Analisi matematica I

R R.

questo tipo di funzioni è semplice perché sono rappresentabili graficamente nel piano

⊆ →

cartesiano. Se f : A è una funzione allora il suo grafico è definito come

R R 2

{(x, ∈ |

Γ(f ) = y) y = f (x)}.

R

Quando non viene specificato il dominio di una funzione si intende che esso coincida con

il più grande sottoinsieme di in cui la funzione è definita. Questo sottoinsieme viene

R 1

chiamato insieme di definizione. L’uso del grafico è molto utile per intuire alcune

proprietà delle funzioni che abbiamo visto nei capitoli precedenti.

Prendiamo, ad esempio, una funzione y = f (x) il cui grafico è il seguente

2 y

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2

La retta y = 0 ha con il grafico di f tre intersezioni: ciò significa che a 0 corrispondono

tre controimmagini. Quindi deduciamo che la funzione rappresentata non può essere

iniettiva. Deduciamo la seguente osservazione: una funzione f reale di variabile reale è

iniettiva se ogni retta orizzontale ha massimo un punto di intersezione con il grafico di

f .

Sempre seguendo la stessa strada possiamo dire che una funzione f reale di variabile

reale è suriettiva se ogni retta orizzontale ha almeno un punto di intersezione con il

grafico di f .

Questo metodo è molto utile in una dimostrazione di tipo distruttivo, ovvero quando

vogliamo mostrare che una funzione non è iniettiva o suriettiva.

Introduciamo le seguenti nozioni.

⊆ →

Sia f : (a, b) Siano x, y due qualsiasi elementi di (a, b) tali che x < y. Allora

R R.

diremo che:

• se f (x) > f (y) in (a, b) allora f è ivi strettamente decrescente;

1 Intuire non vuol dire dimostrare: infatti le intuizioni possono portare a conclusioni corrette, ma

solo la dimostrazione ci assicura che le nostre intuizioni sono corrette o sbagliate.

20

3.2 - Funzioni potenza con esponente intero positivo

• se f (x) < f (y) in (a, b) allora f è ivi strettamente crescente;

• ≥

se f (x) f (y) in (a, b) allora f è ivi decrescente;

• ≤

se f (x) f (y) in (a, b) allora f è ivi crescente.

Nei primi due casi f si dice strettamente monotona, negli ultimi due si dice mono-

tona.

Esempio 3.1. È chiaro che una funzione strettamente monotona è iniettiva, ma il

→

viceversa non è vero. Se prendiamo infatti la funzione f : [0, 2] la cui legge è

R

∈

x x [0, 1)

f (x) = − ∈

3 x x [1, 2]

si vede subito che è iniettiva ma non monotona.

Può essere utile alle volte capire se il grafico di una funzione possiede simmetrie rispetto

agli assi del sistema di riferimento.

⊆ ∈ −x ∈

Sia f : A una funzione in cui per ogni x A si ha che A. Allora f si dice

R ∈

pari se per ogni x A abbiamo che f (−x) = f (x), mentre si dice dispari se per ogni

∈ −f

x A abbiamo che f (−x) = (x). →

Si ha inoltre che una funzione f : è detta periodica di periodo T > 0 se

R R

∈

f (x + T ) = f (x) per ogni x R.

3.1 Funzioni potenza con esponente intero positivo

→

Si definisce funzione potenza con esponente intero positivo la funzione f : R R

e legge n ∈

f (x) = x , n N.

Le proprietà di questa funzione dipendono dai valori che assume n:

• Se n = 0 allora si ha la funzione costante f (x) = 1.

• Se n è pari allora la funzione è non negativa, pari, decrescente per x < 0, crescente

per x > 0.

• Se n è dispari allora la funzione è crescente, dispari, negativa per x < 0, positiva

per x > 0. 2 3

y = x y = x

1

1

0.8 0.5

0.6 −1 −0.5

0.4 0.5 1

−0.5

0.2 −1

−1 −0.5 0.5 1

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 21

Capitolo 3 - Le funzioni elementari

3.2 Funzioni radice

La funzione radice è la funzione reale la cui legge è

√ 1

not ∈ − {0,

n

f (x) = x = x , n 1}.

n N

+

Il dominio è se n è pari. Se n è dispari allora il dominio è Questa funzione è la

R R.

funzione inversa della funzione potenza. Le proprietà di questa funzione dipendono dal

valore che assume n:

• ≥

Se n è pari, la funzione è definita per x 0, strettamente crescente e non negativa.

• Se n è dispari, la funzione è definita in strettamente crescente, negativa per

R,

x < 0 e positiva per x > 0. √

√ 3

y = x y = x

1 1

0.8 0.5

0.6 −1 −0.5

0.4 0.5 1

−0.5

0.2 −1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Osservazione 3.2. Dato il grafico di una funzione bigettiva y = f (x), come si

−1

ottiene il grafico dell’inversa? Facciamo il seguente ragionamento. La funzione f

si ottiene da f scambiando il ruolo del dominio e codominio, ovvero scambiando il

ruolo di x e y.

Dunque se y = f (x) è invertibile, allora x = f (y) è un’espressione dell’inversa da

−1

cui ricavando y, se possibile, si avrebbe y = f (x). Nel grafico questo si traduce in

una simmetria rispetto alla retta y = x.

√ √

3

y = x

y = x

3 2

1

2 −2 −1 1 2

1 −1

−2

0.5 1 1.5 2

22 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

3.4 - Funzioni esponenziali

3.3 Funzioni esponenziali

La funzione esponenziale è la funzione reale la cui legge è

x

f (x) = a , a > 0.

Per a = 1 la funzione è banalmente la funzione costante y = 1.

La funzione esponenziale è strettamente positiva e passante per il punto (0, 1) per ogni

valore di a > 0.

Per a > 0 la funzione risulta essere strettamente crescente, mentre per 0 < a < 1 è

strettamente decrescente.

a> 1 0 <a< 1

6 6

4 4

2 2

−4 −2 −4 −2

2 4 2 4

6

La funzione esponenziale con a = 1 è una funzione iniettiva ma non suriettiva. Senza

applicare una restrizione al codominio non è invertibile. Per renderla invertibile dobbia-

+ −{0}.

mo restringere il codominio da a

R R

La funzione inversa della funzione esponenziale si chiama funzione logaritmo e sarà

oggetto di studio della prossima sezione.

3.4 Funzioni logaritmiche

Consideriamo l’equazione esponenziale elementare:

x

a = b, a > 0, b > 0.

Se b è potenza di a, la risoluzione dell’equazione non presenta problemi: basta applicare

le proprietà delle potenze. Se b non è potenza di a il problema non è risolubile utilizzando

le proprietà delle potenze. Si potrebbe affermare che non esiste una soluzione! Ma questo

non è vero. 4 y

2 x

x

−2 2

0

−2

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 23

Capitolo 3 - Le funzioni elementari

x

Nel grafico abbiamo rappresentato y = 2 e la retta y = 3. L’ascissa del punto di

x

intersezione fra le due curve è la soluzione di 2 = 3. Le proprietà della funzione

2

esponenziale, ed in particolare la sua bigettività , ci assicurano l’esistenza ed unicità

dell’equazione.

Per descrivere questa unica soluzione ci inventiamo una nuova funzione detta logaritmo.

6

Siano a > 0, a = 1 e b > 0. Allora

x ←→

a = b x = log b.

a

Dunque diremo che log b è l’esponente da dare ad a per ottenere b.

a + − {0},

Si definisce funzione logaritmo la funzione reale avente dominio codominio

R

e legge

R f (x) = log x

a

con a strettamente positivo e diverso da 1. Dalla definizione di logaritmo si può notare

che la funzione logaritmo ed esponenziale sono inverse. 0 <a< 1

a> 1 2

2 1

−1

−1 1 2 3

1 2 3 −1

−2 −2

Illustriamo le proprietà della funzione logaritmo per due casi distinti:

• Se a > 1, la funzione è strettamente crescente, negativa per 0 < x < 1, positiva

per x > 1, nulla per x = 1.

• Se 0 < a < 1, la funzione è strettamente decrescente, positiva per 0 < x < 1,

negativa per x > 1, nulla per x = 1.

Indicheremo con ln x la funzione logaritmo la cui base è il numero di Nepero.

3.5 Funzioni goniometriche

3.5.1 La misura degli angoli nel piano cartesiano

In un piano cartesiano consideriamo la circonferenza centrata nell’origine e raggio uni-

tario. 3

Come possiamo introdurre gli angoli in un piano cartesiano? La costruzione non è dis-

simile da quella che si usa per la retta dei numeri reali. Si considera il semiasse positivo

2 Se consideriamo la funzione esponenziale da in

R R−{0}.

3 Un angolo è la parte di piano compresa fra due semirette che hanno la stessa origine.

24 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

3.5 - Funzioni goniometriche

delle ascisse come angolo zero. Il senso antiorario è quello degli angoli positivi, mentre

il senso orario è quello degli angoli negativi.

In figura il raggio vettore OP definisce l’angolo positivo α. Lo stesso raggio vettore

OP definisce l’angolo negativo β, ottenuto da α togliendo l’angolo giro. Aggiungendo e

togliendo un numero finito di volte l’angolo giro da α, si può dedurre che lo stesso raggio

vettore definisce infiniti angoli con ampiezza differente.

y P

β α x

O

Come misuriamo gli angoli? Esistono modi differenti. Un modo è l’utilizzo del grado

sessagesimale e del grado sessadecimale. Si dice che un angolo è ampio 1 grado

sessagesimale o sessadecimale se è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro. Per i

gradi sessadecimali si utilizzano come ampiezze numeri reali con la virgola. Ad esempio

◦

un angolo che è ampio mezzo grado si scriverà come 0.5 . Per i gradi sessagesimali

invece si utilizzano oltre ai gradi interi, anche i gradi primi e secondi. Un grado primo

(rispettivamente secondo) è la sessantesima parte di un grado (risp. secondo). Un angolo

◦ 0

di ampiezza 0.5 è uguale ad un angolo ampio 30 .

Vi un problema con la misurazione in gradi: vi è una unità di misura. Nel calcolo

infinitesimale questo può essere un problema. Allora si utilizza la misura in radianti.

La misura in radianti è legata alla misura di archi di circonferenze. Consideriamo un

angolo α che è angolo al centro di una circonferenza di raggio R. L’angolo α misura 1

radiante se sottende un arco uguale a R.

Dunque se una circonferenza di raggio R è lunga 2πR, un angolo giro misura 2π radianti,

π radianti. Se un angolo di

un angolo piatto misura π radianti, un angolo retto misura 2

◦ π

30 è la sesta parte dell’angolo piatto, allora misurerà radianti. Poiché un angolo di

6

◦ ◦ π

60 è doppio di uno di 30 , allora misurerà .

3

Quindi, data la misura di un angol