Analisi matematica 2

f è continua in (a,b) se:

è definita in (a,b)

 \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)



3. DERIVATE PARZIALI E DIFFERENZIABILITÀ

3.1 Derivate parziali

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h}

Esistono anche derivate miste:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

Se le derivate seconde sono continue, si può commutare:

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \quad

\text{(Teorema di Schwarz)}

3.2 Differenziabilità

f è differenziabile in (x_0, y_0) se ammette un approssimante lineare:

f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + A h + B k + o(\sqrt{h^2 + k^2})

Equivale all’esistenza del differenziale totale:

df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

4. GRADIENTE, DIREZIONALI E MATRICE JACOBIANA

4.1 Gradiente

Il gradiente è il vettore delle derivate parziali:

\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)

Indica la direzione di massima crescita locale.

4.2 Derivata direzionale

In direzione \vec{v}:

D_{\vec{v}}f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \vec{v}

4.3 Matrice Jacobiana

Per f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, la Jacobiana è una matrice:

J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial

x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}

{\partial x_n} \end{bmatrix}

Descrive l’applicazione lineare tangente a f.

5. MASSIMI, MINIMI E TEOREMA DI LAGRANGE

5.1 Punti critici

Un punto (x_0, y_0) è critico se:

\nabla f(x_0, y_0) = (0, 0)

5.2 Studio della natura dei punti critici

Si usa la matrice hessiana:

H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix}

Calcolo il determinante:

D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2

D > 0, f_{xx} > 0 → minimo locale

 D > 0, f_{xx} < 0 → massimo locale

 D < 0 → punto di sella

 D = 0 → test inconcludente



5.3 Vincoli: moltiplicatori di Lagrange

Massimizzare f(x,y) con vincolo g(x,y) = 0:

\nabla f = \lambda \nabla g

Sistema:

\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\ \frac{\partial f}

{\partial y} = \lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\ g(x,y) = 0 \end{cases}

6. INTEGRALI MULTIPLI

6.1 Doppio integrale su dominio rettangolare

\iint_R f(x,y) \, dx\,dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy\,dx

Possibile invertire l’ordine (Teorema di Fubini) se f è continua.

6.2 Cambiamenti di variabile

Per trasformare un integrale in un nuovo sistema (es. polari, cilindriche):

\iint_D f(x,y) \, dx\,dy = \iint_{D’} f(x(u,v), y(u,v)) |J(u,v)| \, du\,dv

Dove |J| è il determinante jacobiano.

Esempio in coordinate polari:

x = r \cos \theta

 y = r \sin \theta

 Jacobiano = r



7. CAMPI VETTORIALI E CURVE

7.1 Campo vettoriale

Una funzione che associa a ogni punto un vettore:

\vec{F}(x, y) = (P(x,y), Q(x,y))

7.2 Linee di flusso e integrali curvilinei

\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(r(t)) \cdot r’(t) \, dt

8. TEOREMI FONDAMENTALI (GREEN, GAUSS,

STOKES)

8.1 Teorema di Green (in piano)

Sia C una curva chiusa, D dominio interno:

\oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)

dx dy

8.2 Teorema della divergenza (Gauss)

In \mathbb{R}^3:

\iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV = \iint_{\partial V} \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS

8.3 Teorema di Stokes

Per una superficie orientata S con bordo \partial S:

\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r}

9. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

9.1 Superfici parametrizzate