0

Giustificare la propria risposta.

c) Teorema dei valori intermedi (enunciato e dimostrazione): (3)

d) Teorema di Rolle: (3) Dimostrazione di Rolle

c) Dimostrare la convergenza dello sviluppo in serie di Taylor (Mac Laurin)

della funzione esponenziale.

a) sviluppo di maclaurin e resto di peano �

a. Dare la definizione di primitiva e di integrale indefinito di una funzione.

Scrivere una primitiva di f(x)=sin(2x) e calcolare l’integrale indefinito

di f(x)=sin(2x)

b. Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivata della funzione

integrale.

c. Definizione di integrale generalizzato e discussione sui valori di α per

cui converge o diverge: (2)

d. Enunciare e dimostrare il limite notevole che riguarda il seno,

logaritmo: (4)

e. Enunciare e dimostrare il teorema di unicità del limite di una funzione

o successione: (3)

f. Teorema degli zeri (enunciato, grafico, applicazione): (2)

g. Enunciare il test di monotonia per funzioni reali, nel caso di funzioni

monotone crescenti: (3)

h. Dimostrare che ogni successione convergente è limitata. Il viceversa

vale? (2)

i.