Analisi matematica 2

N

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 77

Capitolo 6 - Derivata di funzioni reali ∈

Esempio 6.2. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = k con k R.

Impostiamo il limite (6.2): −

k k

0 = lim 0 = 0.

f (x) = lim h h→0

h→0

Esempio 6.3. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = x.

Impostiamo il limite (6.2): − h

(x + h) (x)

0 = lim = lim 1 = 1.

f (x) = lim h h

h→0 h→0

h→0 2

Esempio 6.4. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = x .

Impostiamo il limite (6.2): 2 2

−

(x + h) x

0

f (x) = lim h

h→0 2 2 2

−

x + h + 2xh x

= lim h

h→0 2

h + 2xh

= lim h

h→0

= lim (h + 2x) = 2x.

h→0 n ∈ − {0}.

Esempio 6.5. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = x con n N

Impostiamo il limite (6.2): n n

−

(x + h) x

0

f (x) = lim h

h→0 n n−1 n−1 n n

· · · −

x + nx h + + nh + h x

= lim h

h→0 n−1 n−1 n

· · ·

nx h + + nh + h

= lim h

h→0 n−1 n−2 n−1 n−1

· · ·

= lim nx + + nh + h = nx .

h→0 x

Esempio 6.6. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = a con a > 0.

Impostiamo il limite (6.2): x+h x

−

a a

0

f (x) = lim h

h→0 x h x

−

a a a

= lim h

h→0 h −

a 1

x

= lim a h

h→0 x x

· ·

= lim a ln(a) = a ln(a).

h→0

78 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

6.3 - Legame fra derivabilità e continuità 6

Esempio 6.7. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = log x con a > 0 e a = 1.

a

Impostiamo il limite (6.2): x + h

log

−

log (x + h) log x a x

0 a a = lim

f (x) = lim h h

h→0

h→0 !

h

log 1 + 1

a !

x h

h 1

= lim log 1 + .

= lim =

a

h x x ln a

h→0

h→0

Esempio 6.8. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = sin x.

Impostiamo il limite (6.2): −

sin(x + h) sin x

0

f (x) = lim h

h→0 −

cos x sin h + sin x cos h sinx

= lim h

h→0 −

cos x sin h + (cos h 1) sin x

= lim h

h→0

−

cos x sin h (cos h 1) sin x

= lim +

h h

h→0

−

(cos h 1) sin x

cos x sin h

= lim + = cos x

h h

h→0 α ∈

Esempio 6.9. Calcoliamo la derivata prima di f (x) = x con α R.

≥

Per x 0, impostiamo il limite (6.2):

α α

−

(x + h) x

0

f (x) = lim h

h→0 " #

α

(x + h)

α −

x 1

α

x

= lim h

h→0 α

" ! #

h −

1+ 1

x α

α α α−1

·

= x lim = x = αx

h x

h→0

6.3 Legame fra derivabilità e continuità

Vediamo ora quale legame sussiste fra i concetti di derivazione e continuità.

⊆ →

Teorema 6.10. Sia data una funzione f : (a, b) Se f è derivabile in

R R.

∈

x A allora f è ivi continua.

0

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 79

Capitolo 6 - Derivata di funzioni reali

Dimostrazione. Dobbiamo mostrare che il limite

−

lim (f (x) f (x ))

0

x→x 0

è zero. Trasformiamo la funzione dentro il limite come segue: −

− f (x) f (x )

x x 0

0 −

− − = (x x )

f (x) f (x ) = (f (x) f (x )) 0

0 0 − −

x x x x

0 0

quindi

−

f (x) f (x )

0

−

− (x x )

lim (f (x) f (x )) = lim 0

0 −

x x

x→x x→x

0 0 0 −

f (x) f (x )

0

− · .

= lim (x x ) lim

0 −

x x

x→x x→x

0 0 0

Per ipotesi, la funzione f è derivabile in x = x e quindi il limite segnato in rosso

0

esiste finito. Quindi 0

− − ·

lim (f (x) f (x )) = lim (x x ) f (x ) = 0

0 0 0

x→x x→x

0 0

ovvero f è continua in x = x .

0

Dal teorema appena dimostrato ne consegue che la sola continuità non assicura la deri-

vabilità: vediamo ora esempi di funzioni continue in un punto ma non ivi derivabili.

Cosa accade se in un punto il limite in (6.1) non è finito?

−∞.

1. Il limite (6.1) esiste ed è +∞ o 1

2. Il limite (6.1) non esiste, ma esistono i limiti destro o sinistro e almeno uno dei

due è finito.

3. Il limite (6.1) non esiste, ma i limiti destro e sinistro sono infiniti di segno diverso.

Attraverso esempi mostriamo i tre casi. √

Esempio 6.11. Consideriamo la funzione f (x) = x in x = 0. Proviamo a calco-

3

0

lare f (0).

1 ⊆ → ∈ ∈

Sia data una funzione f : A con A aperto. Sia x A e h < 0 tale per cui x + h A. Il

R R 0 0

limite −

f (x + h) f (x ) not

0 0 0

(6.3) lim = f (x )

0

−

h

−

h→0

se esiste finito è detto derivata sinistra della funzione f nel punto x , o anche che f è derivabile

0

a sinistra in x .

0

∈ ∈

Sia x A e h > 0 tale per cui x + h A. Il limite

0 0 −

f (x + h) f (x ) not

0 0 0

(6.4) lim = f (x )

0

+

h

+

h→0

se esiste finito è detto derivata destra della funzione f nel punto x o anche che f è derivabile a

0

destra in x .

0

80 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

6.3 - Legame fra derivabilità e continuità

Impostiamo il limite (6.1): −

f (h) f (0)

0

f (0) = lim h

h→0 √

3 h

= lim h

h→0 1

√

= lim = +∞.

3 2

h

h→0

Ricadiamo nel primo caso: la funzione non è derivabile e il limite (6.1) esiste ed è

√ x ha un punto di flesso a tangente

+∞: diremo che in x = 0 la funzione f (x) = 3

verticale. 2 y

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2 |x|

Esempio 6.12. Consideriamo la funzione f (x) = in x = 0. Proviamo a calcolare

0

f (0).

Impostiamo il limite (6.1): −

f (h) f (0)

0

f (0) = lim h

h→0 |h|

= lim h

h→0

Per le proprietà del valore assoluto, il limite si suddivide nei limiti destro e sinistro:

|h| −h

lim = lim

h h

− −

h→0 h→0 −1

= lim (−1) =

−

h→0

|h| h

= lim

lim h h

+

+ h→0

h→0 = lim (1) = 1

+

h→0

Ricadiamo nel secondo caso: la funzione non è derivabile, ma esistono la derivata

|x|

destra e sinistra che sono finite e diverse: diremo che in x = 0 la funzione f (x) =

ha un punto angoloso.

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 81

Capitolo 6 - Derivata di funzioni reali

1.5 y

1

0.5 x

−1 1 √

3 2

Esempio 6.13. Consideriamo la funzione f (x) = x in x = 0. Proviamo a calco-

0

lare f (0).

Impostiamo il limite (6.1): −

f (h) f (0)

0

f (0) = lim h

h→0 √

3 2

h

= lim h

h→0 1

√ .

= lim 3 h

h→0

Il limite non esiste poiché 1 1

√ √

−∞

lim = lim = +∞.

3 3

− h h

+

h→0 h→0

Ricadiamo nel secondo caso: la funzione non è derivabile, ma i limiti destro e sinistro

√

3 2

x ha un

sono infiniti di segno diverso: diremo che in x = 0 la funzione f (x) =

punto di cuspide. y

1

0.5 x

−1 −0.5 0.5 1

Ecco un altro esempio di funzione continua ma non derivabile in un punto.

√

0

Esempio 6.14. Proviamo a calcolare f (0) con f (x) = x.

≥

Il dominio di f è x 0: la funzione f non sarà derivabile in x = 0. Non avrà senso

il calcolo della derivata sinistra. Calcoliamo la derivata destra. Impostiamo il limite

(6.4): −

f (h) f (0)

0

f (0) = lim h

+

h→0 √ h

= lim h

+

h→0 1

√

= lim = +∞.

h

+

h→0

Quindi non esiste la derivata destra della funzione f nel punto x = 0, e consegue

82 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

6.4 - Derivate delle funzioni composte

che la funzione non è derivabile in x = 0.

3 y

2

1 x

1 2 3

6.4 Derivate delle funzioni composte

Il seguente teorema ci dice come la somma algebrica, il prodotto e il rapporto di funzioni

si comporta rispetto alla derivazione. ⊆ →

Proposizione 6.15. Siano f, g : A derivabili in A. Allora

R R

0 0

· · ∈

1. (λ f (x)) = λ f (x) con λ R;

0 0 0

2. (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x);

0 0 0

3. (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x);

0

! 0 0

−

f (x) f (x)g(x) f (x)g (x)

4. = .

2

g(x) g(x)

Dimostrazione. Dimostreremo solo la terza proprietà. Lasciamo le altre per esercizio

al lettore.

Consideriamo il limite del rapporto incrementale della funzione f (x)g(x):

−

f (x + h)g(x + h) f (x)g(x)

0

(f (x)g(x)) = lim ,

h

h→0

e al numeratore aggiungiamo e togliamo f (x)g(x + h):

− −

f (x + h)g(x + h) f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) f (x)g(x)

lim h

h→0

da cui − −

(f (x + h) f (x)) g(x + h) + f (x) (g(x + h) f (x)) g(x)

lim h

h→0

da cui " #

− −

f (x + h) f (x) g(x + h) g(x)

lim g(x + h) + f (x)

h h

h→0

da cui essendo f e g derivabili per ipotesi si ha

− −

f (x + h) f (x) g(x + h) g(x) 0 0

g(x) lim + f (x) lim = f (x)g(x) + f (x)g (x)

h h

h→0 h→0

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 83

Capitolo 6 - Derivata di funzioni reali

e quindi 0 0 0

(f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x).

Esempio 6.16. Alcuni esempi di utilizzo del teorema precedente.

0 0

0

2 2

• (sin x + x ) = (sin x) + (x ) = cos x + 2x.

0 0 0

2 2 2 2

• (x sin x) = (x ) sin x + x (sin x) = 2x sin x + x cos x = x (2 sin x + x) .

0

! 0 0

· − − · − − −

x +1 (x + 1) (x 1) (x + 1) (x 1) x 1 (x + 1) 2

• −

= = = .

2 2 2

− − − −

x 1 (x 1) (x 1) (x 1)

Esempio 6.17. Usando la derivata del rapporto di due funzioni possiamo trovare

la derivata prima della funzione f (x) = tan x.

0 2

2

−

sin x cos x cos x sin